Structures Comprendre les éléments finis
Principes, formations et exercices corrigés

L'ouvrage : niveau C (Master - Écoles d'ingénieurs - Recherche)

Comprendre les éléments finis est indispensable pour l'analyse et la conception des structures.
Avec plus de 50 exercices corrigés, l'ouvrage présente de façon claire, progressive et complète, les principes et les formulations de cette méthode, en s'appuyant sur des illustrations concrètes.

Dans la première partie, sont d'abord exposés les principes de la méthode en partant de la construction des fonctions de forme, jusqu'à la formulation des éléments isoparamétriques.

L'application aux éléments de structures est illustrée dans la deuxième partie par de nombreux exercices, résolus pas à pas pour assurer efficacement l'assimilation des connaissances et le développement des aptitudes opérationnelles chez le lecteur.
Dans la troisième partie, la formulation est étendue au maillage adaptatif, au problème de champ, à la dynamique et à la non-linéarité.

L'ouvrage s'adresse aux élèves-ingénieurs, aux ingénieurs en activité ou aux développeurs de codes de calcul, et constitue un support précieux pour les enseignants.

Table des mati?s

Table des notations vii

Partie A
: Fondements de la m?ode des ?ments finis 1

1 Philosophie g?rale 3

1
La mod?sation: une d?rche complexe 3

2
Approche num?que en m?nique des solides 5

2.1
Difficult?rencontr? ...... 5

2.2
M?odes de r?lution .7

2.
3 Int?t des m?odes num?ques 8

3
M?ode des ?ments finis . . . . . . 9

3.1
Domaines d'application .9

3.2
Types de probl?s EF .9

4
El?nts utilis?. 10

4.1
Discr?sation .. 10

4.2
Types d'?ments . 12

5
Exemplesindustriels ......... ............... 14

5.1
A?r?ig?nt d'une centrale nucl?re. ............ 14

5.2
Collecteur d'?appement .. . .16

6
Conclusion. .......... .............. 16

2 Principes de l'approximation 17

1
Principe de l'approximation . 17

2
Fonctions de forme . . . . . . 18

3
Construction des fonctions de forme . 23

3.1
M?ode directe .... 23

3.2
Polyn? de Lagrange 27

3.3
Polyn? d'Hermite . 30

3.4
Famille De Serendip .. 32

3.5
M?ode barycentrique. 35

3.6
M?ode des droites .. 37

3.
1 Conditions de conformit?9

4
Convergence... 41

5
Classes CO et Cl . 43

TABLE DES MATI ?ES
3 Formulation des ?ments 45

1
Energie potentielle totale . . . . . . . . 45

2
Formulation des matrices ?mentaires 52

2.1
Champ de d?acement 52

2.2
D?rmations . 53

2.3
Contraintes....... 54

2.4
Formes variationnelles . 54

2.5
Matrices ?mentaires . 54

3
Passage au rep? de la structure 56

4
Assemblage...... 57

5
Conditions aux limites . . . . . . 59

6
R?lution............. 60

7
Algorithme de calcul par ?ments finis 61

8
Conclusion . 61

4 El?nts isoparam?iques 63

1
Transformation g??ique 63

2
Fonctions de forme . . . . . 67

3
Crit?s de convergence ... 67

4
Formulation des ?ments isoparam?iques 67

4.1
Matrice de rigidit? 67

4.2
Forces ?mentaires . 69

5
Int?ationnum?que . . . . . . . . . . . . . .. 70

5.1
M?ode des trap?s. 70

5.2
M?ode de Simpson . 71

5.3
M?ode de Gauss .. 71

5.4
M?ode de Hammer . 74

6
Exercices r?lus . 74

Partie B
: El?nts de structures 79

5 El?nts de barre 81

1
