Algèbre et analyse
Cours de mathématiques de première année avec corrigés

Algèbre et analyse
Stéphane BALAC Frédéric STURM

Cet ouvrage, réunissant en un tout cohérent algèbre et analyse, s'adresse de manière plus spécifique aux élèves de première année des cycles préparatoires intégrés des écoles d'ingénieurs mais peut être utilisé avec profit par tout étudiant se destinant à des études supérieures d'ingénieur. Il est issu de l'enseignement dispensé par les auteurs dans la filière ASINSA qui est l'une des trois filières de premier cycle international de l'INSA de Lyon. A ce titre, il ne constitue pas seulement une somme de connaissances mathématiques de Ire année de l'enseignement supérieur mais vise à présenter de manière précise les résultats essentiels à une formation d'ingénieur généraliste.

Cette nouvelle édition revue et augmentée est divisée en 20 chapitres regroupés en 5 grandes parties: ensembles numériques fondamentaux, polynômes et fractions rationnelles, algèbre linéaire, calcul différentiel et calcul intégral. Chaque chapitre contient de courts exercices visant à tester la bonne compréhension des notions introduites et se termine par quelques exercices de synthèse. Une correction détaillée et commentée de tous les exercices est fournie en fin de chapitre. Le logiciel de calcul MAPLE est utilisé dans l'ouvrage pour illustrer certaines notions introduites.
Le lecteur trouvera une suite naturelle à ce cours de mathématiques de première année dans l'ouvrage «Analyse et algèbre, Cours de mathématiques de deuxième année » publié dans la même collection et chez le même éditeur par Stéphane Balac et Laurent Chupin.

