Mathématiques PC - PC* 2e année
Cours complet avec tests, exercices et problèmes corrigés

Ce manuel couvre l'ensemble du programme de mathématiques de la deuxième année PC-PC* : algèbre linéaire ; suites et fonctions ; fonctions d'une variable réelle : intégration et dérivation ; séries entières, séries de Fourier ; équations différentielles, calcul différentiel et géométrie différentielle.

Il s'attache dès le départ à faire ressortir les raisons d'être et le sens de toutes les notions introduites, qui s'enrichissent ensuite progressivement.
La présentation approfondie des objets étudiés est complétée par un effort pédagogique permanent.

•     De nombreux exemples vous permettent d'assimiler les techniques mises en oeuvre.

•     Des encadrés « Rappel », « Attention », « Méthode » et « Synthèse » reprennent les notions fondamentales, soulignent les pièges à éviter, récapitulent la marche à suivre pour résoudre les problèmes et synthétisent les notions complexes.

•     Des questions tests sont posées au fil du texte ; elles permettent de valider les acquis progressivement.

•     De très nombreux exercices (intégralement corrigés dans l'ouvrage) et des problèmes, souvent extraits de sujets de concours, sont proposés pour vous permettre d'appliquer les méthodes présentées.

•     L'essentiel du cours est résumé sous la forme d'un formulaire à la fin de chaque chapitre : vous apprécierez de pouvoir vous y référer juste avant un devoir sur table pour réactiver vos connaissances.

•     Les principales commandes des logiciels Maple et Mathematica, dont la maîtrise est nécessaire en classe préparatoire, sont détaillées de façon logique au fil de l'ouvrage. Le DVD-ROM joint au livre donne de nombreux exemples de leur utilisation et permet de comprendre l'intérêt du calcul formel pour la résolution de certains problèmes.

Véritable ouvrage de référence pour la préparation aux concours, il se fixe aussi pour objectif de présenter les bases des mathématiques de façon claire, rigoureuse et détaillée.

Un manuel unique, qui correspond à vos besoins et qui deviendra vite votre guide pour garder le cap vers la réussite dans les épreuves de mathématiques

•     de nombreux exemples de calcul formel réalisés avec Maple et Mathematica

•     une version gratuite de 60 jours de Maple 13 et de Mathematica 7;

•     une promotion spéciale étudiant pour ces deux logiciels.

Étudiants en classe préparatoire scientifique, filières PC-PC* ; étudiants en premier cycle universitaire ; candidats au Capes et à l'agrégation tout lecteur désireux de comprendre les fondements des mathématiques.

Table des mati?s
Pr?ce xix

Remerciements xxi
Partie 1 -Alg?e lin?re 1

1 Compl?nts d'alg?e lin?re 3

Rappelsducoursdepremi?ann?. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

LI Famille dans un espace vectoriel de dimension quelconque 3

1.2
Application lin?re dans un espace vectoriel de dimension quelconque 4

1.3
Espaces vectoriels en dimension finie 5

1.4
Application lin?re dans un espace vectoriel de dimension quelconque 5

1.5
G?ralit?sur les matrices. 6

1.6
Matrices particuli?s . . . . 7

1.7
Matrice d'une famille de vecteur, matrice d'application lin?re 7

1.8
Changementdebase etapplications . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9
Application lin?re canoniquement associ?et matrices ?ivalentes 8

LlO Commandes Maple/ Mathematica 9

II
Espacesvectoriels .. ........... 10

11.1
Somme directe de sous-espaces vectoriels en dimension quelconque 10

II.2
Somme directe de sous-espaces vectoriels en dimension finie 16

III
Applicationslin?res ................ 16

I1L1
Image et noyau d'une application lin?re. 16

III.2
?uation lin?re. . . . . . 18

I1L3
Matrices semblables, trace 21

IV D?rminants............ 24

IV.l
D?rminant de n vecteurs 24

IV.2
D?rminant d'un endomorphisme 27

IV.3
D?rminant d'une matrice carr?30

IV.4
Syst?sde Cramer. . . . . . . . 32

IV.5
D?loppement par rapport ?ne ligne ou une colonne, mineur, cofacteur
etcomatrice ................................. .. 33

