Probabilités et statistiques pour le CAPES et l'Agrégation Interne

Cette collection regroupe des ouvrages variés dont le but est de compléter la formation scientifique des candidats aux concours d'Agrégation et de CAPES de Mathématiques, et éventuellement de leur donner une préparation spécifique à une épreuve ou un type d'épreuve.

Cet ouvrage est le fruit de la participation régulière de l'auteur aux jurys des concours ainsi qu'à la préparation des candidats.
Il propose aux candidats préparant le CAPES de Mathématiques un cours de probabilités correspondant au programme de l'écrit, ainsi que des exercices, tous corrigés, sur chaque chapitre. Les leçons d'oral de dénombrements et de probabilités y sont également traitées, et commentées.

Il s'adresse aussi aux candidats à l'agrégation interne, dont le programme du concours comprend celui du CAPES et quelques points spécifiques (signalés comme tels) qui sont détaillés.

Ce livre ne nécessite aucun pré-requis en probabilités et, conformément aux programmes, les probabilités ne sont pas abordées avec le point de vue de la théorie de la mesure.

Sommaire

1 Espaces probabilisés Il LI Expérience aléatoire et univers Il
1.2Événements................................................. .. 12

1.3
Probabilité 14

lA Probabilité conditionnelle 21

1.5
Formule des probabilités totales 22

1.6
Formule de Bayes 24

1.7
Indépendance de deux événements 25

1.8
Indépendance de n événements 26

1.9
Énoncé des exercices 27

1.10
Correction des exercices.................................... .. 30

II Variables aMatoires
: généralités 39

II.1
Définition 39

11.2
Loi de probabilité d'une variable aléatoire 40

11.3
Fonction de répartition 41

lIA Vecteurs aléatoires 44

11.5
Énoncé des exercices 45

11.6
Correction des exercices 46

III Variables aMatoires discrètes 53

IIL1 Définition 53

III.2
Loi de probabilité ~ 53

III.3
Fonction de répartition 55

IlIA Espérance 55

III.5Compositionparune
nction............................. .. 59

III.6
Variance et écart-ype 60

III.7
Énoncé des exercices 63

III.8
Correction des e~ercices 66

IV Lois discrètes usuelles 77

IV.1
Loi uniforme sur [1; n] 77

IV.2
Loi de Bernoulli............................................. 78

IV.3
Loi binomiale 78

IVA Loi hypergéométrique 80

IV.5
Loi géométrique 82

IV.6
Loi de Poisson , 83

IV.7
Fonction génératrice 84

IV.8
Énoncé des exercices 89

IV.9
Correction des exercices 91

V Vecteurs aléatoires discrets 97

V.1
Loi de probabilité 97

V.2
Lois marginales 99

V.3
Lois conditionnelles 100

VA Indépendance de 2 variables aléatoires réelles 101

V.5
Espérance du produit de 2 variables aléatoires 101

V.6
Indépendance de n variables aléatoires réelles. . . . . . . . . . . . . . .. 102

V.7
Somme de n variables aléatoires 103

V.8
Covariance et coefficient de corrélation linéaire 105

.V.
9 Somme de variables de Bernoulli indépendantes 106

V.lO
Somme de variables binomiales indépendantes 107

V.11
Somme de variables de Poisson indépendantes 108

V.12
Enoncé des exercices....................................... 109

V.13
Correction des exercices 110

VI Variables aléatoires à densité 119

VI.1
Généralités................................................. 119

VI.2
Espérance et variance d'une v.a.r. à densité. . . . . . . . . . . . . . . .. 122

VI.3
Loi uniforme sur [a; b] 125

VIA Loi exponentielle 126

VI.5
Loi normale, ou loi de (Laplace-)Gauss 127

VI.6
Énoncé des exercices 130

VI.7
Correction des exercices 132

VII Vecteurs aléatoires à densité 141

VII.1
Généralités en dimension 2 141

VII.2
Indépendance de 2 variables à densité 142

VII.3
Densité d'une somme de 2 variables à densité. . . . . . . . . . . . .. 144

VIlA Vecteur aléatoire à densité en dimension p 144

VII.5
Indépendance de p variables à densité 145

VII.6
Covariance et coefficient de corrélation 146

VII.7
Espérance et variance d'une somme de p variables à densité 147

VII.8
Loi normale en dimension 2 147

VII.9
Loi normale en dimension p 151

VII.lO
Énoncé des exercices 152

VII.
Il Correction des exercices 153

VIn Suites de variables aléatoires 159

VIII.1
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 159

VIII.2
Convergence en probabilité 160

VIII.3
Convergence en loi 161

VIllA Convergence presque sûre. .............................. .. 164

VIII.5
Énoncé des exercices. ................................... .. 165

VIII.6
Correction des exercices 167

IX Leçons d'oral (CAPES Externe) 173

IX.1
Utilisation d'arbres, de tableaux, de diagrammes pour des
exemples de dénombrement. Dénombrement des arrangements et
des permutations. ............................................. .. 174

IX.2
Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, for­mule du binôme. Applications 179

IX.3
Description mathématique d'une expérience aléatoire : en­
semble des événements élémentaires, événements, probabilité (on
se limitera au cas où l'ensemble des événements élémentaires est
fini) 186
IXA Probabilité conditionnelle; indépendance de 2 événements (on
se limitera au cas où l'ensemble d'épreuves est fini). Applications à

des calculs de probabilité 193

IX.5
Variable aléatoire à valeurs réelles dont l'ensemble des va­

leurs est fini. Loi de probabilité. Espérance mathématique, variance.
Exemples 199

IX.6
Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples 206

IX.7
Séries statistiques à deux variables numériques. Nuage de

points associé. Ajustement affine par la méthode des moindres

carrés.
Droites de régression. Applications. L'exposé pourra être
illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une
calculatrice .................................. .. 210

IX.8
Compléments' sur les statistiques doubles 215

Annexe 1 218

Annexe 2 220