Tout-en-un Mathématiques MPSI
Classe prépa 1re année

Avant-propos 3

Partie 1
: Programme de d?t d'ann?
1 Nombres complexes
1 -D?nitions g?rales 13

2 -Interpr?tion g??ique 15

3 -Groupe U des nombres complexes de module 1 16

4 -Forme trigonom?ique 18

5 -Applications 20

savoir r?udre les exercices 25

s'entra?r 34

corrig?35

2 G??ie ?mentaire du plan
1 -Rep?ge dans le plan 42

2 -Produit scalaire 45

3 -D?rminant 47

4 -Droites 48

5 -Cercles 50

savoir r?udre les exercices 54

s'entra?r 63

corrig?65

3 G??ie euclidienne de l'espace
1 -Rep?ge dans l'espace 72

2 -Produit scalaire 74

3 -Produit vectoriel 75

4 -Produit mixte (ou d?rminant) de trois vecteurs 76

5 -Droites et plans de l'espace 79

6 -Sph?s 83

savoir r?udre les exercices 87

s'entra?r 96

corrig?.......... 97

4 Fonctions usuelles
1 -Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances 105

2 -Fonctions hyperboliques 112

3 -Fonctions circulaires 115

4 -Exponentielle complexe 117

savoir r?udre les exercices 120

s'entra?r 131

corrig?....................................................................................................... 132

5 ?uations diff?ntielles lin?res
1 -?uations diff?ntielles lin?res du premier ordre 143

2 -?uations diff?ntielles lin?res du second ordre ?oefficients constants 148

savoir r?udre les exercices 155

s'entra?r................................................................................................... 167

corrig?168

6 Courbes planes param??
1 -Fonctions vectorielles 177

2 -Courbe param??179

3 -Courbes d?nies par une repr?ntation polaire 182

savoir r?udre les exercices 186

s'entra?r 196

corrig?....................................................................................................... 197

7 Coniques
1 -D?nitions g?rales 207

2 -Classification 208

3 -R?ction de l'?ation alg?ique d'une conique 216

savoir r?udre les exercices 220

s'entra?r 233

corrig?234

Partie II: Alg?e
8 G?ralit?sur la logique, les ensembles et les applications
1 -Quelques ?ments de logique 245

2 -Ensembles.. 249

3 -Applications 250

4 -Loi de composition interne 253

5 -Relations d'ordre 255

savoir r?udre les exercices 258

s'entra?r 268

corrig?270

9 ?ude de l'ensemble N, ensembles finis
1 -Propri?s de J'ensemble N 277

2 -Formule du bin?de Newton 279

3 -Ensembles finis 281

4 -Pr?ntation succincte de 71. etde Q 285

savoir r?udre les exercices 287

s'entra?r 298

corrig?299

10 Structures alg?iques
1 -Structure de groupe 306

2 -Structure d'anneau 310

3 -Corps .. 311

savoir r?udre les exercices 314

s'entra?r .. 320

corrig?321

11 Arithm?que dans 7L
1 -Diviseurs et multiples 327

2 -Division euclidienne 327

3 -PGCD et PPCM 329

4 -Th?? de Bezout 330

5 -Th?? de Gauss 331

6 -D?mposition en produit de facteurs premiers 332

savoir r?udre les exercices 334

s'entra?r 340

corrig?341

12 Polyn?
1 -Polyn? ?ne ind?rmin?et ?oefficients dans IK 347

2 -Racines 353

3 -Polyn?d?v?55

4 -Polyn? scind?358

5 -Arithm?que dans IK[X] 360

savoir r?udre les exercices 365

s'entra?r 377

corrig?378

13 Fractions rationnelles
1 -Corps IK(X) des fractions rationnelles 388

2 -D?mposition en ?ments simples 392

savoir r?udre les exercices 398

s'entra?r 407

corrig?408

14 Espaces vectoriels
1 -Structure d'espaces vectoriels 415

2 -Applications lin?res 418

3 -Sous-espace vectoriel 421

4 -Projecteurs et sym?ies 424

savoir r?udre les exercices 429

s'entra?r................................................................................................... 440