IV.6
Annexe: d?nstration du th?? fondamental. 38

V Calculsparblocs................... 42

V.1
Calcul matriciel et d?rminant par blocs. 42

V.2
D?rminants par blocs 44

VI L'essentiel du cours . 45

VII Pr?ration ?'interrogation orale 48

VIII Exercices 49

IX Probl? 53

Pseudo-sous-alg?es et sous-alg?es irr?ctibles de Mn (K) 53

2 R?ction des endomorphismes 57

Sous-espaces stables, polyn? d'un endomorphisme 57

LI Sous-espacesstables............... 57

1.2
Polyn? d'un endomorphisme, d'une matrice 62

II R?ction d'un endomorphisme . 65

11.1
Valeurs propres, vecteurs propres d'un endomorphisme 65

11.2
Polyn?aract?stique............... 69

11.3
R?ction d'un endomorphisme en dimension finie 71

III R?ction des matrices carr? 79

IIU ??nts propres 79

III.2
R?ction ..... 81

III.3
Un exemple d'application d'?de de suites r?rrentes 83

IV L'essentielducours . . . . . . . . 86

V Pr?ration ?'interrogation orale 89

VI Exercices 89

VII Probl? 92

Translations dans des espaces de fonctions 92

3 Espaces pr?lbertiens r?s ou complexes et espaces euclidiens 95

Espaces pr?lbertiens r?s ou complexes 95

LI Produit scalaire 95

1.2
Orthogonalit?02

II Espaces euclidiens . . 106

II.1
Bases orthonormales. 106

II.2
Projection orthogonale 108

III L'essentiel du cours . 113

IV Pr?ration ?'interrogation orale 117

V Exercices 117

VI Probl? 119

Polyn? orthogonaux et ?ations diff?ntielles 119

4 Endomorphismes orthogonaux, endomorphismes sym?iques 123

Endomorphismes orthogonaux 123

U D?nition...... 123

1.2
Structure de groupe 124

1.3
Utilisation d'une base orthonorm?125

1.4
Point de vue matriciel. . .... 126

1.5
Cas des sym?ies orthogonales. 128

1.6
D?rminant, valeurs propres et classification. 130

1.7
Rappels sur le cas de la dimension 2 ou 3 . 132

II Endomorphismes sym?iques. 134

lU D?nition . 134

Il.2
Cas des projecteurs et des sym?ies. 135

Il.3
Point de vue matriciel. . . . . . ... 137

III R?ction des endomorphismes sym?iques et applications 138

111.1
Valeurs propres d'une matrice sym?ique r?le 138

111.2
R?ction des endomorphismes sym?iques .. 139

111.3
Applications de la r?ction des endomorphismes sym?iques 142

IV L'essentiel du cours . 149

V Pr?ration ?'interrogation orale 150

VI Exercices 150

VII Probl? 152

Racine carr?d'une matrice sym?ique positive 152

Partie 2 -Suites et fonctions 155

5 Espaces vectoriels norm?157

Notion g?rale de norme et espaces vectoriels norm?157

U
D?nitions. .......... 157

1.2
Distance associ??ne norme 158

1.3
Cas particulier des espaces pr?lbertiens 158

1.4
Exemples d'espaces vectoriels norm?159

1.5
Boules . 161

1.6
Parties born?. 162

1.7
Applications lipschitziennes. 163

II
Suites vectorielles ..... 164

Il.1
Suites born? . . . 165

Il.2
Suites convergentes 165

Il.3
Comparaison de deux normes 167

III Espaces vectoriels norm?de dimension finie 169

IIL1
?uivalence des normes . 169

III.2
?ude des suites de vecteurs d'un espace de dimension finie 169

III.3
Topologie dans un espace vectoriel norm?e dimension finie 171

IlIA ?ude locale d'une application 174

III.5
Fonctions en escalier ... 184

IIL6
Continuit?ar morceaux 185

IV Approximation des fonctions d'une variable r?le ?aleurs r?les ou complexes. 186

IV.1
Polyn?de Lagrange d'une fonction f. 186

IV.2
Approximation uniforme . 187

IV.3
Th?? d'approximation uniforme des fonctions continues par morceaux
sur un segment par des fonctions en escalier 189

