Relativité générale

Les problèmes classiques de gravitation relativiste sont ensuite traités (géométrie de la solution de Schwarzschild et des trous noirs, cosmologie, ondes gravitationnelles).

L'ouvrage se distingue par de nombreux calculs détaillés rarement présentés dans des ouvrages d'introduction (par exemple celui des orbites possibles autour d'un trou noir en rotation) ou en relation avec la recherche de pointe, particulièrement sur la cosmologie, domaine de prédilection des auteurs.

Des outils pédagogiques
Plusieurs appendices proposent des compléments d'information de nature mathématique, historique ou physique qui permettent au lecteur souhaitant approfondir son étude de la relativité générale de disposer de pistes intéressantes.
Ce manuel facile d'accès contient plus de 300 exercices pour éclairer et pour étendre les sujets abordés dans le texte.
Une introduction détaillée à la théorie de la relativité générale d'Einstein
Voici un ouvrage d'introduction à la théorie d'Einstein de la gravitation qui s'adresse avant tout à un public d'étudiants ou d'enseignants en physique au niveau du deuxième et troisième cycle. Reposant sur les cours donnés depuis plusieurs années à l'Université de Cambridge par les auteurs, il commence par une présentation moderne et pédagogique des outils mathématiques nécessaires, en particulier le calcul tensoriel sur un espace courbe.

De nombreux exemples et applications détaillés
Loin de se perdre dans un formalisme abstrait qui pourrait rebuter certains étudiants, l'ouvrage multiplie les exemples et applications détaillés (études de surfaces bidimensionnelles courbes, etc.). Les outils mathématiques sont ensuite appliqués en physique. La relativité restreinte et l'électromagnétisme relativiste étant les sujets les plus intéressants et les plus simples pour qui veut aborder la théorie d'Einstein, ils sont revus dans un esprit géométrique qui conduit naturellement à l'exposé des principes de base de la relativité générale.
Les problèmes classiques de gravitation relativiste sont ensuite traités (géométrie de la solution de Schwarzschild et des trous noirs, cosmologie, ondes gravitationnelles). L'ouvrage se distingue par de nombreux calculs détaillés rarement présentés dans des ouvrages d'introduction (par exemple celui des orbites possibles autour d'un trou noir en rotation) ou en relation avec la recherche de pointe, particulièrement sur la cosmologie, domaine de prédilection des auteurs.

Des outils pédagogiques
Plusieurs appendices proposent des compléments d'information de nature mathématique, historique ou physique qui permettent au lecteur souhaitant approfondir son étude de la relativité générale de disposer de pistes intéressantes.
Ce manuel facile d'accès contient plus de 300 exercices pour éclairer et pour étendre les sujets abordés dans le texte.