corrig?441

15 Espaces vectoriels de dimension finie 1 -Familles libres, familles g?ratrices, bases 450 2 -Expression d'une application lin?re dans une base 453 3 -Eipace vectoriel de dimension finie 454 4 -Applications lin?res en dimension finie 459 savoir r?udre les exercices 465 s'entra?r 476 corrig?477
16 Matrices 1 -D?nitions 485 2 -Isomorphisme de ;teE, F) dans Mn,p(lK)
(o?imEetn=dimF) 492
3 -Isomorphisme de ;teE) dans Mn(lK)
(o?= dimE) 496
4 -Matrice d'une famille de vecteurs 498
5 -Formules de changement de bases 499
6 -Rang d'une matrice 500
7 -Op?tions ?mentaires 502
savoir r?udre les exercices 508
s'entra?r 520
corrig?522
17 D?rminants et syst?s d'?ations lin?res 1 -Groupe sym?ique 534 2 -Applications multilin?res 537 3 -D?rminants de n vecteurs dans un espace de dimension n 539 4 -D?rminant d'un endomorphisme 542 5 -D?rminant d'une matrice carr?544 6 -Syst?s d'?ations lin?res 646 savoir r?udre les exercices 552 s'entra?r 564 corrig?....................................................................................................... 565
18 Espaces vectoriels euclidiens
1 -Produit scalaire 574 2 -Orthogonalit?ans un espace euclidien 579 3 -Automorphismes orthogonaux 584 savoir r?udre les exercices 593 s'entra?r.............................. 601 Corrig?603
19 G??ie affine et euclidienne
1 -Sous-espace affine 6t 0
2 -Applications affines 613

3 -Barycentres 615

4 -G??ie euclidienne du plan et de "espace 617

5 -Similitudes du plan 622

savoir r?udre les exercices 627

s'entra?r 634

corrig?635

Partie ID
: Analyse
20 Corps des nombres r?s et suites r?les
1 -Le corps des nombres r?s 643

2 -Suites r?les 648

3 -Suites ?aleurs complexes 662

savoir r?udre les exercices 667

s'entra?r 679

corrig?681

21 Fonctions r?les, g?ralit?et ?de locale
1 -Alg?e des fonctions r?les 691

2 -?ude locale 695

3 -Relations de comparaison 705

4 -Fonctions ?aleurs complexes 707

savoir r?udre les exercices 711

s'entra?r 722

corrig?724

22 Continuit?ur un intervalle des fonctions r?les de la variable r?le
1 -Structure de l'espace des fonctions continues sur un intervalle de IR 733

2 -Th?? des valeurs interm?aires 735

3 -Image d'un segment par une fonction continue 737

4 -Bijection continue 738

5 -Continuit?niforme 738

savoir r?udre les exercices 741

s'entra?r 746

corrig?747

23 D?vation des fonctions r?les
1 -D?nition et propri?s g?rales 753

2-Th?? de Rolle et th?? des accroissements finis 758

3 -D?v? successives et fonctions de classe «6n 761

4 -Fonctions convexes 764

5 -Extension aux fonctions ?aleurs complexes 768

savoir r?udre les exercices 773

s'entra?r 779

corrig?.................................... 781

24 Int?ation des fonctions de la variable r?le
1 -Fonctions en escalier et fonctions continues par morceaux 789

2 -Int?ale d'une fonction continue par morceaux 793

3 -Int?ales et primitives 803

4 -Extension aux fonctions ?aleurs complexes 805

savoir r?udre les exercices.. 809

s'entra?r 821

corrig?823

25 Formules de Taylor et d?loppements limit?
1 -Formules de Taylor 833

2 -D?loppements limit?837

3 -Exemples d'application des d?loppements limit?844

savoir r?udre les exercices 849

s'entra?r 857

corrig?858

26 ?ude m?ique des courbes planes
1 -Param?age admissible et arc orient?67

2 -Rep? de Frenet en un point 868

3 -Abscisse curviligne 868

4 -Param?age par l'abscisse curviligne 869

savoir r?udre les exercices 873

s'entra?r 880

corrig?881

27 Fonctions de deux variables
1 -D?nitions g?rales 887

2 -Limite et continuit?89

3 -Calcul diff?ntiel 892

4-Calcul int?al 897

savoir r?udre les exercices 902

s'entra?r 915

corrig?916

Formulaire 923

Index 926