Pr?ce v

Avant-propos vii

Table des mati?s ix

PR?IMINAIRES 1

1 Introduction ?a logique math?tique 3

1.1
Assertion et pr?cat . . 3

1.2
Les connecteurs logiques 4

1.2.1
N?tion, conjonction, disjonction 5

1.2.2
Implication, ?ivalence 6

1.2.3
Propri?s........ 7

1.3
Les quantificateurs math?tiques 12

1.3.1
Quantificateurs simples . 12

1.3.2
Quantificateurs multiples 15

1.4
Les diff?nts modes de d?nstration en math?tique 16

1.4.1
Raisonnement par hypoth? auxiliaire . 16

1.4.2
Raisonnement par contrapos?16

1.4.3
Raisonnement par l'absurde . . 17

1.4.4
Raisonnement par contre-exemple 19

1.4.5
Raisonnement par r?rrence 19

2 Structures fondamentales 23

2.1
Ensemble et sous-ensemble ..... 23

2.1.1
G?ralit?sur les ensembles 23

2.1.2
Partie, sous-ensemble .... 24

2.1.3
Ensemble des parties d'un ensemble 25

2.1.4
Op?tions sur les ensembles 27

2.1.5
Produit cart?en. . . . . . . 31

2.2
Relation, fonction, application. 33

2.2.1
Relation. 33

2.2.2
Fonction. 34

2.2.3
Application 36

2.2.4
Injection, surjection, bijection . 42

2.2.5
Puissance du d?mbrable, puissance du continu 52

2.2.6
Restriction et prolongement d'une application. 54

2.2.7
Relation d'?ivalence sur un ensemble 57

2.3
Structures alg?iques ?mentaires 58

2.3.1
Loi de composition interne 58

2.3.2
Structure de groupe 63

2.3.3
Structure d'anneau 65

2.3.4
Structure de corps 79

2.4
Exercices de synth?. 82

2.5
Solution des exercices 83

ENSEMBLES NUM?IQUES FONDAMENTAUX 91

3 Le corps des r?s 93

3.1
G?ralit?.. ...... . . . 93

3.1.1
Le corps des rationnels. 93

3.1.2
Relation d'ordre sur un ensemble 94

3.1.3
Bornes sup?eure et inf?eure 95

3.1.4
Les insuffisances du corps des rationnels 97

3.1.5
Le corps des r?s. . . . 99

3.2
Propri?s des nombres r?s . . 102

3.2.1
Propri?s calculatoires 102

3.2.2
La valeur absolue . . . . 107

3.2.3
Partie enti? et racine n-i? 110

3.2.4
Propri?s fondamentales 113

3.3
Topologie de la droite r?le . . . 115

3.3.1
Intervalles......... 116

3.3.2
Ensemble ouvert et ensemble ferm? 116

3.3.3
Int?eur et adh?nce d'un ensemble. 118

3.3.4
La droite num?que achev?120

3.4
Exercices de synth?. 121

3.5
Solution des exercices 122

4 Le corps des complexes 129

4.1
Structure de corps commutatif sur IR2 129

4.1.1
Premi? approche · ...... 129

4.1.2
Seconde approche · ...... 131

4.1.3
Structure de corps commutatif sur IR x {O} 132

4.2
Le corps des nombres complexes .......... 133

4.2.1
D?nition de l'ensemble des nombres complexes. 133

4.2.2
Conjugaison d'un nombre complexe 137

4.3
Module et argument .......... 137

4.3.1
Module d'un nombre complexe 137

4.3.2
Argument d'un nombre complexe. 139

4.3.3
Notation exponentielle complexe et forme polaire 141

4.3.4
Repr?ntation g??ique 144

4.4
Racines d'un nombre complexe .. 145

4.4.1
Racines deuxi?s d'un nombre complexe 145

4.4.2
Calcul alg?ique des racines d'un trin? 148

4.4.3
Racines n-i?s d'un nombre complexe 150

4.5
Application ?a trigonom?ie ......... 157

4.5.1
Rappels des formules de trigonom?ie 157

4.5.2
D?loppement de cos(ne) et sin(ne) 160

4.5.3
Lin?isation de cosn (e) et sinn(e) 162

4.6
Solution des exercices ........... 164

5 Suites num?ques 171

5.1
D?nitions et g?ralit?. · ......... 171

