Histoire de calcul de la Géométrie à l'Algèbre

Dans ce livre d'histoire, on découvrira en quoi le calcul sert non seulement à mesurer les choses, mais à les penser.


Dans l'Antiquité, on avait besoin de mesurer et d'arpenter. Les problèmes que se sont posés les Égyptiens ressemblent d'ailleurs à ceux que l'on étudiait encore à l'école primaire avant la réforme des mathématiques modernes. La si célèbre règle de trois en fait partie (Première partie de l'ouvrage)
Quand les problèmes se compliquent, mieux vaut introduire des lettres. On aboutit alors au langage algébrique (qui peut, lui aussi, rester un mauvais souvenir de classe !). Les problèmes vont alors s'écrire alphabétiquement (chaque mathématicien avait autrefois son propre système) et devenir des équations. C'est ainsi que Descartes voulut mettre le monde en équations.

Au XVIIe siècle et presque par hasard, le calcul va se mettre au service de la géométrie qui deviendra, avec Newton et Leibniz, la géométrie analytique. Côté histoire, on verra que de nombreux mathématiciens rencontrés au fil de ces pages se sont croisés, sous Louis XIII, au siège de La Rochelle ! (partie II).

Comment menait-on un calcul avant l'usage des calculatrices ? Si l'emploi des règles à calcul et des tables de logarithmes est bien connu, sait-on que les artilleurs de la première Guerre mondiale avaient en poche un abaque pour ajuster leurs tirs ? L'efficacité de ces abaques reposait pourtant sur une géométrie issue de la perspective qui, au départ, oppose le trait au calcul (partie in).
À partir du XIXe siècle il faudra bien rassembler et ordonner toutes ces tentatives. Les règles de calcul vont devenir elles-mêmes des objets de pensée qu'on va appeler des structures. La dernière partie du livre fournit plusieurs exemples de ce processus.

