Notions de théorie des nombres

Les propriétés des nombres entiers ont toujours fasciné les esprits. Cet ouvrage permet de se familiariser avec la théorie des nombres à l'aide de notions fondamentales et de démonstrations mathémétiques détaillées.

Les propriétés des nombres entiers ont toujours exercé une sorte d'attrait irrésistible sur les, esprits. Dès l'origine, ils ont été liés, dans le plus grand nombre de civilisations parvenues au stade de la représentation de la pensée par des signes graphiques conventionnels, à des pratiques magiques ou appartenant aux religions. L'étude scientifique des propriétés des nombres entiers a commencé au sein de l'école pythagoricienne dont on sait qu'elle était profondément pénétrée de mysticisme. Après les résultats obtenus par ,Diophante d'Alexandrie et ceux des mathématiques développées par les chinois et les arabes, les apports de Pierre de Fermat furent très importants. Puis de grands mathématiciens comme Gauss qui considérait la théorie des nombres comme étant la reine des mathématiques, Euler, Lagrange, Le Gendre, Kummer, Kronecker, Dedekind, Riemann, etc. vont, en la matière, faire de remarquables découvertes.
Cet ouvrage a pour ambition de familiariser le lecteur avec la théorie dite des nombres en lui présentant un certain nombre de notions que l'on peut considérer comme étant fondamentales. Des démonstrations mathématiques très détaillées sont données dans tous les chapitres du livre.

AVANT-PROPOS
CHAPITRE 1
: ARITHMETIQUE, NOMBRE ENTIER, SOMME,
DIFFERENCE, PRODUIT, QUOTIENT ENTIER 1

NOMBRE ENTIER 1

PEANO GIUSEPPE 16

DEDEKlND RICHARD 16

FERMAT PIERRE DE 17

CHAPITRE 2
: LA DIVISmILITE 19

mTRODUCTION 19

DIVISEURS COMMUNS 20

DIVISIONS AYANT MÊMES DIVISEURS ET MÊMES RESTES 21

RESTE DE LA DIVISION D'UNE SOMME PAR UN NOMBRE 22

RESTE DE LA DIVISION D'UNE DIFFERENCE PAR UN NOMBRE 22

RESTE DE LA DIVISION D'UN PRODUIT PAR UN NOMBRE 23

PUISSANCE D'UN NOMBRE 24

CARACTERES USUELS DE DIVISIBILITE 25

LA DIVISION EUCLIDIENNE 33

PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ( P. G. C. D. ) 34

PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE (P. P. C. M.) 40

LEONARD DE PISE 43

KUMMER ERNST EDUARD 45

HILBERT DAVID 45

CHAPITRE 3
: LES NOMBRES PREMIERS 47

mTRODUCTION 47

THEOREME FONDAMENTAL DE L'ARITHMETIQUE 49

CRIBLE D'ERATOSTHENE 53

FACTORISATION DES NOMBRES ENTIERS 55

DIVISEURS 56

MULTIPLES COMMUNS 57

NOMBRES INFERIEURS OU EGAUX AU NOMBRE N ET
PREMIERS AVEC CE NOMBRE 57

SOMME DES DIVISEURS D'UN NOMBRE 59

CARRE ET CUBE 59

NOMBRES DE FERMAT 60

ERATOSTHÈNE 62

EUCLIDE 62

PYTHAGORE 62

CHAPITRE 4
: LES CONGRUENCES 63

INTRODUCTION 63

CLASSES RESIDUELLES MODULO ~ 65

PUISSANCES CYCLIQUES 70

LA PREUVE PAR NEUF 71

LE PETIT THEOREME DE FERMAT 72

THEOREME DE FERMAT GENERALISE ( THEOREME D'EULER) 73

THEOREME DE WILSON 77

CONGRUENCE DU PREMIER DEGRE À UNE INCONNUE 79

NOMBRE ELEVE À SES PUISSANCES SUCCESSIVES 79

THEOREME DU RESTE CHINOIS 89

AL -KHWARIZMI 91

CHAPITRE 5
: LA RECIPROCITE QUADRATIQUE 93

RESIDUS QUADRATIQUES 93

LE SYMBOLE DE LEGENDRE 97

LE CRITERE D'EULER 98

LELEMMEDEGAUSS 100

LA LOI DE RECIPROCITE QUADRATIQUE 104

CONGRUENCE DU DEUXIEME DEGRE À UNE INCONNUE 110

GAUSS CARL FRIEDRICH 112

EULER LEONHARD 112

CHAPITRE 6
: SYSTEMES DE NUMERATION 113
ECRIRE DANS LE SYSTEME DECIMAL UN NOMBRE
ECRIRE DANS LE SYSTEME À BASE a UN NOMBRE
ECRIRE DANS LE SYSTEME À BASE b UN NOMBRE
NOMBRE ECRIT DANS LE SYSTEME DECIMAL

