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Mathématiques Tout-en-un MP - MP *
Nouveau programme

Mathématiques Tout-en-un MP - MP * - dunod - 9782100713615
Mathématiques Tout-en-un MP - MP * 

Auteur :

Editeur : DUNOD

Collection : J'intègre

Date parution :  (4ème édition)

 Rédigé par des enseignants de classes préparatoires, ce tout-en-un propose à l'étudiant une démarche pour s'approprier le programme, en mettant en oeuvre de nouvelles méthodes d'acquisition des connaissances. Il respecte ainsi, non seulement le texte mais aussi l'esprit de la réforme.

Ce manuel tout-en-un, conforme à la réforme 2014, propose aux élèves de 2e année MP un cours complet accompagné de nombreux exercices et problèmes intégralement résolus.
 

Rédigé par des enseignants de classes préparatoires, ce tout-en-un propose à l'étudiant une démarche pour s'approprier le programme, en mettant en oeuvre de nouvelles méthodes d'acquisition des connaissances. Il respecte ainsi, non seulement le texte mais aussi l'esprit de la réforme.

Dans chaque chapitre de l'ouvrage :

  • Toutes les notions sont abordées dans le strict respect des nouveaux programmes ;
  • De très nombreux exemples illustrent chaque définition ;
  • Le principe des démonstrations est indiqué après chaque proposition et théorème, leur rédaction complète est placée en fin de chapitre ;
  • Dans le cours, de très nombreux exercices simples illustrent l'usage des propositions et théorèmes ;
  • Des "points méthodes"  réguliers ;
  • En fin de chapitre : des exercices corrigés pour s'entraîner et pour approfondir.


En suivant ce lien, retrouvez tous les livres dans la collection J'intègre.
Auteurs :

Claude DESCHAMPS : Professeur en MP* au lycée Louis-le-Grand à Paris

André WARUSFEL : Ancien élève de l'école normale supérieur de la rue d'Ulm, il a été professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand à Paris et Inspecteur général de mathématiques.

Jean François RUAUD : Professeur au lycée Saint-Louis à Paris

François MOULIN : Professeur en MP* au lycée Sainte-Geneviève à Versailles

Michel VOLCKER : Professeur de Mathématiques Spéciales PC-PC* au lycée privé Sainte-Geneviève

Claude LEBRETON : Professeur en PC* au lycée Sainte-Geneviève à Versailles

Anne MIQUEL : Professeur au lycée Louis-le-Grand à Paris

Edmond RAMIS : Ancien Inspecteur général


En suivant ce lien, retrouvez tous les livres dans la spécialité 2ème année.
Reliure : Broché
Nbr de pages : 1088
Dimension : 24 cm x 17 cm
Poids : 1519 gr
ISBN 10 : 2100713612
ISBN 13 : 9782100713615
49,00 €
Sur commande , expédition à 0.01€ sous 4 à 8 jours (en savoir plus)

