Analyse
Séries de Fourier et équations différentielles

Destiné aux candidats du Capes, voici un outil de préparation expressément conçu pour réussir l'épreuve d'analyse. Immédiatement illustrés par de nombreux exercices et problèmes, toujours ours corrigés gés en détail, les rappels de cours portent en priorité sur les difficultés récurrentes du concours.

On y trouvera par exemple les équations que chaque candidat est censé connaître de mémoire ainsi que les raisonnements sous-jacents aux démonstrations.

Séries de Fourier
Rappels de cours
Séries trigonométriques - Coefficients de Fourier - Modes de convergence d'une série de Fourier Théorème d'approximation de Weierstrass
Exercices
Développement en série de Fourier - Application des séries de Fourier
Problèmes
Théorème de Fejer et propriétés des nombres de Lebesgue - Étude des propriétés d'une série trigonométrique Propriétés du noyau de Poisson.

Équations différentielles

Rappels de cours
Équations différentielles linéaires scalaires du premier ordre - ED linéaires du premier ordre ED linéaires scalaires du second ordre - ED non linéaires - Équations à variables séparées.
Exercices
Équations différentielles linéaires du premier ordre - Équations différentielles linéaires du second ordre Étude des zéros d'une ED du second ordre - ED non linéaires - Systèmes d'équations différentielles linéaires Équations fonctionnelles.
Problèmes
Équations différentielles du premier ordre - Équations différentielles du second ordre
Équations différentielles du type y" q(t)y = 0 - Étude des zéros d'une solution d'un problème de Dirichlet.

Table des matières


Avant-propos .... XI

1 Séries de Fourier 1

1.1
Séries trigonométriques . 1

1.2
Coefficients de Fourier . 1

1.3
Modes de convergence d'une série de Fourier. 3

1.4
Théorème d'approximation de Weierstrass 6

Exercices . 7

Développement en série de Fourier 7

Application des séries de Fourier . 41

Problèmes . 71

Théorème de Fejer et propriétés des nombres de Lebesgue 71

Étude des propriétés d'une série trigonométrique 87

Propriétésdunoyau dePoisson.......... ·102

2 Équations différentielles 123

2.1
Équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1 . · 123

2.2
Équations différentielles linéaires d'ordre 1 . · 124

2.3
Équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2 . · 124

2.4
Équations différentielles non linéaires. · 127

2.5
Équations à variables séparées. . . . . . . . . . . . · 128

Exercices . · 129

Équations différentielles linéaires du premier ordre · 129

Équations différentielles linéaires d'ordre 2 ..... · 141

Étude des zéros d'une équation différentielle d'ordre deux · 168

Équations différentielles non linéaires. . .. .188

Système d'équations différentielles linéaires .204

Équations fonctionnelles . . . . . . . . . . . .216

Problèmes .
.232

Équations différentielles du premier ordre .232

Équations différentielles du second ordre . .250

Équation différentielle à coefficients périodiques .260

Étude des équations différentielles du type yI! + rp(t)y = 0 .279

Étude des zéros d'une solution d'un problème de Dirichlet, . .300