Cours de Mathématiques pures et appliquées Vol 1
Algébre et Géométrie - Cours et exercices corrigés - L3, Master

Cet ouvrage est le premier des trois volumes d'un cours complet de Mathématiques pures et appliquées.

Il est centré sur l'algèbre (groupes, corps, algèbre commutative, calcul tensoriel) et la géométrie (géométrie classique, algébrique, différentielle) ; en relation avec ces thèmes on y trouvera aussi des développements sur l'arithmétique, les mathématiques discrètes, la convexité, l'analyse numérique matricielle et la théorie des surfaces.

Cet ouvrage s'adresse aux étudiants des troisième et quatrième années universitaires (L3, Ml, préparations au CAPES et à l'agrégation) ainsi qu'aux élèves des Écoles d'Ingénieurs.

C'est un livre de référence donnant des définitions précises et des preuves complètes, il est conçu pour être utile plusieurs années.
Les auteurs de ce cours, représentant un large éventail d'expériences pédagogiques, ont eu le souci de bien traiter les sujets fondamentaux tout en donnant une attention toute particulière aux applications (internes ou externes aux mathématiques). Ils se sont attachés à mettre en évidence l'unité des mathématiques en décloisonnant les domaines et en présentant diverses approches du même sujet. De nombreuses indications historiques retracent la genèse des principales idées.

Le cours est illustré de nombreux exemples et exercices de difficulté graduée, avec des solutions complètes.

Le lecteur trouvera aussi à la fin de chaque chapitre une liste d'exercices complémentaires avec indications de solution ; les corrigés de certains d'entre eux sont consultables sur le site internet de l'éditeur.