•     Ouvrage de référence actuel et accessible

•     Une approche claire et pédagogique

•     Nombreuses applications détaillées de la relativité générale

•     Nombreux appendices

•     Plus de 300 exercices

Table des mati?s

1 L'espace-temps de la relativit?estreinte 1

1.1
R?rentiels inertiels . 1

1.2
G??ie newtonienne de l'espace et du temps . 3

1.3
G??ie de l'espace-temps de la relativit?estreinte 3

1.4
Transformations de Lorentz et « rotations» quadridimensionnelles . 4

1.5
Intervalleetc?elumi? . . . . . . . . . . . . . 6

1.6
Diagrammes d'espace-temps . . . . . . . . . . . . . 7

1.7
Contraction des longueurs et dilatation des dur? 9

1.8
Hyperbole invariante . 11

1.9
??nt de longueur de l'espace-temps de Minkowski . 12

1.10
Lignes d'univers des particules et temps propre. 13

1.11
Effet Doppler . 16

1.12
Composition des vitesses en relativit?estreinte. 17

1.13
Acc?ration en relativit?estreinte . 18

1.14
Horizons des ?nements en relativit?estreinte 20

Appendice lA
: le chemin d'Einstein vers la relativit?estreinte 21

Exercices . 23

2 Vari?s et coordonn? 27

2.1
Le concept de vari? 27

2.2
Coordonn?..... 28

2.3
Courbes et surfaces . 28

2.4
Changements de coordonn? 29

2.5
Convention de sommation 31

2.6
G??ie des vari?s . . . . 32

2.7
G??ie riemannienne ... 32

2.8
G??ies intrins?e et extrins?e 33

2.9
Exemples de g??ies non euclidiennes 36

2.10
Longueurs, surfaces et volumes .... 38

2.11
Coordonn? localement cart?ennes . 43

2.12
Espaces tangents ?ne vari? . . . . . 44

2.13
Vari?s pseudo-riemanniennes . . . . 45

2.14
Int?ation sur une sous-vari? quelconque. 47

2.15
Topologiedesvari?s. . . . . . . . . . . . . . 49

Exercices
TABLE DES MATI?ES
3 Calcul vectoriel sur une vari? 53

3.1
Champs scalaires sur une vari? 53

3.2
Champs vectoriels sur une vari? . 54

3.3
Vecteur tangent ?ne courbe. . . . 55

3.4
Vecteursdebase ........... 56

3.5
Monter et abaisser les indices des vecteurs 59

3.6
Vecteurs de base et changement de coordonn? 60

3.7
Propri?s des vecteurs ind?ndantes des coordonn?. 61

3.8
D?v? des vecteurs de base et connexion affine .. 62

3.9
Propri?s de transformation de la connexion affine 64

3.10
Relation entre la connexion et la m?ique .... 64

3.11
G??ques locales et coordonn? cart?ennes . 66

3.12
D?v?covariante d'un vecteur . 68

3.13
Expressions tensorielles des op?teurs vectoriels . 69

3.14
D?v?intrins?e d'un vecteur le long d'une courbe 71

3.15
Transport parall? . 72

3.16
Courbes nulles, non nulles et param?es affines ... 74

3.17
G??ques ........................ 75

3.18
Propri? de stationnarit?es g??ques non nulles 76

3.19
Formalisme lagrangien pour les g??ques 78

3.20
Autre forme de l'?ation des g??ques . 80

Appendice 3A
: vecteurs et d?v? directionnelles 80

Appendice 3B
: le plan en coordonn? polaires. 81

Appendice 3C
: calcul variationnel 86

Exercices . 87

4 Calcul tensoriel sur une vari? 91

4.1
Champs tensoriels sur une vari?. 91

4.2
Composantes de tenseurs. 92

4.3
Sym?ies des tenseurs . . . . . . . 93

4.4
Le tenseur m?ique . 95

4.5
Monter et abaisser les indices d'un tenseur. 95

4.6
Action d'un tenseur sur un tenseur ..... 96

4.7
Op?tions ?mentaires avec des tenseurs . 96

4.8
Les tenseurs en tant qu'objets g??iques 98

4.9
Tenseurs et changements de coordonn? 99

4.10
?uations tensorielles . . . . . . . 101

4.11
Th?? du quotient . 101

4.12
D?v?covariante d'un tenseur. 102

4.13
D?v?absolue d'un tenseur le long d'une courbe 105

Exercices . 106

5 La relativit?estreinte revisit?109

5.1
Espace-temps de Minkowski en coordonn? cart?ennes. 109

5.2
Transformations de Lorentz . 110

5.3
Vecteurs de base cart?ens . 111

5.4
Quadrivecteurs et c?de lumi? . 112

5.5
Quadrivecteurs et transformations de Lorentz. 113