ECRITURE D'UN NOMBRE ENTIER DANS UNE BASE 113

ECRIT DANS LE SYSTEME À BASE a 114

ECRIT DANS LE SYSTEME DECIMAL 114

ECRIT DANS LE SYSTEME À BASE a 116

ET DANS UN SYSTEME DE BASE INCONNUE 117

NUMERATION BINAIRE 118

PERIODICITE D'UN DEVELOPPEMENT DECIMAL 123

LAGRANGE JOSEPH LOUIS 126

LEGENDRE ADRIEN MARIE 127

RAMANUJAN SRINIVASA 128

CHAPITRE 7
: NOTIONS DE CRYPTOGRAPHIE 129

GENERALITES 129

TABLE DES MATIÈRES 283
CRYPTOGRAPIDE À CLE SECRÈTE 129 CRYPTOGRAPIDE À CLE PUBLIQUE 130 MERSENNE MARIN 136
CHAPITRE 8 : LES FRACTIONS CONTINUES 137
FRACTIONS CONTINUES Fn'ITES 137 FRACTIONS CONTINUES INFINIES 145 DECOMPOSITION DE FI ( P ) EN FRACTIONS CONTINUES 150 DIVISION CONTINUE PAR PUISSANCES DECROISSANTES DE p 151 DIVISION CONTINUE PAR PUISSANCES CROISSANTES DE p 155 REPRESENTATION D'UN NOMBRE 1RRATIONNEL PAR UNE FRACTION CONTINUE INFINIE 156 APPROXIMATION DE NOMBRES IRRATIONNELS 159 LA VALLEE -POUSSIN CHARLES JEAN DE 162
CHAPITRE 9 : LES EQUATIONS DIOPHANTIENNES 163
GENERALITES 163 LA CONGRUENCE a x == b (mod r3) 163 LE PREMIER DEGRE 165 LE SECOND DEGRE 167 PROBLEME DE WARING 171 POINCARE JULES HENRI 177 BOMBIERI ENRICO 178 DELSARTE JEAN 178 DIRAC PAUL ADRIEN MAURICE 178
CHAPITRE 10: LA METHODE DE DESCENTE INFINIE 179
INTRODUCTION 179 L'EQUATION DIOPHANTIENNE x 4 + y4 =Z2 180
2
L'EQUATION DE PELL l -jI x = 1 181 DIOPHANTE D'ALEXANDRIE 183
CHAPITRE 11 : LES DEVELOPPEMENTS EGYPTIENS 185
INTRODUCTION 185 NOMBRE RATIONNEL COMPRIS ENTRE ZERO ET UN 186 NOMBRE RATIONNEL SUPERIEUR À UN 189 DEVELOPPEMENT EGYPTIEN FINI 189 APPROXIMATIONS 192 EVARISTE GALOIS 194
CHAPITRE 12 : LES TIROIRS DE DIRICHLET 195
PRINCIPE DES TIROIRS 195
UTILISATION DU PRINCIPE DES TIROIRS 195
TURING ALAN 197

CHAPITRE 13 : DISTINCTIONS ENTRE LES NOMBRES 199

NOMBRES ENTIERS NATURELS 199
NOMBRES ENTIERS RELATIFS 199
NOMBRES RATIONNELS 200
NOMBRES REELS 201
NOMBRES COMPLEXES 202

NOMBRES PREMIERS 203
NOMBRES COMPOSES 204
NOMBRES IRRATIONNELS 204
NOMBRES ALGEBRIQUES 205
NOMBRES TRANSCENDANTS 205
NOMBRES PARFAITS 206
NOMBRES PRESQUE PARFAITS 207
NOMBRES QUASI PARFAITS 207
NOMBRES DONT LES SOMMES DES DIVISEURS
PROPRES SONT DES MULTIPLES 207
NOMBRES DEFICIENTS 208
NOMBRES ABONDANTS 208
NOMBRES AMIABLES 208
NOMBRES SEMI -PARFAITS 209
NOMBRES ETRANGES OU TORDUS 209
NOMBRES DE MERSENNE 209
NOMBRES P -adiques 210
NOMBRES DE FERMAT 210
THEOREMES RELATIFS AUX NOMBRES IRRATIONNELS,
ALGEBRIQUES ET TRANSCENDANTS 211
BOOLE GEORGE 216

CHAPITRE 14 : LES PARTITIONS 217

GENERALITES 217
REPRESENTATIONS GRAPlllQUES 220
FONCTION PARTITION 222
FONCTIONS GENERATRICES 222
RIEMANN GEORG FRIEDRICH BERNHARD 228

CHAPITRE 15 : LA DISTRIBUTION DES NOMBRES PREMIERS 229

GENERALITES 229

LA FONCTION ZÊTA DE RIEMANN 238

TI-IEOREME DES NOMBRES PREMIERS 245

INEGALITES DE TCHEBYCHEFF 248

PETER GUSTAV LEJEUNE -DIRICHLET 257

TCHEBYCHEV PAFNOUTI LVOVITCH 257

CHAPITRE 16
: LES FONCTIONS ARITHMETIQUES 259

GENERALITES 259

FONCTION D'EULER 259

FONCTIONS MULTIPLICATIVES 260

DESCARTES RENE 262

CHAPITRE 17
: LES SERIES DE DIRICHLET 263

GENERALITES 263

PRODUIT DE DIRICHLET 267

CAUCHY AUGUSTIN LOUIS 270

GODELKURT 270

CANTOR GEORG 270

LAPLACE PIERRE SIMON DE 270

FOURIER JEAN BAPTISTE JOSEPH 270

APPENDICE 271

LA MUSIQUE ET LES NOMBRES 271

BIBLIOGRAPHIE 277