Algorithmique mathématiques
Travaux pratiques et applications Scilab pour le lycée et la licence

Cet ouvrage, constitué de travaux pratiques corrigés d'algorithmique, traite de la résolution de problèmes concrets de mathématiques portant sur les thèmes suivants:

•     fonctions et résolutions d'équations

•     probabilités

•     suites numériques

•     arithmétique

•     géométrie.

Il s'adresse aux élèves du lycée, aux étudiants de licence, aux enseignants, mais aussi à tous ceux qui sont intéressés par la résolution pratique de problèmes de mathématiques à l'aide de programmes informatiques.

Les programmes sont écrits en langage Scilab. Scilab est un logiciel libre fournissant un environnement de calculs numériques pour des applications scientifiques. L'ouvrage dispose également de fiches pratiques pour l'utilisation des principales commandes de ce langage et permet ainsi un apprentissage rapide du logiciel.

De par la présence de travaux pratiques variés et corrigés, cet ouvrage constitue une ressource particulièrement adaptée pour les élèves et lés enseignants, notamment dans l'application du nouveau programme de mathématiques en algorithmique, effectif depuis la rentrée scolaire 2009.

JOSÉ OUIN est agrégé de génie civil et agrégé de mathématiques. Il s'intéresse aux questions qui lient mathématiques et analyse numérique et a déjà développé plusieurs logiciels (calcul de structures en béton armé, simulation thermique, cryptage de pages Internet, extraction des icônes des fichiers exécutables).

SOMMAIRE

LIalgorithmique
1· Introduction ?'algorithmique 9

1·1.
D?nition de l'algorithmique 9

1·2.
Algorithmique et programmation 10

1-2.1
Un algorithme puis un programme 10

1-2.2
Les ?ments de base d'un algorithme 10

1-2.3
Les conventions d'?iture d'un algorithme 11

2· Les instructions 12

2·1.
Les instructions pour traiter les donn? 12

2·1.1
L'affectation de donn? dans des variables 12

2-1.2
La lecture (ou entr? des donn? 12

2-1.3
L'?iture (ou sortie) des donn? 13

2·2.
Les instructions ou structures de contr?14

2-2.1
La structure alternative 14

2-2.2
Les structures r?titives : 15

3· Le logiciel Scilab 18

3·1.
Pr?ntation du logiciel 18

3·2.
T?chargement du logiciel 18

3·3.
Les principaux ?ments du logiciel Scilab 19

4· Les instructions du langage Scilab 22

4-1.
Lecture et ?iture des donn? 22

4-1.1
INPUT 22

4-1.2
DISP 22

4-1.3
PRINTF 23

4·2.
Les fonctions 23

4-2.1
ASCII 23

4-2.2
CLF 24

4-2.3
DEFF 24

4-2.4
FPLOT3D1 24

4-2.5
FUNCTION 25

4-2.6
GCA & ISOVIEW 26

4-2.7
INT 26

4-2.8
LENGTH 26

4-2.911NSPACE
26

4-2.10
MODULO 27

4-2.11
ONES 27

4-2.12
PLOT 27

4-2.13
PLOT2D3 28

4-2.14
RAND 29

4-2.15
STRCAT 29

4-2.16
STRSPLIT 29

4-2.17
SCF 30

4-2.18
SUM 30

4-2.19
XSET 30

4-2.20
ZEROS 30

Premi? partie -Enonc?des travaux pratiques
A -Fonctions et r?lution d'?ations
1· R?lution d'une ?ation du second degr?4

2· R?lution de "?ation f(x) =0-M?ode de dichotomie 35

3· Repr?ntation graphique d'une fonction 37

4-Etude d'une courbe 39

5· D?rmination de l'?ation d'une droite 41

B -Probabilit?
1· Le jeu du li?e et de la tortue 43

2· Le jeu des triangles 45

3· La d?nt?ation radioactive 47

4-Simulation du lancer de trois d?49

5· La planche de Galton 50

6· Recherche d'une strat?e de jeu 52

C -Suites num?ques
1-Evolution d'une population de lapins 55

2.
La suite de Syracuse 57

3· Suites d?nies conjointement 59

4· Suite d?nie par une relation de r?rrence 60

5-Suite d?nie par une moyenne arithm?que 61

6-Somme des termes d'une suite 62

0-Arithm?que
1· Algorithme d'Euclide: D?rmination du PGCD 64

2· Restes de la division euclidienne par p 65

3· Etude du reste d'une division euclidienne 66

4· Cryptographie sym?ique ou ?l?ecr? 67

5· Nombres premiers -Crit? de primalit?0

6· Ensemble des diviseurs positifs d'un entier naturel.. 72

7· Nombres ?oyenne harmonique enti? 73

E -G??ie
1· Etude d'un triangle 76

2· Etude d'un parall?gramme 77

3· Etude d'un alignement de points 78

4-Repr?ntation graphique d'une surface de l'espace 79

5· Sections planes de surfaces 80

Deuxi? partie -Solutions des travaux pratiques
A -Fonctions et r?lution d'?ations
1· R?lution d'une ?ation du second degr?4

2· R?lution de "?ation f(x) =0 -M?ode de dichotomie 86

3· Repr?ntation graphique d'une fonction 88

4· Etude d'une courbe 90

5· D?rmination de l'?ation d'une droite 92

8 -Probabilit?
1· Le jeu du li?e et de la tortue 95

2· Le jeu des triangles 98

3· La d?nt?ation radioactive 100

4· Simulation du lancer de trois d?103

5· La planche de Galton 107

6· Recherche d'une strat?e de jeu 111

C -Suites num?ques
1-Evolution d'une population de lapins 115

2-La suite de Syracuse 117

3· Suites d?nies conjointement 119

4-Suite d?nie par une relation de r?rrence 125

5· Suite d?nie par une moyenne arithm?que 128

6· Somme des termes d'une suite 131

0-Arithm?que
1-Algorithme d'Euclide: D?rmination du PGCD 134

2· Restes de la division euclidienne par p 136

3· Etude du reste d'une division euclidienne 138

4-Cryptographie sym?ique ou ?l?ecr? 141

5· Nombres premiers -Crit? de primalit?43

6· Ensemble des diviseurs positifs d'un entier naturel 144

7· Nombres ?oyenne harmonique enti? 147

E -G??ie
1-Etude d'un triangle 151

2· Etude d'un parall?gramme 156

3· Etude d'un alignement de points 159

4-Repr?ntation graphique d'une surface de l'espace 162

5· Sections planes de surfaces 168