IVA Th?? de Weierstrass . 189

V L'essentiel du cours . 191

VI Pr?ration ?'interrogation orale 193

VII
Exercices .............. 193

VIIIProbl?s. ............. 195

Normes matricielles subordonn? 195

?ude d'un op?teur de transfert 196

6 Suites et s?es de nombres r?s ou complexes 199

1
S?es num?ques: g?ralit?199

II S?es de nombres r?s positifs 208

III Convergence absolue d'une s?e num?que. 213

IV Crit? sp?al des s?es altern? . 218

V Produit de Cauchy de deux s?es absolument convergentes. 221

VI ?ude de suites d?nies par une relation de r?rrence 224

VU Cas des suites ?aleurs r?les ... 224

VL2
Cas des suites ?aleurs complexes. 226

VII L'essentiel du cours . 231

VIII Pr?ration ?'interrogation orale 235

IX
Exercices .............. 235
,.
X Probl?s............. 237

Autour de la moyenne de Ces? 237

?ude d'une suite d?nie r?rsivement 238

7 S?es de fonctions 239

Convergencesimple .................. 240

1.1
Convergence simple d'une suite de fonctions 240

1.2
Convergence simple d'une s?e de fonctions 242

II Convergence normale . 244

11.1
Convergence normale sur l'intervalle 1 . 244

11.2
Convergence normale sur tout segment de 1 247

III Propri?s conserv? par convergence normale 249
III.1 Continuit?. . . . . . . . 249
III.2 Limite terme ?erme ... 250
III.3 Int?ation terme ?erme. 254 IlIA D?vation terme ?erme . 256 IV L'essentiel du cours . 259 V Pr?ration ?'interrogation orale 260 VI Exercices 260 VII Probl? 262 ?ude de l'op?teur T 262
Partie 3 -Fonction d'une variable r?le: d?vation et int?ation 265
8 D?vation et int?ation des fonctions ?aleurs vectorielles 261
D?vation des fonctions ?aleurs vectorielles. . . . 267
Ll D?vabilit?d?v? . . . . . . . . . . . . 267
1.2 D?v? successives et fonctions de classe ev 273
1.3 ev-diff?orphismes entre intervalles de IR 277
1.4 Fonctions de classe ev par morceaux . . . 278
1.5 Rappels pour les fonctions ?aleurs r?les 281 II Int?ale sur un segment des fonctions ?aleurs vectorielles 282 ILl D?nition de l'int?ale d'une fonction ?aleurs vectorielles 282
11.2 Propri?s de l'int?ale d'une fonction ?aleurs vectorielles 283
II.3 Sommes de Riemann 285 lIA Extensiondelad?nition. ................... 288
II.5 Int?ale et in?lit?ans le cas d'une fonction ?aleurs r?les 289 III L'essentiel du cours . 291 IV Pr?ration ?'interrogation orale 294 V Exercices.............. 294 VI Probl?.............. 296 Polyn? de Legendre et approximation d'une int?ale 296
9 D?vation et int?ation 301 Primitive ............................. 301 Ll Casdesfonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . 301
1.2 G?ralisation aux fonctions continues par morceaux 304 II Th??sop?toires.............. 305
11.1 Th??s de changement de variable. 305
II.2 Int?ation par parties 307 III Accroissements finis et formules de Taylor 308 IILl ?ude globale des fonctions de classe el 308
')'<)
III.2 Formules de Tayl(W
IV L'essentiel du cours . . . . 315

