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Cours d'algèbre 

Cours d'algèbre
Cours et exercices corrigés.

Editeur : ELLIPSES

Collection : Mathématiques 2ème cycle

Année : 12/2002

En stock, expédition demain (en savoir plus)
 Prix public : 
19,50 €
Réservation pour achat ou consultation en librairie (en savoir plus)


La collection Mathématiques 2e cycle se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises.

Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels et de nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur.

Ce livre est issu d'un cours donné par l'auteur, pendant plusieurs années, à l'université Paris-Sud (Orsay), au niveau de la maîtrise. Il permettra aux étudiants d'acquérir de solides connaissances en Algèbre générale, tout en leur offrant une ouverture sur des sujets variés: algèbre commutative, représentations linéaires de groupes finis, théorie de Galois.

Pour ajouter un peu de sel aux inévitables généralités du début, l'auteur a choisi de mettre, d'emblée, une légère emphase sur les propriétés universelles. Bien qu'elles soient quelquefois accusées de formalisme gratuit, il est raisonnable de ne pas se priver de cette façon de penser.

Le public de ce cours est constitué d'étudiants ayant suivi un enseignement d'algèbre en licence. Les connaissances préalables nécessaires à la lecture de cet ouvrage sont toutefois assez minces.



Fiche Technique cours d'algèbre :
ANNEE : 12/2002
RELIURE : Broché
NBR DE PAGES : 184
ISBN 10 : 2729813276
ISBN 13 : 9782729813277

Table des matières

Chapitre 1 Anneaux, modules, généralités
1.
Généralités sur les anneaux 1

2.
Modules 4

3.
Idéaux 7

4.
Algèbres de polynômes.......... 10

5.
Exercices 15

Chapitre II Quelques anneaux un peu moins généraux
1.
Modules de type fini et anneaux noethériens 17

2.
Anneaux factoriels 20

3.
Anneaux principaux et euclidiens 24

4.
Factorialité des anneaux de polynômes 27

5.
Anneaux produits, idéaux étrangers 30

6.
Structure des algèbres finies sur un corps . . 32

7.Exercices......... .......... ........... .................... 34

Chapitre III Produit tensoriel
1.
Définitions et quelques généralités 39

2.
Premières propriétés et exemples de calculs 40

3.
Changement d'anneau.. 43

4.
Produit tensoriel de deux A-algèbres 46

5.
Quelques remarques particulières au cas IR ---t te 48

6.
Exercices 49

Chapitre IV Introduction aux représentations linéaires Représentations des groupes abéliens finis
1.
Représentations linéaires: définitions et exemples 51

2.
Représentations irréductibles 53

3.Groupeduald'ungroupeabélienfini..... .................. 55

4.
Les représentations du plus petit groupe non abélien: 53 . . . 59

5.
Exercices 60

Chapitre V Théorie des caractères et algèbre qG]
1.
Généralités sur les caractéres 63

2.
Orthogonalité des caractères irréductibles 64

3.
Algèbre qG] et composantes isotypiques.. . 65

4.
Tabledescaractères........................................ 67

5.
Quelques exemples......................................... 68

6.Aperçusurlesreprésentationsinduites..................... 72

7.
Autres opérations sur les représentations: puissances. . . . . . . 73

symétriques et extérieures

8.
Exercices 77

Chapitre VI Extensions de corps Généralités sur les extensions algébriques
1.
Extensions de corps, caractéristique, corps premiers 81

2.
Extensions algébriques, extensions finies 82

3.
Corps de rupture, corps de décomposition ' . . . . . . . 84

4.
Corps algébriquement clos, clôture algébrique. . . . . . . . . . . . . . . 86

5.
Corps finis 88

6.
Aperçu sur les extensions transcendantes ' .. '' . .. . . . 91

7.
Exercices 92

Chapitre VII Extensions algébriques séparables
1.
Multiplicité des racines, degré séparable d'un polynôme 95

2.
Extensions séparables, clôture séparable 97

3.
Corps parfaits 99

4.
Séparabilité et structure de L ®K K 101

5.Théorèmedel'élémentprimitif....... ..................... 103

6.
Exercices 105

Chapitre VIII Correspondance de Galois
1.
Extensions normales et extensions galoisiennes 107

2.
Groupe d'automorphismes d'une extension galoisienne 108

3.
Théorème d'Artin et correspondance de Galois 109

4.
Théorème de la base normale.......................... 111

5.
Exercices 113

Chapitre IX Quelques exemples plus ou moins exemplaires
1.
Groupe de Galois d'un polynôme, exemples en bas degré 115

2.
Bref retour sur les corps finis 117

3.
Extensions cyclotomiques 118

4.
Extensions de Kummer, extensions d'Artin-Schreier.... 120

5.Extensionslinéairementdisjointes......................... 122

6.
Exercices 125

Chapitre X Norme, trace, éléments entiers. Applications
1.
Norme et trace 131

2.
Entiers d'un corps de nombres 133

3.
Réduction modulo p et étude d'un groupe de Galois sur Q 138

4.Théorèmedeszéros....................................... 139

5.
Exercices 141

Chapitre XI Extensions résolubles par radicaux Constructions à la règle et au compas
1.
Groupes résolubles 143

2.
Extensions résolubles par radicaux 145

3.
Les fonctions symétriques et la non-résolubilité par radicaux 147

4.
Constructions à la règle et au compas 149

Solutions des exercices 153

Bibliographie 181

Index.................................................................... 183


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