5.1.1
Convergence d'une suite num?que. 172

5.1.2
Suites born? 178

5.2
Propri?s....... 180

5.2.1
Propri?s alg?iques pour les suites num?ques 180

5.2.2
Autres propri?s alg?iques pour les suites r?les . 182

5.2.3
Propri?s d'ordre pour les suites r?les 184

5.3
Monotonie ............ 187

5.3.1
Suites r?les monotones 187

5.3.2
Suites adjacentes 191

5.4
Suites extraites 194

5.5
Suites de Cauchy 198

5.6
Suitesusuelles..................... 201

5.6.1
Suites arithm?ques et suites g??iques 201

5.6.2
Suites r?rrentes. 204

5.7
Exercices de synth?. 204

5.8
Solution des exercices 206

POLYN?ES ET FRACTIONS RATIONNELLES 219

6 L'anneau des polyn? 221

6.1
D?nition de l'ensemble des polyn?. 221

6.1.1
Polyn?formel ......... 221

6.1.2
Valuation et degr?'un polyn?222

6.2
Structures alg?iques sur les polyn? . 222

6.2.1
Addition de polyn? ...... 222

6.2.2
Multiplication d'un polyn?par un ?ment de JI( . 224

6.2.3
Multiplication de polyn? 224

6.2.4
Notion d'ind?rmin?226

6.2.5
Fonction polynomiale 227

6.3
Arithm?que dans JI([X] ... 228

6.3.1
Division euclidienne 228

6.3.2
Divisibilit?ans JI([X] 232

6.3.3
Division selon les puissances croissantes 233

6.4
D?vation des polyn? ........ 236

6.4.1
D?nition d'un polyn?d?v?36

6.4.2
D?v? successives -formule de Taylor 238

6.5
Racines d'un polyn?...... 241

6.5.1
D?nition d'une racine .. 241

6.5.2
Multiplicit?'une racine. 244

6.5.3
Multiplicit?'une racine et polyn? d?v? 246

6.5.4
Relations entre coefficients et racines d'un polyn?248

6.6
?ude des polyn? de qX] et de !R[X] 250

6.6.1
Polyn? de qX] . 251

6.6.2
Polyn? de !R[X] . 252

6.7
Exercices de synth?. 256

6.8
Solution des exercices 258

7 Le corps des fractions rationnelles 273

7.1
Les fractions rationnelles. . . . . . ..... 273

7.1.1
D?nition d'une fraction rationnelle 273

7.1.2
Racines et p? d'une fraction rationnelle 277

7.2
D?mposition d'une fraction rationnelle .... 278

7.2.1
Partie enti? d'une fraction rationnelle 278

7.2.2
D?mposition en ?ments simples sur lK 279

7.2.3
D?mposition sur C . 284

7.2.4
D?mposition sur IR . 286

7.3
Techniques de d?mposition 287

7.3.1
Cas d'un p?simple . 288

7.3.2
Cas d'un p?multiple. 289

7.3.3
Cas d'un facteur irr?ctible du second degr?92

7.3.4
Techniques de r?ction du nombre des coefficients . 296

7.4
Exercices de synth? . 300

7.5
Solution des exercices 301

ALG?RE LIN?IRE 307

8 Les espaces vectoriels 309

8.1
Structure d'espace vectoriel ...... 309

8.1.1
D?nition d'un espace vectoriel 309

8.1.2
Principaux exemples d'espaces vectoriels. 310

8.1.3
Propri?s ?mentaires 314

8.1.4
Combinaison lin?re . . 315

8.2
Structure de sous-espace vectoriel . 317

8.2.1
D?nition d'un sous-espace vectoriel 317

8.2.2
Intersection d'une famille de sous-espaces vectoriels. 321

8.2.3
Sous-espace engendr?ar une famille finie 322

8.2.4
Propri?s.................. 324

8.2.5
Sous-espace engendr?ar une famille infinie 327

8.3
Ind?ndance lin?re ....... 328

8.3.1
Famille li?et famille libre. 328

8.3.2
Base alg?ique d'un espace vectoriel. 335

8.4
Espace vectoriel de dimension finie ...... 339

xiv Cours de math?tiques de premi? ann?
8.4.1
D?nition d'un espace vectoriel de dimension finie 339