Pr?ce IX
CALCUL ET MESURE 1

Introduction 3

1 Calcul et g??ie dans l'?ypte andenne (Michel Guillemot) 13

1.1
Introduction . 13

1.2
Un peu d'histoire . 14

1.3
Les documents math?tiques. 16

lA La proportionnalit? . 17

1.5
Le volume des greniers 19

1.6
Une hypoth? .... 21

1.7
En guise de conclusion 22

2 Apprendre ?aJculer (Luc Sin?e) 25

2.1
Introduction . 25

2.2
L'auteur et la collection . 26

2.3
Le manuel de cours ?mentaire 28

204 Des exercices constructifs . 29

2.5
Toutes les op?tions 30

2.6
Le r?des balances . 37

2.7
Conclusion ..... 38

3 La proportionnalit?t sa descendance (Nicolas Rouche) 41

3.1
Grandeurs et ensembles . 42

3.2
La proportionnalit?vant toute mesure 43

3.3
La mesure est une proportionnalit? 45

304 La proportionnalit?ntre mesures . . 47

3.5
L'intervention des quantit?n?tives 47

3.6
La proportionnalit?bstraite 48

3.7
Les grandeurs vectorielles. 48

3.8
Ettout?pourquoi? . . . . 50

CALCULER POUR CONSTRUIRE 53

Introduction 55

4 Construction ponctuelle des courbes alg?iques chez Descartes (Andr?arusfel) 75

4.1
Construire pour r?udre, r?udre pour construire 75

4.2
Explicitation du paradoxe 76

4.3
R?lutionduparadoxe. . . . . . . . . . . 77

4.4
Descartes aurait-il pu faire plus simple? . . 78

4.5
Trait?ur les courbes, ou sur les ?ations? 78

5 Des origines de la g??ie analytique (Henry Plane) 79

5.1
Lesorigines ................. 80

5.2
Unnouveauvocabulaire . . . . . . . . . . 86

5.3
L'enseignement de la g??ie analytique 90

5.4
L'Encyclop?e m?odique .... 95

5.5
La situation ?'or?du XIXe si?e 96

5.6
Le Fran?s (1801), Essais. .... 98

6 Sur une proposition de Descartes (T. Hamel, 1. Sin?e, A. Warusfel) 101

6.1
Recherche des sections circulaires des c? elliptiques, hyperboliques ou
paraboliques . . 101

6.2
Strat?e et tactique cart?ennes 103

6.3
Primus casus. . 106

6.4
Secundus casus 114

6.5
Tertius casus . . 119

6.6
Quartus casus . 130

6.7
Le probl? du « cercle vicieux» ? 133

6.8
Conclusion ............ 135

6.9
Annexe1:traduction . . . . . . . 136

6.10
Annexe II : Apollonius expliqu?t g?ralis?39

6.11
Annexe III : les calculs du quartus casus ... 144

7 La transformation d'Agnesi Uean-Philippe Cortier) 147

7.1
Introduction . 147

7.2
L'application.J{ . 149

7.3
Points ?oordonn? enti?s . 150

7.4
Transform?de configurations g??iques par.J{ . 152

7.5
?onc?g??iques ... 154

7.6
Transformation inverse .J{-I 158

7.7
Appendice.......... 159

DES LIGNES EN GUISE DE CALCUL 165

Introduction 167

8 Qu'est-ce qu'une ligne droite? (Rudolf Bkouche) 173

8.1
Introduction 173

8.2
Des objets g??iques 174

8.3
De la ligne droite . . . . 174

8.4
D?nitions empiriques . 176

8.5
Des d?nitions dites math?tiques. 180

8.6
Retour sur le concept de droite 184

8.7
Une question pour terminer . . . 185

9 La g??ie projective (Jacques Navez) 187

9.1
Histoire........ 187

9.2
D?nition synth?que . . . . 190

9.3
D?nition analytique. . . . . 192

9.4
Lien entre les deux d?nitions 193

9.5
Les outils synth?ques de la g??ie projective 193

9.6
Les outils analytiques de la g??ie projective. 194

9.7
Construction g??ique du rapport harmonique. 195

9.8
Exercices 196

10 Calcul graphique, calcul nomographique (Fr?ric Vivien) 201

10.1
Pr?ntation................... .201

10.2
Abaques et instruments de calcul. . . . . . . . . . 203

10.3
Les am?orations des abaques, la nomographie . . 205

10.4
Le second degr?t les constructions des op?tions 209

10.5
Lanomographieapr?cagne . . . . . . . . . . . .211

10.6
Diff?ntstypesd'abaques . . . . . . . . . . . . . 213

10.7
Appendice: r?lution graphique d'un syst? lin?re. 216

LA FORMALISATION DU CALCUL 219

Introduction 221

Il Autour de George Peacock
: comment fonder une conception symbolique

des op?tions? (Marie-Jos?urand-Richard) 229

ILl Caract?sation du r?au des alg?istes anglais. . . . . . . 230

Il.2
L'alg?esymboliquedePeacock . . . . . . . . . . . . . . . 234

Il.3
Du symbolisme alg?ique comme « principe de transfert» 239

11.4
De l'alg?e symbolique comme technique . 241

11.5
Conclusion .......................... 245

12 Aller-retour Analyse Synth? dans le discours sur les quaternions (Luc Sin?e) 247

12.1
Vie de Hamilton 247

12.2
Introduction . . . . . . . . 248

12.3
Arri? plan philosophique. 249

12.4
Le grammarithme. . . . . . 252

12.5
Le quotient symbolique. . . 255

12.6
Une dialectique analyse synth? 256

12.7
Conclusion ........... 258

13 La th?ie des fonctions alg?iques d'une variable de Dedekind
et Weber (Sonia Couche) 261

13.1
Introduction . 261

13.2
La th?ie des id?x de Dedekind . . 262

13.3
La th?ie des fonctions de Riemann. 267

13.4
Des id?x de nombres aux id?x de fonctions. . 271

13.5
Le « point alg?ique» de Dedekind et Weber 275

Bibliographie 279

Cr?ts photographiques 287