Classes caractéristiques en Géométrie différentielle
Cours et exercices corrigés

La collection Mathématiques à l'Université se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises.

Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles. Les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels, et de nombreux exercices corrigés. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur.

Le sujet traité dans cet ouvrage, l'étude des classes caractéristiques en géométrie différentielle et de leurs résidus, qui conduit à des résultats profonds et spectaculaires, n'est en général abordé que dans des cours spécialisés de haut niveau.

Les auteurs montrent que ce sujet peut avantageusement être abordé dès la troisième année d'études universitaires : le premier chapitre expose en effet un « exemple prototype », l'invariant d'Euler-Poincaré d'une surface compacte, facile à appréhender sans grandes connaissances préalables et dont l'intérêt est immédiatement perceptible.

Avant d'aborder la généralisation pour laquelle cet exemple doit servir de guide, les auteurs donnent des exposés détaillés de la théorie des espaces fibrés et des connexions. Ces exposés, du niveau des études doctorales, ont un intérêt propre et sont susceptibles de rendre service à un public d'étudiants ou de chercheurs non-spécialistes, indépendamment de l'usage qui en est fait dans ce livre.

De très nombreux exercices sont disséminés dans le texte, qui font partie intégrante de l'ouvrage : leurs résultats sont fréquemment utilisés par la suite. Dans un appendice, sont rappelés succinctement quelques-uns des outils utilisés au cours des précédents chapitres.

Cet ouvrage rendra de très grands services, car il accompagnera son lecteur pendant plusieurs années, tout au long de ses études universitaires et au-delà.