5.6
Quadrivitesse................. 114

5.7
Quadri-impulsion d/une particule massive. 116

5.8
Quadri-impulsion d/un photon .... 116

5.9
Effet Doppler et aberration relativiste . 118

5.10
M?nique relativiste . 119

5.11
Particules libres . 120

5.12
Collisions relativistes et diffusion Compton 121

5.13
Observateurs acc?r?. 122

5.14
Espace-temps de Minkowski en coordonn? curvilignes 125

Exercices . 127

6 ?ectromagn?sme 133

6.1
Force ?ctromagn?que agissant sur une charge en mouvement . 133

6.2
Quadrivecteur densit?e courant . . . . 134

6.3
?uations du champ ?ctromagn?que .... 135

6.4
?ectromagn?sme en jauge de Lorenz . . . . . 137

6.5
?ectromagn?sme dans un r?rentiel inertiel 139

6.6
?ectromagn?sme en coordonn? curvilignes 140

6.7
?uation du mouvement d/une particule charg?. 142

Exercices . 142

7 Principe d'?ivalence et courbure de l'espace-temps 145

7.1
Gravitation newtonienne . 145

7.2
Le principe d/?ivalence . 146

7.3
La gravitation en tant que courbure de l'espace-temps 148

7.4
Coordonn? localement inertielles . 149

7.5
Observateurs dans un espace-temps courbe . 150

7.6
Champs gravitationnels faibles et limite newtonienne 151

7.7
?ectromagn?sme en espace-temps courbe 153

7.8
Courbure intrins?e d/une vari? 154

7.9
Tenseur de courbure . 156

7.10
Propri?s du tenseur de courbure .. 157

7.11
Tenseur de Ricci et courbure scalaire 159

7.12
Courbure et transport parall? ... 160

7.13
Courbure et d?ation g??que .. 162

7.14
Forces de mat?dans un espace-temps courbe 164

Appendice 7A: la surface d/une sph? 167

Exercices . 168

TABLE DES MATI?ES
8 ?uations du champ gravitationnel 173

8.1
Le tenseur ?rgie-impulsion 173

8.2
Tenseur ?rgie-impulsion d'un fluide parfait. . . . . . . . . . . . 175

8.3
Conservation de l'?rgie et de l'impulsion pour un fluide parfait 176

8.4
Les?ationsd'Einstein . . . . . . . . . . . . . . 178

8.5
?uations d'Einstein dans le vide . . . . . . . . . 180

8.6
Limite en champ faible des ?ations d'Einstein 181

8.7
Laconstantecosmologique . . . . . . . . . . . . . 182

8.8
Mouvement g??que et ?ations d'Einstein. 185

Appendice 8A
: autres th?ies relativistes de la gravitation. 187

Appendice 8B
: conventions de signes 189

Exercices ................. 190

9 G??ie de Schwarzschild 193

9.1
M?ique statique et isotrope la plus g?rale 193

9.2
Solution des ?ations du champ dans le vide. 195

9.3
Th??deBirkhoff. .............. 199

9.4
D?lage spectral pour une source et un observateur immobiles 199

9.5
G??que de l'espace-temps de Schwarzschild 202

9.6
Trajectoires des particules massives . . . . . . 204

9.7
Mouvement radial de particules massives . . 206

9.8
Mouvement circulaire de particules massives 208

9.9
Stabilit?es orbites des particules massives 209

9.10
Trajectoires des photons 212

9.11
Mouvement radial de photons. . . 214

9.12
Mouvement circulaire de photons. 215

9.13
Stabilit?es orbites des photons. . 216

Appendice 9A
: approche g?rale des d?lages vers le rouge gravitationnels. 217

Exercices ......................................... 219

10 Tests exp?mentaux de la relativit??rale 227

10.1
Pr?ssion des orbites plan?ires 227

10.2
La d?ation de la lumi? . . . . . . . . 230

10.3
?hosradar................. 233

10.4
Disques d'accr?on autour des objets compacts. 236

10.5
Pr?ssion g??que des gyroscopes 239

Exercices ..................... 243

11 Trous noirs de Schwarzschild 245

11.1
Caract?sationdes coordonn?........................ 245

Il.2
Singularit?de la m?ique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Il.3
Lignes d'tmivers radiales de photons en coordonn? de Schwarzschild. 248

11.4
Lignes d'univers radiales de particules massives en coordonn? de Schwarz­schild .......................................... 249