Table des matières du premiervolume


Préface du premier volume xv

Première partie ALGÈBRE 1

Chapitre 1 Groupes 3

1 Exemples de groupes 3

1.1
Quelques rappels 3

1.2
Produits directs, produits semi-directs 5

1.'3
Groupes diédraux 9

1.4
Groupes abéliens finis 12

1.5
Le groupe (Z/nZ) x 14

1.6
Exemples de groupes simples 17

2 Théorèmes de Sylow et applications 21

2.1
Théorèmes de Sylow ' , 21

2.2
Quelques applications 24

2.3
Groupes d'ordre au plus égal à 15 26

3 Groupes résolubles
: 28

3.1
Définition et premières propriétés 28

3.2
Théorème de Jordan-RaIder 31

4 Groupes libres. Générateurs et relations 33

4.1
Introduction 33

4.2
Groupes libres 34

4.3
Groupes définis par générateurs et relations 38

4.4
Algorithme de Todd-Coxeter 42

5 Représentations linéaires, caractères 45

5.1
Représentations linéaires , 45

5.2
Caractères 48

5.3
Relations d'orthogonalité 49

5.4
Tables de caractères 53

5.5
Cas des groupes compacts 57

6
Sous-groupes finis de O(R2) et SO(R3 ) ....•..••.................•......•........•. 61

Chapitre 2 Corps 73

1 Extensions de corps 73

1.1
Notion d'extension. Degré 73

1.2
Éléments et extensions algébriques 76

2 Corps de décomposition. Clôture algébrique 81

2.1
Corps de rupture, corps de décomposition , 82

2.2
Clôture algébrique 86

2.3
Corps parfaits, théorème de l'élément primitif 88

2.4
Normes et traces 92

3 Quelques exemples 94

3.1
Extensions quadratiques 95

3.2
Corps cyclotomiques 97

4 Corps finis 101

4.1
Existence et unicité 101

4.2
Compléments 104

4.3
Codes linéaires 108

5 Quelques problèmes classiques 112

5.1
Exemples de groupes de Galois ,.......... 112

5.2
Constructibilité à la règle et au compas 116

5.3
Résolubilité par radicaux 120

Chapitre 3 Algèbre multilinéaire 135

1 Produit tensoriel. Algèbre tensorielle 136

1.1
Définition et propriétés du produit tensoriel 136

1.2
Algèbre tensorielle. Tenseurs mixtes 147

2 Algèbre symétrique 152

2.1
Définition et propriétés 152

2.2
Tenseurs symétriques ou antisymétriques 155

3 Algèbre extérieure 157

3.1
Définition et propriétés 157

3.2
Dualité dans l'algèbre extérieure 163

3.3
Interprétation géométrique 166

4 Formes bilinéaires alternées. Groupe symplectique 168

4.1
Classification des formes bilinéaires alternées 168

4.2
Groupe symplectique 173

Chapitre 4 Algèbre commutative 187

1 Modules sur un anneau commutatif .. '' ' '' .. , '' .. , . '' 188

1.1
Le langage des modules 188

1.2
Applications linéaires 193

1.3
Rudiments de fonctorialité 200

2 Conditions de finitude 205

2.1
Modules de présentation finie 205

2.2
Modules sur les anneaux noetheriens 210

2.3
Bases de Grobner 213

3 Modules sur les anneaux principaux 221

3.1
Modules libres de rang fini sur un anneau principal '' . '' 221

3.2
Modules de type fini sur un anneau principal 227

3.3
Applications à la réduction des endomorphismes 233

Chapitre 5 Théorie des nombres 251

1 Approximation diophantienne 251

1.1
Principes généraux 252

1.2
Approximation à l'aide des fractions continues 265

2 Théorie analytique des nombres 274

2.1
La distribution des nombres premiers 274

2.2
Fonctions arithmétiques 281

2.3
Séries de Dirichlet 292

Chapitre 6 Combinatoire avancée 303

1 Séries génératrices et asymptotique des coefficients 304

1.1
Exemples divers 304

1.2
Séries génératrices rationnelles 314

1.3
Permutations 323

1.4
Objets composés 328

2 Partitio numerorum 334

2.1
La série génératrice du nombre de partitions 335

2.2
Calcul quantique élémentaire 342

2.3
La formule du triple produit de Jacobi 346

3 Arbres 348

3.1
Arbres binaires '' 348

3.2
Arbres binaires de recherche 354

3.3
Termes et expressions 360

3.4
Algorithmes d'évaluation 365

4 Calcul booléen et circuits logiques 367

4.1
Fonctions booléennes et formules logiques 367

4.2
Formes normales 372

5 Raisonnements combinatoires en mathématiques 377

5.1
Graphes, polyèdres, triangulations 378

5.2
Arbres et SL2(Z) 379

Chapitre 7 Analyse numérique matricielle 395

1 Méthode de Newton pour les systèmes non linéaires 396

1.1
Rappels 396

1.2
Méthode de Newton , ',' '' '. 396

1.3
Analyse d'erreur et de convergence , 398

1.4
Mise en œuvre de la méthode de Newton ' 400

1.5
Méthode de point fixe '............................................ 402

2 Méthodes d'optimisation sans contrainte 403

2.1
Problème étudié -rappels 403

2.2
Méthode de Newton 404

2.3
Méthodes de descente 406

2.4
Retour sur la résolution de F(x) = 0 410

3 Méthodes de gradient pour la résolution itérative des systèmes linéaires 411

3.1
Introduction 411

3.2
Méthode du gradient 412

3.3
Méthode du gradient conjugué 416

3.4
