Les mathématiques en licence Tome 4
Cours et exercices corrigés

Bien connu des étudiants comme des enseignants, ce cours en quatre tomes est destiné aux étudiants des deux premières années de licence scientifique.

Les deux premiers volumes recouvrent l'enseignement généralement traité en première année, les deux derniers volumes, ceux de la deuxième année. Cette nouvelle édition revue et corrigée recouvre également l'essentiel du programme des classes préparatoires.

La compréhension du cours est facilitée par de nombreux exemples. Afin d'aider l'étudiant à bien assimiler les notions, de nombreux exercices et problèmes résolus sont proposés à la fin de chaque chapitre. Par ailleurs, un certain nombre de problèmes récapitulatifs assurent un approfondissement des concepts.

Cet ouvrage, qui a fait ses preuves, est le meilleur garant de réussite aux examens et aux concours.

TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE 1

Fonctions élémentaires de la variable complexe
1.1
Fonctions élémentaires de la variable complexe définie
par des séries............. 1

1.2
Fonctions hyperboliques de z............................................................... 3

1.3
Fonctions trigonométriques de z 3

1.4
Logarithme complexe 5

Résumé.......................................................................................................................... 5

Exercices... 6

Corrigés.......................................................................................................................... 8

CHAPITRE 2

Séries de Fourier
2.1
Définition. Étude de la convergence 15

2.2
Forme complexe d'une série de Fourier............................................. 17

2.3
Développement en série de Fourier
d'une fonction périodique............................................................... 18

2.4
Exemples 23

2.5
Cas d'une fonction quelconque............................................................ 26

2.6
Coefficients d'une série de Fourier complexe 30

2.7
Formule de Parseval.............................................................................. 32

2.8
Dérivation, intégration............................................................................ 34

Résumé.......................................................................................................................... 37

Exercices... 38

Corrigés...................................................................................................................... 41

CHAPITRE 3

Fonction d'une variable réelle définie par une intégrale
A.
Définitions et propriétés générales............................ 59

3.1
Fonction x ~ cp(x) = t f(t) dt, .. 59

3.2
Fonction x ~ cp(x) =~ f(x, t) dt, .. 60

3.3
Fonction x ~ cp(x) =~i:; f(x, t) dt, . 63

3.4
Fonction définie par une intégrale généralisée.
Convergence uniforme .. 63

3.5
Propriétés des fonctions définies par des intégrales
uniformément convergentes . 65

3.6
Second théorème de la moyenne .. 66

B.
Fonctions eulériennes......................................................................................... 68

3.1
Définitions 68

3.2
Relation de récurrence de la fonction T 69

3.3
Étude de la fonction T........................................................................... 70

3.4
Prolongement de Taux réels négatifs................................................ 71

3.5
Relation entre les fonctions Tet B 72

3.6
Formule des compléments 73

3.7
Formule de Stirling................................................................................. 74

Résumé.......................................................................................................................... 75

Exercices....................................................................................................................... 77

Corrigés.......................................................................................................................... 81

CHAPITRE 4

Réduction d'un endomorphisme
A.
Rappels et compléments.................................................................................... 95

4.1
Rappels sur les valeurs propres et la diagonalisation 95

4.2
Trigonalisation 96

B.
Polynôme minimal............................................................................................... 100

4.1
Polynômes d'endomorphismes 100

4.2
Polynôme minimal................................................................................. 101

4.3
Théorème de Cayley-Hamilton 102

4.4
Détermination du polynôme minimal.................................................. 105

4.5
Relation entre diagonalisation et polynôme minimal........................ 107

C.
Décomposition spectrale 109

4.1
Sous-espaces caractéristiques............................................................ 109

4.2
Théorème de décomposition spectrale 111

4
:3 Projecteurs spectraux 114

D.
Applications. Exponentielle d'une matrice....................................................... 118

4.1
Applications de la réduction au calcul des puissances
d'une matrice et aux suites récurrentes......................................... 118

4.2
Application de la réduction aux systèmes différentiels

à
coefficients constants du premier ordre...................................... 121

4.3
Endomorphisme défini par une série entière..................................... 124

4.4
Application de l'exponentielle d'une matrice
aux systèmes différentiels linéaires............................................... 129

Résumé 132

Exercices............................................. ........................................................................... 135

Corrigés.......................................................................................................................... 138

CHAPITRE 5

Formes quadratiques. Espaces euclidiens. Isométries
A.
Formes bilinéaires. Formes quadratiques 155

5.1
Forme bilinéaire. Définition et représentation matricielle................. 155

5.2
Forme bilinéaire symétrique, forme quadratique associée.............. 157

5.3
Orthogonalité par rapport à une forme quadratique 158

5.4
Base orthogonale. Diagonalisation.
Décomposition en carrés 159

B.
Espace euclidien 163

5.1
Définition d'un espace euclidien. Produit scalaire 163

5.2
Norme associée à un produit scalaire. Espace normé 163

5.3
Base orthonormée d'un espace euclidien.
Procédé d'orthonormalisation de Schmidt..................................... 165

5.4
Changement de base orthonormée.
Matrice orthogonale, endomorphisme orthogonal............. 167

5.5
Notions sur les isométries d'un espace vectoriel euclidien 169

5.6
Isométries de [R2 et [R3........................................................................... 171

5.7
Réduction d'une matrice symétrique réelle.
Application aux formes quadratiques......................... 173

5.8
Réduction des coniques et quadriques à centres 173

5.9
Produit mixte et produit vectoriel dans un espace euclidien
de dimension n.......... 176

Résumé 176

Exercices............................................. ........................................................................... 179

Corrigés.......................................................................................................................... 182

CHAPITRE 6

Formes hermitiennes. Matrices hermitiennes
6.1
Formes sesquilinéaires. Formes hermitiennes.................................. 191

6.2
Matrice d'une forme hermitienne en dimension finie........................ 192

6.3
Produit scalaire hermitien. Orthogonalité 193

6.4
Matrice unitaire, endomorphisme unitaire 194

6.5
Réduction d'une matrice hermitienne 194

Exercices............................................. ........................................................................... 195

Corrigés.......................................................................................................................... 196

CHAPITRE 7

Compléments de géométrie
A.
Courbure des courbes planes 199

7.1
Définitions.. 199

7.2
Rayon et centre de courbure. Formules de Frenet 200

7.3
Calcul pratique du rayon de courbure 201

7.4
Interprétation cinématique de la courbure 203

7.5
Développée d'une courbe plane.......................................................... 204

7.6
Développantes d'une courbe plane r................................................. 207

B.
Courbure et torsion des courbes gauches 208

7.1
Généralités....................................... 208

7.2
Trièdre de Frenet. Courbure et torsion 209

7.3
Étude du plan osculateur...................................................................... 211

7.4
Interprétation et calcul de Ret 'T 212

C.
Enveloppes dans le plan 212

7.1
Définitions 212

7.2
Enveloppe d'une famille

de courbes d'équation f(x, y, A) = 0 213

7.3
Exemple................................................................................................... 214

7.4
Équation d'Euler d'une courbe plane.................................................. 216

D.
Enveloppes dans l'espace 217

Résumé.......................................................................................................................... 218

Exercices 220

Corrigés...................................................................................................................... 223

Problèmes d'examen Licence SCIENCES 29 année.......................................... 239

Énoncés.............................................................. 239

Corrigés.......................................................................................................................... 244

Autres épreuves d'examen Licence SCIENCES 29 année 268

Brèves notices sur les mathématiciens 275

Index 277