11.5
Coordonn? d'Eddington-Finkelstein . . . . . . . . . . . 250

11.6
Effondrement gravitationnel et formation des trous noirs 255

Il.7
Effondrement de poussi? ?ym?ie sph?que 257

11.8
Forces de mar?pr?d'un trou noir. . 260

11.9
Coordonn? de Kruskal . . . . . . . . 261

11.10
Trous de ver et pont d'Einstein-Rosen 267

11.11
L'effetHawking ............. 270

Appendice lIA: syst?s binaires compacts 273

Appendice 11B
: trous noirs supermassifs . . 274

Appendice 11C
: platitude conforme des vari?s riemanniennes bidimensionnelles. 278

Exercices ............................................ 279

12 Autres g??ies ?ym?ie sph?que 285

12.1
La m?ique ?'int?eur d'une ?ile . . . . . . . 285

12.2
?uations relativistes de la structure stellaire . . 289

12.3
La solution de Schwarzschild ?ensit?onstante 291

12.4
Th??deBuchdahl ............... 292

12.5
La m?ique ?'ext?eur d'une masse sph?que charg?293

12.6
G??ie de Reissner-Nordstrom : trous noirs charg?. 296

12.7
Trajectoires radiales de photons dans la g??ie de Reissner-Nordstrom 298

12.8
Trajectoires radiales de particules massives dans la g??ie de Reissner-
Nordstrom 300

Exercices ........ 301

13 La g??ie de Kerr 307

13.1
M?ique axisym?ique 307

13.2
Entra?ment des r?rentiels . 309

13.3
Surfaces limite de stationnarit?11

13.4
Horizons des ?nements ... 312

13.5
La m?ique de Kerr. . . . . . . 313

13.6
Limites de la m?ique de Kerr. 315

13.7
M?ique de Kerr-Schild . . . . 317

13.8
Structure d'un trou noir de Kerr 318

13.9
Processus de Penrose . . . . . . 323

13.10
G??ques du plan ?atorial 325

13.11
Trajectoires ?atoriales pour les particules massives. 327

13.12
Mouvement ?atorial de particules massives sans moment cin?que. 329

13.13
Mouvement circulaire ?atorial de particules massives . 330

13.14
Stabilit?es orbites ?atoriales de particules massives 332

13.15
Trajectoires ?atoriales de photons. . . . . . . . . 334

13.16
G??ques ?atoriales principales des photons 334

13.17
Mouvement circulaire ?atorial des photons 336

13.18
Stabilit?es orbites ?atoriales de photons. 337

13.19
Coordonn? d'Eddington-Finkelstein . . . . 339

13.20
Rotation lente et pr?ssion d'un gyroscope 342

Exercices ...................... 345

14 G??ie de Friedmann-Robertson-Walker 351

14.1
Le principe cosmologique 351

14.2
Feuilletage de l'espace-temps et congruences 352

14.3
Coordonn? comobiles synchronis? 352

14.4
Homog?it?t isotropie de l'Univers . . . . 354

14.5
3-espace ?ym?ie maximale . . . . . . . . . 355

14.6
La m?ique de Friedmann-Robertson-Walker 357

14.7
Propri?s g??iques de la m?ique de FRW 358

14.8
G??ques de la m?ique de FRW . . . . . . . 360

14.9
D?lage vers le rouge cosmologique. . . . . . . 362

14.10
Param?e de Hubble et param?e de d?l?tion 363

14.11
Distances dans la g??ie de FRW . . . . . . . . 366

14.12
Volumes et densit?de particules dans la g??ie de FRW 369

14.13
?uations de Friedmann-Lema?e . . . . . . . . . 371

14.14
?uation du mouvement du fluide cosmologique. 373

14.15
Fluide cosmologique ?ultiples composantes 375

Exercices .......................... 375

15 Mod?s cosmologiques 381

15.1
Composantes du fluide cosmologique 381

15.2
Param?es cosmologiques . . . . . . . 384

15.3
?uations du champ cosmologiques . 387

15.4
Comportement dynamique de l'Univers 388

15.5
?olution du facteur d'?elle . . . . 391

15.6
Mod?s cosmologiques analytiques .. 394

15.7
Temps retard?t ? de l'Univers . . . . 402

15.8
Relation entre distance et d?lage vers le rouge 404

15.9
