Analyse mathématique 2e année MP/MP* - PSI/PSI* - PC/PC* - PT/PT*
Une approche historique - Cours et exercices corrigés

Cet ouvrage tout en couleurs développe une étude originale et approfondie du programme d'analyse de 2e année des classes préparatoires.

•     Le texte écrit dans un style aéré permet à tous les étudiants, quel que soit leur niveau, de suivre pas à pas les démonstrations. De nombreuses figures facilitent la compréhension et l'assimilation des notions abordées.

•     Des questions de cours et des exercices dont les corrigés sont très détaillés permettent de vérifier l'acquisition des points clés de chaque chapitre.

•     L'auteur a pris soin de replacer les résultats présentés dans leur contexte historique : les théorèmes sont systématiquement datés, leurs sources précises indiquées et des notices biographiques évoquent les faits marquants de la vie des mathématiciens cités.

•     En plus du programme officiel, l'ouvrage aborde des théorèmes plus difficiles ou moins connus, destinés aux lecteurs souhaitant un approfondissement des sujets classiques.

L'ouvrage intéressera également les candidats au CAPES et à l'Agrégation.

Olivier Rodot est responsable du département Mathématiques des classes préparatoires de l'EPITA.

•  Strictement conforme au programme
  
•  De nombreux exercices corrigés

•  Texte abondamment illustré pour faciliter la compréhension

•  Tout en couleurs

~a6{e des matières


1 Séries numériques 11

1.1
Introduction .. ......... 11

1.1.1
Un paradoxe de Zénon . 11

1.1.2
Le paradoxe des morceaux de sucre. 12

1.2
Définitions.............. 15

1.2.1
Convergence et divergence . 15

1.2.2
Somme et reste d'une série convergente 17

1.2.3
Condition nécessaire de convergence 18

1.3
Séries à termes positifs . 20

1.3.1
Premiers critères 20

1.3.2
Lemme de condensation de Cauchy . 21

1.3.3
Séries de Riemann · .. 24

1.3.4
Critères de comparaison 26

1.3.5
Règle de Riemann · .. 28

1.3.6
Règle de Riemann généralisée 29

1.3.7
Séries de Bertrand · ..... 30

1.3.8
Critère de comparaison logarithmique 33

1.3.9
Règle de d'Alembert 34

1.3.10
Règle de Cauchy .. 37

1.3.11
Comparaison des règles de Cauchy et de d'Alembert 38

1.3.12
Règles de Raabe et Duhamel 44

1.3.13
Règlede Gauss . . . . . . . . 49

1':<')
1.4 Séries à termes quelconql'~~
1.4.1
Séries alternées . 52

1.4.2
Règle de Leibniz 53

1.4.3
Convergence absolue 55

1.4.4
Sommation des relations de comparaison. 57

1.4.5
Règle d'Abel ........ 60

1.5
Produit de deux séries numériques 64

1.5.1
Théorème de Cauchy . 65

1.5.2
Théorème de Mertens 68

1.5.3
Théorème d'Abel ... 72

1.6
Valeur de la somme de séries 74

1.7
Compléments ......... 80

1.7.1
Théorème de Schlômilch 80

1.7.2
Théorème de Carleman 83

1.7.3
Généralisation des séries de Bertrand. 86

1.7.4
Généralisation des règles de Raabe et Duhamel 92

1.7.5
Théorème d'Olivier .... 97

1.7.6
Théorème de Pringsheim 99

1.7.7
Théorème d'Abel. 101

1.7.8
Théorème de Dini 103

1.7.9
Théorème de Kronecker 105

1.7.10
Théorème de Kummer 107

1.7.11
Règle de Kummer 109

1.8
Questions de cours III

1.8.1
Énoncés 111

1.8.2
Corrigés 114

1.9
Exercices corrigés . 117

2 Intégrales impropres 129

2.1
Introduction. 129

2.2
Définitions. . 132

2.2.1
Définition d'une intégrale impropre. 132

2.2.2
Convergence et divergence . 133

2.3
Fonctions de Riemann ....... 139

2.4
Intégrales impropres de fonctions positives . 140

2.4.1
Critères de comparaison pour des fonctions positives 142

2.4.2
Critère intégral de Cauchy. 144

2.5
Critères complémentaires .. 145