Formulation................. . . . . . . . . . . . .. 81

1.1
Champ de d?acement . 81

1.2
Relation d?rmation-d?acement . 82

1.3
Loi de comportement. ... 82

2
Exercices r?lus . 82

6 El?nts de poutre 101

1
Formulation................. 101

1.1
Champ de d?acement . 101

1.2
Relation d?rmation-d?acement. 102

1.3
Loi de comportement. ....... 102

1 (O)
2 Exercices r?lus Table des mati?s
7 El?nts plans 119

1
Formwation.............. 119

1.1
Champs de d?acement 119

1.2
Elasticit?lane. ....... 121

1.3
Axisym?ie......... 122

2
Exercices r?lus . 123

8 El?nts de volwne 165

1
Formwation............... 165

1.1
El?nts t?a?iques ..... 165

1.2
El?nts hexa?iques ..... 166

1.3
Relation d?rmation-d?acement. 167

1..4 Loi de comportement. .... 167

2
Exercices................... 168

9 El?nts de plaque 173

1
Formwation............... 173

1.1
Th?ie de Kirchhoff. .... 174

1.2
Th?ie de Henky-Mindlin .. 175

2
El?nts de plaques minces . . . . . 175

2.1
Plaques ?paisseur mod?e . 180

3
Exercices r?lus . 180

10 El?nts de coque 189

1
Formulation............... 189

1.1
El?nt de membrane ..... 189

1.2
El?nt de plaque ....... 190

1.3
Assemblage des deux ?ments. 191

1.4
Passage au rep? global .... 191

2
Autres types d'?ments . 192

2.1
El?nts courbes. ... 192

2.2
El?nts 3D d?n?s .... 192

Partie C: Formulations compl?ntaires 193

11 Techniques ?ments finis 195

1
El?nts semi-infinis .. 195

2
Super?ment...... 197

3
Conception du maillage . 198

3.1
Convergence...... 198

3.2
R?es g?rales .... 199

3.3
Param?es du maillage 199

3.4
Distorsion des ?ments 199

3.5
Comment choisir un maillage 200

3.6
Assemblages particuliers ... 201

4
Patchtest ............... 202

4.1
Test de type A . 202

TABLE DES MATI ?ES
4-2
Test de type B ........ 202

4.3
Test de type C . 203

5
Contr?des erreurs de discr?sation 203

6
Maillage adaptatif. . . . . . . . . . . 204

12 Probl? de champ et thermo-m?nique 201

1
Champdetemp?ture ........................ .. 208

1.1
Equation de la chaleur. .............. 208

1.2
Formulation par la m?ode des r?dus pond?s . 208

1.3
Discr?sation par ?ments finis. 209

1.4
Couplage thermo-m?nique ....... 210

2
Exercices r?lus 210

13 Dynamique des structures 221

1
Cas?mentaire .............. 221

2
PrincipedeHamilton ........... 222

2.1
Discr?sation par ?ments finis. 222

3
M?odes de r?lution . 223

3.1
M?ode de superposition modale 223

3.2
M?ode d'int?ation directe 225

3.3
Analyses dynamiques . 227

4
Exercices r?lus . 229

14 Non lin?it?at?elle 231

1
Elastoplasticit?niaxiale . . . . . . . 237

2
Comportement ?stoplastique . . . . 238

2.1
Seuil de plasticit?39

2.2
Crit?s usuels .. 240

2.3
Loi d'?ulement. 241

2.4
Loi d'?ouissage. 243

3
Formulation des matrices ?stoplastiques . " . . . . . . . . . . . . 244

4
Techr? de r?lution. . . . . . . . . .. . 245

4.1
R?lution structurale: M?ode de Newton-Raphson . 246

4.2
R?lution locale: Int?ation de l'?ulement . 247

5
Exercices r?lus . 250

15 Non lin?it???ique 251

1
Incr?nt des d?nnations . . . . . . 257

2
Formulation des matrices ?mentaires 259

2.1
Matrice de rigidit?angente 259

2.2
Vecteur des forces nodales . 262

2.3
Syst? d'?ilibre . 262

3
Exercices r?lus . 263

Bibliographie 213