8.4.2
Dimension d'un espace vectoriel. . . 341

8.4.3
Rang d'une famille finie de vecteurs 344

8.4.4
La m?ode des z?s ?elonn?345

8.5
Somme de sous-espaces vectoriels . . . . 350

8.5.1
Somme de deux sous-espaces vectoriels. 351

8.5.2
Cas de sous-espaces de dimensions finies 355

8.6
Exercices de synth?. 358

8.7
Solution des exercices 359

9 Les applications lin?res 369

9.1
Application lin?re . 369

9.1.1
D?nition d'une application lin?re 369

9.1.2
Propri?s . 375

9.1.3
Endomorphismes particuliers 376

9.2
Image et noyau . 381

9.2.1
Image d'une application lin?re 381

9.2.2
Noyau d'une application lin?re 382

9.3
Image d'une famille de vecteurs par une application lin?re 387

9.3.1
Image d'une famille g?ratrice 387

9.3.2
Image d'une famille libre 389

9.3.3
Image d'une base .... 391

9.4
Rang d'une application lin?re 394

9.4.1
Rang d'une application lin?re 394

9.4.2
Th?? du rang . 395

9.4.3
Cons?ences du th?? du rang. 397

9.5
Exercices de synth?. 400

9.6
Solution des exercices 401

10 Les matrices 415

10.1
Calcul matriciel. 415

10.1.1
D?nition d'une matrice 415

10.1.2
Op?tions sur les matrices 418

10.1.3
Transposition de matrices . 422

10.1.4
Cas particulier des matrices carr?. 425

10.2
Matrices et applications lin?res . 428

10.2.1
Matrice associ??ne application lin?re. 428

10.2.2
?riture matricielle d'une ?lit?ectorielle 432

10.2.3
Application canoniquement associ??ne matrice 436

10.2.4
Propri?s......... 438

10.3
Rang d'une matrice rectangulaire 443

10.3.1
D?nition du rang d'une matrice 443

10.3.2
Lien entre le rang d'une matrice et celui de l'application
lin?reassoci?.................... .. 445

10.3.3
Lien entre le rang d'une matrice et celui de sa transpos?447

10.4
Matrices carr? inversibles . . . . . . . . 448

10.4.1
D?nition d'une matrice inversible 448

10.4.2
Propri?s . . . 452

10.5
Changement de bases 457

10.5.1
D?nition d'une matrice de passage 457

10.5.2
Propri?s des matrices de passage . 459

10.5.3
Changement de bases pour un vecteur 461

10.5.4
Changement de bases pour une application lin?re 464

10.5.5
Matrices ?ivalentes, matrices semblables. 469

10.6
Exercices de synth?. 473

10.7
Solution des exercices 474

Il Syst?s d'?ations lin?res 487

11.1
Un outil pratique: le d?rminant 487

11.1.1
Tel Monsieur Jourdain. 487

11.1.2
D?rminant d'ordre 2 493

11.1.3
D?rminant d'ordre 3 495

11.1.4
D?rminant d'ordre n 500

11.1.5
D?loppement d'un d?rminant 509

11.1.6
Propri?s des d?rminants. . . 511

11.2
G?ralit?sur les syst?s d'?ations lin?res 515

11.2.1
D?nition ......... 515

11.2.2
Interpr?tion matricielle 516

11.2.3
Interpr?tion vectorielle. 517

11.3
R?lution d'un syst? de Cramer. 521

11.3.1
D?nition . . . . . . . . 521

11.3.2
Les formules de Cramer 522

11.4
R?lution d'un syst? lin?re . 525

11.4.1
Compatibilit?'un syst? lin?re . 525

11.4.2
Le th?? de Rouch?onten?26

11.4.3
M?ode d'?mination de Gauss 527

11.4.4
Illustration avec des exemples. 530

11.5
Exercices de synth?. 534

11.6
Solution des exercices 535

12 R?ction des endomorphismes 543

12.1
??nts propres d'un endomorphisme 543

12.1.1
Valeurs propres et vecteurs propres. 543

12.1.2
Caract?sation des valeurs propres 545

12.2
Sous-espaces propres 546

12.2.1
D?nition. . 546

12.2.2
Somme de sous-espaces propres 547

12.3
Cas d'un espace de dimension finie . . 550

12.3.1
?riture sous forme matricielle 550

12.3.2
Calcul des valeurs propres. 551

12.3.3
Calcul des vecteurs propres 556

12.3.4
Illustration avec un exemple. 559

12.4
Diagonalisation et trigonalisation . . 561

12.4.1
Diagonalisation d'un endomorphisme. 561

12.4.2
Caract?sation de la diagonalisation en dimension finie 563

12.4.3
Trigonalisation d'un endomorphisme 569

12.4.4
Illustration avec un exemple. . . . 572

12.4.5
Compl?nt: r?ction de Jordan 575

12.5
Exercices de synth?. 577

12.6
Solution des exercices 578

CALCUL DIFF?ENTIEL 585

13 Continuit?es fonctions r?les d'une variable r?le 587

13.1
L'ensemble des applications de D dans lR. 587

13.1.1
Propri?s alg?iques . . . . . . . 587

13.1.2
Monotonicit?parit?t p?odicit?90

13.1.3