Table des matières

Avant-propos ix

1 Un exemple prototype 1

1.1
Connexions sur l'espace tangent à une surface 1

1.2
Courbure d'une connexion . 3

1.3
Invariant d'Euler-Poincaré d'une surface compacte. 3

1.4
Théorème de Poincaré-Hopf ... 6

1.5
Faces polygonales sur une surface . . . . 10

1.5.1.
Courbure géodésique . 12

1.5.2.
Formule locale de Gauss-Bonnet. 13

1.6
Décompositions cellulaires . 14

1.6.1.
Théorème d'Euler .. 15

1.6.2.
Homologie cellulaire 16

2 Espaces fibrés différentiables 19

2.1
Introduction.................. 19

2.2
Espaces fibrés localement triviaux . . . . . . 20

Orientation et intégration le long des fibres . 23

2.3
Fibrésvectoriels ................ 26

2.3.1.
Métriques riemanniennes et hermitiennes sur un fibré vectoriel 28

2.3.2.
Opérations sur les fibrés vectoriels. 28

2.3.3.
Fibrés vectoriels holomorphes 30

2.4
Fibrésprincipaux .......... 31

2.5
Fibrés associés à un fibré principal 34

2.6
Fibrés vectoriels et G-modules . . . 35

2.6.1.
Morphismes de G-modules . 36

2.6.2.
Opérations sur les G-modules 36

2.7
Formes à coefficients dans un fibré vectoriel 36

Formes tensorielles à valeurs dans un G-module 37

2.8
Réduction du ;groupe structural . . . . . . 40

Réduction généralisée du groupe structural 42

2.9
Systèmes de fonctions de transition 43

Cas d'un fibré principal. 44

Casd'unfibréassocié. . . . . . . . 45

2.10Revêtements............. 45

2.11
Espaces projectifs et variétés projectives 47

2.11.1.
Espaces fibrés usuels au dessus d'un espace projectif. 48

2.11.2.Variétés
projectives................... 49

Table des matières
3 Connexions 53

3.1
Introduction......................... 53

3.2
Connexions sur les fibrés principaux. . . . . . . . . . . . 54

3.2.1.
Espaces horizontaux et transport par parallélisme 54

3.2.2.
Formesdeconnexion ................ 56

3.2.3.
Une première application aux images réciproques de fibrés par
des applications homotopes .... 58

3.2.4.
Formedecourbure . . . . . . . . . 58

3.2.5.
Différentielle extérieure covariante. 60

3.3
Connexions sur les fibrés vectoriels réels 61

3.3.1.
Dérivation covariante sur les fibrés vectoriels réels 61

3.3.2.
Courbure des connexions sur les fibrés vectoriels . 65

3.3.3.
Différentielle extérieure covariante des formes à coefficients
dans un fibré vectoriel . . . . . 66

3.4
Connexions sur les espaces homogènes 68

3.4.1.
Espaces homogènes réductifs. . 68

3.4.2.
Connexions invariantes à gauche. 69

3.4.3.
Géométries et connexions de Cartan modelées sur un espace
homogène ...................... 71

3.5
Connexions sur les fibrés vectoriels complexes 72

3.5.1.
Connexions sur les fibrés vectoriels complexes Ccc . . . . . . . 72

3.5.2.
Connexions de type (1,0) sur les fibrés vectoriels holomorphes 74

3.6
Opérations sur les connexions 75

3.6.1.
Images réciproques . 75

3.6.2.
Produits fibrés 76

3.6.3.
Sommes de Whitney 76

3.6.4.
Produits tensoriels . 77

3.6.5.
Fibrés vectoriels duaux 77

3.7
Holonomie, holonomie restreinte, et courbure. 77

3.7.1.
Représentation des groupes d'holonomie dans le groupe struc­tural ............................ 78

3.7.2.
Réduction du groupe structural au groupe d'holonomie 79

3.7.3.
Relation entre courbure et holonomie restreinte 80

4 Classe d'Euler et isomorphisme de Thom-Gysin 85

4.1
Introduction..................... 85

4.2
Classe d'Euler des fibrés orientés en sphères ... 86

4.3
Sections à singularités, classe d'Euler résiduelle, et degré 90

Cas particulier n = r
: degré local d'une section 92

4.4
Isomorphisme de Tholl).-Gysin 94

4.5
Sous-variétés et dualitê 97

5 Théorie de Chern-Weil 101

5.1
Introduction.............. 101

5.2
Définition des formes caractéristiques 102

5.3
L'algèbredeWeil ........... 103

5.3.1.
Rappel sur les algèbres différentielles graduées commutatives
(adgcetG-adgc) ..... . . . . . . . . . . . 103

5.3.2.
Les connexions comme morphismes de G-adgc 110

5.3.3.
Une autre construction des formes caractéristiques. 114

5.3.4.
Latransgression. . . . . . . . . . . . . 115

5.4
Opérateursdedifférenceitérée . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.5
Quelques exemples de classes caractéristiques. . . . . . . 117

5.5.1.
Remarque sur la restriction du groupe structural. 117

5.5.2.
Coefficients du polynôme caractéristique (G = GL(r, OC)) 118

5.5.3.
Les classes de Chern (G = U(r) ou GL(r,C)) .... 119

5.5.4.
Les classes de Pontrjagin (G = O(r) ou GL(r, IR)) .. 122

5.5.5.
La classe d'Euler définie par le pfaffien (G = SO(2r)) 124

5.6
Théorie de Chern-Weil en K-théorie . . . . . 129

5.6.1.
EsquissedeK-théorie ................. 130

5.6.2.
Classes caractéristiques en K-théorie 133

5.6.3.
Connexions et formes caractéristiques en K-théorie 134

5.6.4.
Extension de l'opérateur différence itérée à la K-théorie 135

5.7
Quelques théorèmes d'annulation ou d'obstruction. . . . . . . 136

5.7.1.
Obstructions à la réduction du groupe structural. . . . 136

5.7.2.
Obstructions à l'existence d'un champ de vecteurs holomorphe
sans singularité 137

5.7.3.
Théorèmes d'annulation de Bott 140

5.7.4.
Obstructions à l'existence d'un champ de Killing sans singu­larité sur une variété riemannienne . . . . . . . . . . . .. 143

5.7.5.
Obstructions à l'exactitude d'une suite de fibrés vectoriels 147

6 Quelques théorèmes de rêsidus 151

6.1
Introduction............................... 151

6.2
Procédé général de fabrication et calcul
des résidus en Géométrie différentielle. . . . . . . . 152

6.2.1.
Théorie de Chern-Weil sur MV*(U) ..... 152

6.2.2.
Un premier exemple: les résidus de Cauchy 156

6.3
Restriction du groupe structural. . . . . . . . . . . 156

6.3.1.
Indices de Poincaré-Hopf pour les fibrés vectoriels réels 157

6.3.2.
Indices de Poincaré-Hopf pour les fibrés vectoriels complexes 159

6.4
Champs de vecteurs holomorphes et résidus de Bott . . . . . . 163

6.4.1.
Cas d'un point singulier isolé: résidus de Grothendieck 164

6.4.2.
Cas où EQ est une sous-variété holomorphe lisse de V 168

6.5
Champs de Killing et résidus de Baum-Cheeger 170

6.6
RésidusenK-théorie , ............. 174

6.6.1.
Résidus de Baum-Bott . . . . . . . . . . 175

6.6.2.
Indices des applications holomorphes . . 176

6.6.3.
Suites de fibrés exactes presque partout. 178

6.6.4.
Genre géométrique des courbes singulières 180

6.6.5.
IndicesGSV ................. 184

6.6.6.
Résidus des feuilletages holomorphes relativement à
une sous-variété non nécéssairement invariante . 186

6.6.7.
Singularités dicritiques des champs de vecteurs. . . 188

7 Appendice 193

7.1
Rudimentsd'algèbrehomologique . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7.1.1.
Suitesexactes. ....................... 193

7.1.2.
Cohomologie d'un complexe de chaîmes ou de cochaîmes 194

7.2
Rappels sur les groupes et algèbres de Lie 195

7.2.1.
GroupesdeLie ........... 195

7.2.2.
Algèbre de Lie d'un groupe de Lie. 197

7.2.3.
L'application exponentielle. 198

7.2.4.
La représentation adjointe . . 199

7.2.5.
Tores maximaux 199

7.3
Rappels sur le complexe de de Rham . 200

7.4
Complexe de Mayer-Vietoris et dualité . 208

7.4.1.
Cohomologie locale et excision. . 209

7.4.2.
Intégration sur MVN (U) et dualité . 210

7.5
ComplexedeCech-deRham . . . . . . . . .213

7.5.1.

Rappels sur le complexe de Cech-de Rham . 213
7.5.2.

Intégration sur le complexe de Cech-de Rham . 215
7.5.3.

Dualité dans le complexe de Cech-de Rham . 217
7.5.4.

RésidusdeGrothendieck . . . . . . . . . . . .218
Bibliographie
221
Index
226