V Pr?ration ?'interrogation orale 317

VI Exercices 317

VII Probl? 318

?ude d'un endomorphisme sur l'espace des fonctions continues 318

10 Int?ales impropres 321

Int?ale impropre convergente . . . . . . . . . . . . . . 321

1.1
D?nition d'une int?ale impropre convergente 321

1.2
Int?ales des fonctions positives. . 328

1.3
Int?ales absolument convergentes 333

II Int?ation sur un intervalle quelconque. . 335

11.1
Premi?s d?nitions et propri?s . 335

11.2
Convergence en moyenne quadratique 337

II.3
Convergence domin?. . . . . . . . . 339

II.4
Int?ation terme ?erme d'une s?e de fonctions. 342

III Int?ales d?ndant d'un param?e . 343

IIU Continuit?ous le signe somme 343

111.2
D?vation sous le signe f:formule de Leibniz 345

IV Comparaison d'une s?e ?ne int?ale. 349

V
L'essentiel du cours . . . . . . . . 354

VI Pr?ration ?'interrogation orale 358

VII
Exercices .............. 358

VIIIProbl?.....:........ 361

Transformation de Laplace et convolution. 361

?ude d'une s?e trigonom?ique . . . . . 363

Partie 4 -S?es enti?s, s?es de Fourier 367

11 S?es enti?s 369

S?e enti? et rayon de convergence 369

1.1
D?nition d'une s?e enti? et exemples 369

1.2
Rayon de convergence . . . . . . . 370

1.3
Calcul d'un rayon de convergence 372

1.4
Op?tions alg?iques sur les s?es enti?s 376

01.5
S?e enti? d?v?. . . . . . . . . 378

II Propri?s de la somme d'une s?e enti? 379

11.1
Convergence d'une s?e enti? en tant que s?e de fonctions 379

II.2
Continuit?e la somme d'une s?e enti? . 380

II.3
Int?ation de la somme d'une s?e enti?. 382

lIA D?vabilit?e la somme d'une s?e enti? 383

III
Fonctions d?loppables en s?e enti? . . . . . .. 385

111.1
D?nition d'une fonction d?loppable en s?e enti? 385

III.2
S?e enti? de Taylor . 386

111.3
D?loppement en s?e enti? des fonctions usuelles 388

IlIA Exemples de calcul de somme d'une s?e enti?. 392

IV L'essentiel du cours . 395

V Pr?ration ?'interrogation orale 398

VI Exercices 398

VII Probl? 400

?ude de la somme d'une s?e enti? sur le disque de convergence 400

12 S?es de Fourier 403

Fonctions p?odiques; polyn?trigonom?ique de meilleure approximation 404

1.1
Rappels de calcul int?al. . . . . . . . 404

1.2
Construction de fonctions p?odiques. 405

1.3
Structure pr?lbertienne . 407

1.4
Polyn?trigonom?ique 408

1.5
Meilleure approximation quadratique; coefficients de Fourier. 409

1.6
Quelquespropri?s ............ 412

1.7
Coefficients de Fourier trigonom?iques 412

II S?e de Fourier. Th??s de convergence. . . 415

lU S?edeFourier .............. 415

II.2
Convergence en moyenne quadratique; formule de Parseval. 415

II.3
Comportement asymptotique des coefficients de Fourier 421

lIA Convergence normale . . 422

11.5
Le th?? de Dirichlet 424

III Analyse du signal 429

IV L'essentiel du cours 431

V Pr?ration ?'interrogation orale 433

VI
Exercices .............. 434

VII
Probl? .............. 436

R?rtition modulo 1 de suites de nombres r?s 436

Partie 5 -?uations diff?ntielles, calcul diff?ntiel
et g??ie diff?ntielle 439

13 ?uations diff?ntielles 441

?uations diff?ntielles lin?res d'ordre 1 441

U D?nitions.............. 442

1.2
R?lution de l'?ation (H) y' + oy = 0 444

1.3
R?lution de l'?ation (E) y' + oy = b 445

1.4
Th??deCauchy ........... 449

1.5
Probl?s de raccordement. . . . . . . . 450

1.6
R?lution approch?de (E) y' + oy = b 454

II Syst?s diff?ntiels ?oefficients constants 457

lU D?nitions...... 457

11.2
Th?? de Cauchy 458

11.3
R?lution pratique dans le cas o? matrice A est diagonalisable. 460

II.4
R?lution pratique dans le cas o? matrice A est trigonalisable 465

III ?uations diff?ntielles lin?res du second ordre 468

IIU D?nitions...... 468

111.2
Th?? de Cauchy 470

III.3
R?lution de l'?ation (H) y" + oy' + by = 0 470

I1I.4
