Suite et séries Calcul Scientifique
Cours et exercices corrigés

L'ouvrage : niveau B (IUP - Licence)

Au cours de leurs études, comme dans leur milieu professionnel, les informaticiens, les physiciens et plus généralement tous les ingénieurs scientifiques sont amenés à utiliser les concepts sur les suites et les séries.

Cet ouvrage expose de manière simple, pédagogique et pratique, tous les éléments nécessaires à la compréhension et à l'application des suites et des séries. À travers une présentation tournée résolument vers une utilisation pratique, les suites et les séries y sont présentées comme un outil, sans toutefois sacrifier à la rigueur mathématique.
Le livre est organisé en 6 chapitres largement illustrés par des exemples détaillés qui se veulent à la fois des aides à la compréhension, mais aussi des modèles à imiter dans la résolution des exercices.

Pour chaque chapitre, les exercices sont classés par thèmes, par niveaux et ils sont résolus avec la plus grande précision.
Le niveau requis n'excède pas un premier cycle universitaire.

Table des mati?s

1 Suites 9

1.1
Le corps IR . 11

1.1.1
Rappels ..... 11

1.1.2
D?nition de IR . 11

1.2
Les suites . 14

1.2.1
D?nitions et propri?s 15

1.2.2
Th?? de Bolzano-Weierstass 21

1.2.3
SuitesdeCauchy . . . . . . . . . 23

1.2.4
Caract?sation s?entielle de la limite. 26

1.2.5
Suites de nombres complexes. 26

1.3
Suites r?rrentes . . . . . . . . 27

1.3.1
Th?? du point fixe. 27

1.3.2
Utilisation pratique. 33

2 S?es num?ques 35

2.1
G?ralit?sur les s?es num?ques 35

2.1.1
D?nitions . 36

2.1.2
Convergence d'une s?e ... 37

2.1.3
S?esdeCauchy . . . . . . . 41

2.1.4
S?es absolument convergentes 41

2.2
S?es ?ermes positifs . . . . . 41

2.2.1
Crit? de comparaison. 42

2.2.2
Crit? de Cauchy .... 42

2.2.3
Crit? de D'Alembert . 44

2.2.4
S?es, Int?ales et Crit?s de Riemann et de Bertrand 46

2.3
S?esAltern? .......... 49

2.3.1
Crit? d'Abel . . . . . . . 49

2.3.2
Crit? des s?es altern? 51

3 Suites de fonctions 53

3.1
Notation et contexte 53

3.2
Convergence simple . 53

3.3
Convergence uniforme 55

3.3.1
D?nition .. 55

3.3.2
Interpr?tion. 58

3.3.3
Cons?ences . 59

3.4
Propri?s de la convergence uniforme. 63

3.4.1
Continuit?63

3.4.2
Int?ation 65

3.4.3
D?vation................................ 66

4 S?es de fonctions 69

4.1
Convergence simple et convergence uniforme 69

4.1.1
D?nitions............... 69

4.1.2
Crit?s pour la convergence uniforme. 71

4.2
Propri?s d'une s?e convergent uniform?nt 73

5 S?es enti?s 75

5.1
D?nitions et propri?s . . . . . . . . . . 75

5.2
Op?tions sur les s?es enti?s. . . . . . 76

5.3
D?vation et int?ation des s?es enti?s 77

5.3.1
Propri?s........ 77

5.3.2
Applications....... 78

5.4
D?loppement en s?e enti? 80

5.4.1
Propri?s.. 80

5.4.2
Applications. 82

6 S?es de Fourier 85

6.1
Pr?bule historique . . . . . . . . 85

6.1.1
Joseph Fourier 85

6.1.2
Origine des s?es de Fourier 85

6.2
Domaine d'utilisation des s?es de Fourier 87

6.2.1
Utilisation des s?es de Fourier en acoustique 87

6.2.2
Autresexemples. ................ 87

6.3
S?es de Fourier 87

6.3.1
D?nitions et propri?s d'une s?e trigonom?ique. 87

6.3.2
CoefficientsdeFourier ................. 89

6.3.3
Convergence....................... 91

6.3.4
S?e de Fourier d'une fonction continue sur lR et Cl par morceaux. 93

6.3.5
Formule de Parseval 93

7 Exercices sur les Suites 95

7.1
Etude et Calcul de la limite d'une suite 95

7.2
Etude de l'erreur de convergence. 104

7.3
Suitede Cauchy. . . . . . . 106

7.4
Etude de suites r?rrentes. 107

8 Exercices sur les S?es 119

8.1
S?es et sommes partielles 119

8.2
S?es et crit?s de convergence 123

8.3
S?es et Int?ales . . . . . . . 131

9 Exercices sur les Suites de fonctions 135

9.1
Convergence simple et convergence uniforme 136

9.2
Int?ation des suites de fonctions . . 145

10 Exercices sur les S?es de fonctions 149

10.1
Convergence simple, uniforme, normale ..... 150

10.2
Int?ation et d?vation des s?es de fonctions . 155

Table des mati?s
11 Exercices sur les S?es enti?s 159

11.1
Recherche du domaine de convergence 159

11.2
R?lution d'?ations diff?ntielles . 162

12 Exercices sur les S?es de Fourier 173