Premières propriétés de l'algorithme du gradient conjugué 418

3.5
Analyse de convergence de l'algorithme du gradient conjugué 420

4 Problèmes de moindre carrés 425

4.1
Introduction 425

4.2
Étude mathématique 428

4.3
Calcul numérique 429

4.4
Décomposition en valeurs singulières 436

5 Approximations de valeurs propres 441

5.1
Rappels et compléments '' . '' , 441

5.2
Méthode de la puissance itérée 443

5.3
Méthode de la puissance inverse 445

5.4
Calcul simultané de toutes les valeurs propres: la méthode QR 447

5.5
Détails pratiques sur la méthode QR 451

Deuxième partie GÉOMÉTRIE 467

Chapitre 1 Géométrie affine et euclidienne 469

1 Compléments de géométrie affine 469

1.1
Quelques rappels 470

1.2
Coordonnées barycentriques 475

1.3
Quelques théorèmes classiques 477

2 Espace affines euclidiens. Isométries. Similitudes 481

2.1
Généralités 481

2.2
Isométries: définition et premières propriétés 485

2.3
Angles 489

2.4
Classification des isométries en dimension 2 et 3 501

2.5
Similitudes 509

2.6
Utilisation des nombres complexes dans le plan 512

2.7
Exemples de pavages du plan. '' . '' , , 515

Chapitre 2 Polyèdres réguliers, cercles et sphères 527

1 Polyèdres réguliers 527

1.1
Définition générale. Polygones réguliers 527

1.2
Polyèdres réguliers de l'espace: construction 531

1.3
Polyèdres réguliers de l'espace: classification 538

1.4
Un exemple de polyèdre semi-régulier 542

2 Cercles et sphères 544

2.1
Généralités 544

2.2
Inversion 548

2.3
Groupe circulaire 555

2.4
Pôles et polaires 557

2.5
Rudiments de trigonométrie sphérique 559

Chapitre 3 Introduction à la géométrie projective 569

1 Droites projectives, homographies 569

1.1
Rappels sur les homographies 569

1.2
Droite projective complexe 572

1.3
Compléments sur le demi-plan de Poincaré 577

2 Introduction à la géométrie projective 581

2.1
Généralités 581

2.2
Liaison affine-projectif 586

2.3
Dualité dans les espaces projectifs 591

2.4
Coniques et quadriques projectives 595

2.5
Faisceaux de cercles 610

Chapitre 4 Initiation à la géométrie algébrique 623

1 Courbes algébriques planes 627

1.1
Géométrie affine 627

1.2
Étude locale des courbes planes 642

1.3
Géométrie projective 653

2 Un peu de classification des courbes planes 661

2.1
Fonctions, morphismes, paramétrisations 661

2.2
Cubiques non singulières 670

3 Rudiments de géométrie algébrique affine 681

3.1
Ensembles algébriques affines 681

3.2
Le Nullstellensatz 684

3.3
Elimination 686

Chapitre 5 Convexes et polyèdres 699

1 Ensembles convexes 700

1.1
Rappels et compléments 700

1.2
Théorèmes de Carathéodory et de Helly 712

1.3
Ensembles convexes et hyperplans 718

1.4
Cônes convexes 736

2 Polyèdres convexes 758

2.1
Généralités et théorème de structure 758

2.2
Le théorème fondamental 765

2.3
Une autre preuve du théorème de Helly 774

Chapitre 6 Fonctions convexes et applications 785

1 Fonctions convexes 785

1.1
Propriétés des fonctions convexes 785

1.2
Fonctions duales. Transformation de Legendre-Fenchel 812

2 Introduction à la programmation convexe 834

2.1
Généralités 834

2.2
Recherche des points extrémaux pour un problème sous forme canonique 838

2.3
Problèmes duaux 840

Troisième partie INTRODUCTION À LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE 853

Chapitre 1 Calcul différentiel 855

1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach 856

1.1
Applications différentiables 856

1.2
Théorème d'inversion locale -Théorème des fonctions implicites 866

1.3
Dérivées d'ordre supérieur 873

1.4
Problèmes d'extrema 886

2 Formes différentielles 892

2.1
Champs de vecteurs 892

2.2
Champs de formes ' , '' 897

2.3
Intégration d'une forme différentielle 903

2.4
La dérivée extérieure 920

2.5
Théorème de Stokes 930

Chapitre 2 Courbes et surfaces 943

1 Enveloppes de droites 944

1.1
Enveloppe d'une famille de droites du plan , ' , '' 945

1.2
Enveloppe d'une famille de droites définies paramétriquement 949

1.3
Développées, développantes d'un arc plan 950

2 Le repère mobile 952

2.1
Repères 953

2.2
Le cas euclidien 958

3 Propriétés métriques locales des surfaces 968

3.1
Surfaces: rappels et notations 968

3.2
Première forme fondamentale 991

3.3 Deuxième forme fondamentale d'une surface 1010
3.4
Courbes tracées sur une surface 1034

3.5
Surfaces à courbure constante 1052

4 Repère mobile et formes différentielles 1054

4.1
Les formes différentielles wi et wf 1054

4.2
Application à l'étude des courbes et des surfaces 1056

5 Le point de vue des variétés différentiables 1076

5.1
Métrique Riemanienne sur un ouvert, isométries et applications conformes .. 1077

5.2
Surfaces abstraites 1080

Indications 1097


Index 1109