2.5.1
Intégration par parties 145

2.5.2
Changement de variable 146

2.5.3
Intégrales de Bertrand 148

2.5.4
Convergence absolue . 151

2.5.5
Intégration des relations de comparaison. 152

2.5.6
Généralisation des intégrales de Bertrand 158

2.5.7
Comportement asymptotique 159

2.5.8
Règle d'Abel ..... 167

2.5.9
Théorème d'Ermakov 169

2.6
Intégrales définies dépendant d'un paramètre 171

2.6.1
Continuité . 172

2.6.2
Dérivabilité: théorème de Leibniz 173

2.6.3
Intégrabilité: théorème de Fubini. 175

2.7
Intégrales impropres dépendant d'un paramètre 178

2.7.1
Continuité. 178

2.7.2
Dérivabilité 181

2.7.3
Intégrabilité: théorèmes de Fubini 184

2.8
Quelques intégrales célèbres 189

2.8.1
Intégrales d'Euler 189

2.8.2
Intégrales de Lejeune-Dirichlet 195

2.8.3
Intégrale de Gauss 200

2.8.4
Intégrales de Fresnel 203

2.9
Questions de cours 212

2.9.1
Énoncés 212

2.9.2
Corrigés 215

2.10
Exercices corrigés. 217

3 Suites de fonctions 231

3.1
Introduction. 231

3.2
Définitions.. 234

3.2.1
Suite de fonctions 234

3.2.2
Convergence simple 235

3.2.3
Convergence uniforme 238

3.3
Propriétés de la convergence uniforme 244

3.3.1
La convergence uniforme implique la convergence simple 244

3.3.2
Convergence uniforme et opérations 244

3.3.3
Convergence uniforme et continuité. 248

3.3.4
Convergence uniforme et limite ... 251

3.3.5
Convergence uniforme et intégrales définies 253

3.3.6
Convergence uniforme et dérivées . . . . . . 255

3.3.7
Convergence uniforme et intégrales impropres 260

3.3.8
Théorèmes de Dini . . . . . . . 264

3.4
Approximation des fonctions continues 269

3.4.1
Polynômes de Bernstein 269

3.4.2
Courbes de Bézier .. 271

3.4.3
Approximation uniforme des fonctions continues 272

3.4.4
Approximation uniforme des fonctions continues et périodiques 277

3.4.5
Un raffinement du théorème de Weierstrass 283

3.5
Questions de cours 286

3.5.1
Énoncés 286

3.5.2
Corrigés 289

3.6
Exercices corrigés . 292

4 Séries de fonctions 303

4.1
Introduction. 303

4.2
Convergences 306

4.2.1
Définition d'une série de fonctions 306

4.2.2
Convergence simple 307

4.2.3
Convergence uniforme 308

4.2.4
Convergence normale. 313

4.2.5
Convergence absolue. 314

4.2.6
Liens entre les différents types de convergence . 315

4.3
Propriétés de la convergence uniforme ... 318

4.3.1
Convergence uniforme et continuité. 318

4.3.2
Convergence uniforme et limite . 320

4.3.3
Convergence uniforme et intégrales définies 321

4.3.4
Convergence uniforme et dérivées . 322

4.4
Une fonction continue sur lR et dérivable nulle part 323

4.5
Questions de cours 327

4.5.1
Énoncés 327

4.5.2
Corrigés 330

4.6
Exercices corrigés. 332

5 Séries de Fourier 349

5.1
Introduction....................... 349

5.1.1
Décomposition d'un signal en série de Fourier 349

5.1.2
Vibrations d'une corde. 350

5.2
Définitions........... 354

5.2.1
Série trigonométrique 354

5.2.2
Continuité par morceaux 355

5.2.3
Coefficients de Fourier et série de Fourier 357

5.2.4
L'espace D et ses propriétés 365

5.3
Propriétés.......... 368

5.3.1
Théorème de Bessel 368

5.3.2
Théorème de Wirtinger 374

5.4
Théorèmes de convergence . . . 376

5.4.1
Convergence en moyenne quadratique et théorème de Parseval 376

5.4.2
Théorème de du Bois-Reymond. . . . . . . . . . . . 381

5.4.3
Convergence simple: théorème de Lejeune-Dirichlet 385

5.4.4
Convergencenormale.................. 395

5.4.5
Convergence en moyenne de Cesàro: deux théorèmes de Fejér . 396

5.5
Questions de cours 404

5.5.1
Énoncés 404

5.5.2
Corrigés 406

5.6
Exercices corrigés. 409