Applications born?. . . . . . . . 593

13.2
Limites
13.2.1
D?nitions 597

13.2.2
Propri?s . 603

13.2.3
Op?tions alg?iques sur les limites 608

13.2.4
Limites usuelles. 614

13.3
Continuit?. . . . . . . 616

13.3.1
D?nitions et premi?s propri?s 616

13.3.2
Op?tions alg?iques sur les applications continues 622

13.3.3
Continuit?ur un intervalle 623

13.3.4
Continuit?niforme 627

13.4
?ude des suites r?rrentes 630

13.5
La dichotomie ou l'art de couper en deux 636

13.6
Exercices de synth?. 640

13.7
Solution des exercices 641

14 Fonctions usuelles 657

14.1
Application r?proque 657

14.2
Fonctions logarithmes 663

14.2.1
La fonction logarithme n?rien 663

14.2.2
La fonction logarithme de base a 666

14.3
Fonctions exponentielles . . . . . 667

14.3.1
La fonction exponentielle 667

14.3.2
La fonction exponentielle de base a . 671

14.4
Fonctions puissances 672

14.5
Comparaison locale. 674

14.6
Fonctions hyperboliques 676

14.7
Fonctions circulaires r?proques 682

14.7.1
La fonction arc-sinus. . 682

14.7.2
La fonction arc-cosinus. 685

14.7.3
La fonction arc-tangente. 687

14.8
Fonctions hyperboliques r?proques 690

14.8.1
La fonction argument sinus hyperbolique 690

14.8.2
La fonction argument cosinus hyperbolique 693

14.8.3
La fonction argument tangente hyperbolique 694

14.9
Exercices de synth?. 696

14.lOSolution
des exercices 698

15 Comparaison locale de fonctions 111
15.1 Pr?nd?nce et Domination. 717
15.2?uivalence ........... 722

15.2.1 D?nition et propri?s 722
15.2.2 Op?tions sur les ?ivalents. 725
15.2.3 Composition de fonctions ?ivalentes 729
15.2.4 ?uivalents aux fonctions usuelles 731
15.2.5 Changement de variable . . . . . 733
15.2.6 Application au calcul de limites. 734
15.2.7 Suites ?ivalentes 735
15.3 Exercices de synth?. 737
15.4 Solution des exercices 738
16 D?vabilit?es fonctions r?les d'une variable r?le 141
16.1 D?v?d'une fonction r?le. 747
16.1.1 D?nitions 747
16.1.2 D?v? des fonctions usuelles 752
16.1.3 Propri?s alg?iques de la d?v? 753
16.1.4 Diff?ntielle .... 758
16.1.5 D?v? successives 760
16.2 Le th?? des accroissements finis 766
16.2.1 Le th?? de Rolle. . . . . 766
16.2.2 Le th?? des accroissements finis 769
16.3 Applications du th?? des accroissements finis. 771
16.3.1 ?ude de la monotonie d'une fonction d?vable 771
16.3.2 Application ?a recherche d'extremum. 773
16.3.3 ?ude de la convexit?75
16.3.4 La r?e de L'H?al 779
16.3.5 Interpolation de Lagrange 781
16.4 La formule de Taylor-Lagrange . 789
16.5 Applications de la formule de Taylor-Lagrange 793
16.5.1 Approximation polynomiale. . . . . . . 793
16.5.2 Position d'une courbe par rapport ?a tangente 794
16.6 Exercices de synth?. 797
16.7 Solution des exercices 799
11 D?loppements limit?815
17.1 D?nition et g?ralit?815
17.2 Le th?? de Taylor-Young 821
17.3 Op?tions sur les d?loppements limit?826
17.3.1 Op?tions alg?iques. . . . . . . 827
17.3.2 D?vation et primitivation d'un d?loppement limit?32
17.4 Extensions de la notion de d?loppement limit? . 837
17.4.1 D?loppements limit??auche ou ?roite 837
17.4.2 D?loppement limit?u voisinage d'un r? non nul 838
17.4.3 D?loppement limit?u voisinage de l'infini . . 840
17.4.4 D?loppement limit?'une fonction non born?842
17.5 Utilisations des d?loppements limit? . . . . . 844
17.5.1 Utilisation pour la recherche d'?ivalents 844
17.5.2 Utilisation pour le calcul de limites. 846
17.5.3 ?ude des branches infinies 847
17.5.4 ?ude des propri?s locales 854
17.6 Quelques notions sur les d?loppements asymptotiques 855
17.6.1 ?helle de comparaison ... 855
17.6.2 D?loppement asymptotique 856
17.7 Plan d'?de d'une fonction 857
17.8 Exercices de synth?. 861
17.9 Solution des exercices 862
CALCUL INT?RAL 885
18 L'int?ale de Riemann 881
18.1 Int?ale d'une fonction en escalier 887
18.1.1 Fonction en escalier .... 887
18.1.2 Int?ale d'une fonction en escalier 889
18.2 Int?ale de Riemann. 891
18.2.1 D?nition . . . 892
18.2.2 Principaux exemples de fonctions Riemann-int?ables 897
18.2.3 Propri?s de l'int?ale de Riemann 899
18.3 Int?ales ind?nies et primitives 902
18.3.1 Int?ales ind?nies ... 902
18.3.2
Primitives .......... 907