Relation entre le volume et le d?lage spectral 406

15.10
?olution des param?es de densit? . . . . . . 407

15.11
?olution de la courbure spatiale . . . . . . . . . 410

15.12
Horizon des particules, horizon des ?nements et distance de Hubble 411

Exercices ........................................ 414

16 Cosmologie infiationnaire 421

16.1
D?nitiondel'inflation.......................... 421

16.2
Champs scalaires et transitions de phase dans l'Univers primordial 423

16.3
Un champ scalaire comme fluide cosmologique 424

16.4
?oque inflationnaire . . . . . . . . 425

16.5
L'approximation de roulement lent 426

16.6
Fin de l'inflation . . 427

16.7
Quantit?'inflation . . . . . . . . . 428

16.8
D?t de l'inflation . 429

16.9
« Nouvelle» inflation 430

16.10
Inflation chaotique. . 432

16.11
Inflation stochastique 433

16.12
Perturbations dues ?'inflation 434

16.13
?olution classique des perturbations d'un champ scalaire 434

16.14
Invariance de jauge et perturbations de courbure . . . . . . 438

16.15
?olution classique des perturbations de courbure . . . . . 441

16.16
Conditions initiales et normalisation des perturbations de courbure 443

16.17
Spectre de puissance des perturbations de courbure . . . . . . . 447

16.18
Spectre de puissance des perturbations de densit?e la mati? 449

16.19
Comparaison de la th?ie et des observations 450

Exercices .......................... 453

17 ?uations d'Einstein lin?is? 459

17.1
M?iqueenchampfaible. . . . . . . . . . . . . 459

17.2
?uations du champ gravitationnel lin?is? 462

17.3
Gravitation lin?is?en jauge de Lorenz '" 463

17.4
Propri?s g?rales des ?ations d'Einstein lin?is? 464

17.5
Solution des ?ations d'Einstein lin?is? dans le vide 466

17.6
Solution g?rale des ?ations du champ lin?is? 467

17.7
D?loppement multipolaire de la solution g?rale 471

17.8
Approximation de source compacte. . 472

17.9
Sourcesstationnaires .............. 474

17.10
Source statique et limite newtonienne. . . . . 476

17.11
?ergie-impulsion du champ gravitationnel. 477

Appendice 17A: formulation d'Einstein-Maxwell de la gravitation lin?is?480

Exercices ........................................ 483

18 Ondes gravitationnelles 489

18.1
Ondes gravitationnelles planes et ?ts de polarisation. . . . . . . . . . . . 489

18.2
Analogie entre les ondes gravitationnelles et les ondes ?ctromagn?ques 491

18.3
Passagedanslajauge TT ................... 492

18.4
Effet d'une onde gravitationnelle sur des particules libres 494

18.5
G?ration d'ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . 498

18.6
Flux d'?rgie en ondes gravitationnelles 501

18.7
Perte d'?rgie due ?'?ssion d'ondes gravitationnelles. 503

18.8
Acc?ration d'une binaire: le pulsar binaire PSR 81913 + 16 506

18.9
D?ction des ondes gravitationnelles. 507

Exercices ........................ 509

19 Approche variationnelle de la relativit??rale 515

19.1
Principe de Hamilton en m?nique classique. 515

19.2
Th?ie classique des champs et action . . . . . 518

19.3
?uations d'Euler-Lagrange . 519

19.4
Autre forme des ?ations d'Euler-Lagrange 521

19.5
Actions ?ivalentes . 523

19.6
Th?ie des champs d'un champ scalaire r? 524

19.7
Formulation variationnelle de l'?ctromagn?sme 526

19.8
Lagrangien d'Einstein-Hilbert et relativit??rale dans le vide 528

19.9
Forme ?ivalente de l'action pour la relativit??rale dans le vide 531

19.10
Formulation de Palatini de la relativit??rale dans le vide 532

19.11
Relativit??rale en pr?nce de mati? 534

19.12
Tenseur ?rgie-impulsion dynamique 535

Exercices