R?lution de l'?ation (E) y" + oy' + by = c 473

111.5
Probl?s de raccordement. . . . . . . . 481

III.6
Utilisation d'un changement de variable. 483

IV ?uations diff?ntielles non lin?res . . 484

IV.1
Syst?s diff?ntiels autonomes. 484

IV.2
?uations diff?ntielles non lin?res du premier ordre 486

V L'essentiel du cours 493

VI Pr?ration ?'interrogation orale 497

VII Exercices 497

VIII Probl? 500

?ude d'une ?ation diff?ntielle. 500

14 Fonctions de plusieurs variables 503

Continuit?t applications partielles 504

U Applications partielles. . . . 504

1.2
Continuit?t applications partielles 505

II D?v? selon un vecteur, d?v? partielles 506

11.1
D?v?selon un vecteur 506

11.2
D?v? partielles . . . . 507

11.3
Applications de classe el
III
Diff?ntielle ........................... 510

III.1
Th?? fondamental; d?nition de la diff?ntielle 510

III.2
Notation diff?ntielle . 514

III.3
Expression par les composantes 514

IlIA Composition . 515

III.5
Invariance de la diff?ntielle 517

III.6
Op?tions sur les diff?ntielles 518

III.7
Matrice jacobienne, jacobien . . 518

III.8
D?v? partielles d'une compos? 519

IV el-diff?orphismes, changements de variables. Applications. 521

IV.1
el-diff?orphismes . 521

IV.2
D?rmination continue de l'argument; application aux coordonn?
polaires . 523

IV.3
Exemples d'?ations aux d?v? partielles 525

V D?v? d'ordre sup?eur . 528

V.1
Fonctions de classe e 2; th?? de Schwarz . 528

V.2
Fonctions de classe ek ........•..... 530

V.3
Exemple d'?ation aux d?v? partielles secondes. 531

VI Fonctions ?aleurs r?les. . . 533

VI.1
Gradient........ 533

VI.2
Probl?s d'extremum 535

VII Calcul int?al ?lusieurs variables 537

VII.1
Int?ales doubles 537

VII.2
Int?ales triples 543

VIII L'essentiel du cours .. 546

IX Pr?ration ?'interrogation orale 549

X Exercices.............. 549

XI Probl?.............. 551

Polyn? de Legendre et harmoniques sph?ques 551

15 Courbes et surfaces 555

Courbes param?? . 555

1.1
Courbes param??, param?age 555

1.2
Changement de param?age 556

1.3
?udelocale ......... 558

1.4
Cas des courbes planes, ?de locale plus pr?se. 559

1.5
Branches infinies . 562

1.6
Points doubles .. 563

1.7
Mise en œuvre . . 563

1.8
Coordonn? polaires 565

II ?ude m?ique d'un arc orient?70

lU Abscisse curviligne. . . 570

1I.2
Longueur d'une courbe 571

1I.3
?ude m?ique des courbes planes 573

III G?ralit?sur les surfaces 580

IIU Nappe param??580

1II.2
Exemples..... 581

1II.3
Courbes trac? sur une surface 582

IliA Points r?liers, plan tangent, normale 583

1II.5
?uations cart?ennes . . . . . . . . . 585

111.6
Plan tangent et normale d'une courbe ou surface d?nie par une ?ation
cart?enne ............. 587

IV Quelques types remarquables de surface. 588

IV.1
Cylindres........ 588

IV.2
C?.......... 591

IV.3
Surfaces de r?lution. 593

IVA Contours apparents 598

V Quadriques......... 600

V.1
D?nition et r?ction 600

V.2
Quadriques ?entre. . 602

V.3
Cylindres et parabolo?s. 603

V.4
Autrescas ......... 603

V.5
Familles de droites trac? sur certaines quadriques 603

V.6
Exemples....... 604

VI Intersection de deux surfaces 606

VII
L'essentiel du cours . . . . . 609

VIII Pr?ration ?'interrogation orale 612

IX
Exercices ............. 612

X Probl?............. 614

Autour de la fen?e de Viviani. 614

Partie 6 -R?sions 617

16 Exercices et probl?s de synth? 619

1
Tests.... 619

II Exercices. 622

III Probl?s. 624

Distance d'une matrice ou d'un sous-espace vectoriel de M3(lR) ?3(IR) 624

Produits infinis . . . . 627

Chiffrement par blocs 628

Cryptage et d?yptage: Ave Cesar (zud bdrzq) 630

Partie 7 -Solutions des tests 633
Partie 8 -Solutions des colles 707

Partie 9-Solutions des exercices 735

Partie 10 -Solutions des probl?s 877

Index 961