18.3.3
Liste des primitives usuelles 910

18.3.4
Formule de primitivation par parties 913

18.3.5
Formules de changement de variable pour une primitive 914

18.4
R?ltats g?raux sur l'int?ale de Riemann. 919

18.4.1
Int?ation par parties . . . . . . . . . . 919

18.4.2
Formule du changement de variable pour une int?ale . 921

18.4.3
Sommes de Riemann . . 927

18.4.4
Formules de la moyenne 934

18.4.5
Formule de Taylor ?este int?al 935

18.5
M?odes de calcul de primitives ..... 937

18.5.1
Int?ation d'une fonction rationnelle 937

18.5.2
Int?ation d'une fonction rationnelle en sinus et cosinus
hyperboliques...................... .. 942

18.5.3
Int?ation d'une fonction rationnelle en sinus et cosinus 943

18.5.4
Int?ation d'une fonction rationnelle ?adical 944

18.6
Exercices de synth?. 946

18.7
Solution des exercices 948

19 L'int?ale g?ralis? 965

19.1
Nature d'une int?ale g?ralis? 965

19.2
Calcul des int?ales g?ralis? . 970

19.2.1
Formule de changement de variable. 970

19.2.2
Int?ation par parties 973

19.2.3
Exemples de r?rence 976

19.3
Crit?s de convergence ... 978

19.3.1
Remarques pr?minaires. 978

19.3.2
Crit? de Cauchy .. . . . 979

19.3.3
Crit?s de convergence pour les fonctions positives. 982

19.4
Convergence absolue 988

19.5
Semi-convergence . . 990

19.6
Exercices de synth?. 994

19.7
Solution des exercices 996

20 ?uations diff?ntielles lin?res 1009
20.1 D?nitions et terminologie . 1009
20.2 ?uations diff?ntielles lin?res du premier ordre 1012
20.2.1 Normalisation d'une ?ation diff?ntielle. 1012
20.2.2 ?uations diff?ntielles homog?s ... 1014
20.2.3 ?uations diff?ntielles non homog?s 1017
20.2.4 ?ude d?ill?d'un exemple . 1026
20.2.5 ?uations diff?ntielles ?oefficients complexes 1031
20.3 Syst?s diff?ntiels lin?res du premier ordre. 1033
20.3.1 G?ralit? . 1034
20.3.2 Syst?s diff?ntiels homog?s 1036
20.3.3 Syst?s diff?ntiels non homog?s. 1044
20.3.4 ?uations diff?ntielles d'ordre n ?oefficients constants 1051
20.4 ?uations diff?ntielles du second ordre ?oefficients constants 1053
20.4.1 ?uations diff?ntielles homog?s ... 1054
20.4.2 ?uations diff?ntielles non homog?s 1057
20.5 Exercices de synth?. 1069
20.6 Solution des exercices 1070
Bibliographie 1083
Index 1085