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TabLe des matières


1 Compléments d'algèbre 1

1.
Relation d'équivalence sur un ensemble. 1

2.
Compléments sur les groupes . . . . . 3

2.1
Groupeproduit ........ 3

2.2
Partie génératrice d'un groupe 4

3.
Groupe monogène et groupe cyclique 7

3.1
Définitions....... 7

3.2
Groupe quotient 7l../n71.. 8

3.3
Ordre d'un élément. . . 12

3.4
Structure des groupes monogènes. 15

4.
Compléments sur les anneaux . . . . . . . 15

4.1
Morphisme d'anneaux et anneau produit 16

4.2
Groupe des éléments inversibles. . 17

4.3
Idéal d'un anneau commutatif. . . 17

4.4
Divisibilité dans un anneau intègre 19

5.
Arithmétique de 7l.. 20

5.1
Idéaux et arithmétique de 7l.. 20

5.2
Anneau quotient 7l../n71.. 22

5.3
Utilisation de la notion de congruence et des anneaux quotients 25

6.
Arithmétique de IK[X] 31

6.1
Structure des idéaux de IK[X] 31

6.2
Applications aux théorèmes de Bézout et Gauss 32

Exercices

2 Algèbre linéaire 41

1.
Familles génératrices, familles libres et bases 41

1.1
Combinaisons linéaires . . . . . . 41

1.2
Familles génératrices, familles libres et bases. 42

1.3
Détermination d'une application linéaire par sa valeur sur une
base . 44

2.
Applications bilinéaires et structure d'algèbre 45

2.1
Applications bilinéaires 45

2.2
Algèbres........ 46

3.
Somme et somme directe . . . 50

3.1
Somme d'une famille finie de sous-espaces vectoriels 50

3.2
Somme directe d'une famille finie de sous-espaces vectoriels 51

3.3
Décomposition en somme directe. 52

4.
Applications linéaires . 55

4.1
Sous-espaces vectoriels stables 55

4.2
Isomorphisme associé à une application linéaire. 58

4.3
Théorème du rang et codimension 59

4.4
Formes linéaires et hyperplans. 61

Exercices. . . 63

3 Applications linéaires et dualité en dimension finie 69

1.
Matrices........................... 69

1.1
Représentation matricielle des applications linéaires 69

1.2
Représentation matricielle des endomorphismes 71

1.3
Opérations élémentaires. . . . . . . . 78

2.
Dual d'un espace vectoriel de dimension finie. 83

2.1
Baseduale ............... 83

2.2
Formes linéaires et sous-espaces vectoriels vectoriels 85

2.3
Systèmes d'équations linéaires 86

Exercices. . . 92

4 Réduction des endomorphismes 99

1.
Polynômes d'endomorphisme . 99

1.1
Morphisme d'évaluation 99

1.2
Idéal annulateur et polynôme minimal 101

1.3
Lemme des noyaux 105

2.
Éléments propres d'un endomorphisme 109

2.1
Vecteurs propres et valeurs propres 109

2.2
Indépendance des sous-espaces vectoriels propres . 114

2.3
Polynôme caractéristique 115

2.4
Théorème de Hamilton-Cayley . 122

3.
Endomorphismes diagonalisables 124

3.1
Définition et caractérisations élémentaires. 124

3.2
Réduction des endomorphismes diagonalisables 129

3.3
Caractérisation par le polynôme minimal 131

4.
Endomorphismes trigonalisables . 132

4.1
Définition . 132

4.2
Caractérisation des endomorphismes trigonalisables . 133

4.3
Applications 136

Exercices.
138

Séries numériques 145

1.
Critère de Cauchy 145

1.1
Rappels sur IR 145

1.2
Suites de Cauchy 146

2.
Suites et séries 147

2.1
Définitions 147

2.2
Propriétés immédiates, exemples 149

3.
Séries à termes réels positifs 150

3.1
Généralités 150

3.2
Théorèmes de comparaison 151

3.3
Utilisation d'une intégrale. 155

3.4
Développement décimal d'un réel positif . 157

4.
Séries réelles ou complexes 162

4.1
Convergence absolue 162

4.2
Sommation des relations de comparaison 164

4.3
Séries alternées 167

5.
Compléments .. 170

5.1
Sommation par tranches . 170

5.2
Transformation d'Abel 172

6.
Sériesdoubles ......... 174

6.1
Séries doubles réelles positives. 176

6.2
Séries doubles complexes ... 180

6.3
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes 184

Exercices.
186

6 Espaces vectoriels normés: définitions générales 193

1.
Norme et distance 193

1.1
Norme 193

1.2
Distance 197

1.3
Exemples classiques d'espaces vectoriels normés 202

2.
Suites et séries d'un espace vectoriel normé 206

2.1
Suites et séries convergentes. 206

2.2
Valeurs d'adhérence ... 210

2.3
Relations de comparaison 210

3.
Topologie d'un espace vectoriel normé 212

3.1
Voisinages, ouverts et fermés . 212

3.2
Intérieur, adhérence et frontière d'une partie 218

4.
Étude locale et continuité 222

4.1
Limite . 222

4.2
Relations de comparaison 226

4.3
Continuité...... 227

4.4
Continuité uniforme 231

5.
Applications linéaires continues 231

5.1
Applications linéaires et bilinéaires continues 231

5.2
Norme subordonnée d'une application linéaire continue 235

Exercices. . . 239

7 Espaces vectoriels normés: théorèmes fondamentaux 245

1.
Compacité....................... 245

1.1
Parties compactes d'un espace vectoriel normé 245

1.2
Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . 248

1.3
Applications continues défmies sur un compact . 251

2.
Complétude....................... 253

2.1
Suites de Cauchy d'un espace vectoriel normé 253

2.2
Parties complètes d'un espace vectoriel normé 256

2.3
Espacesde Banach.............. 257

2.4
Séries d'un espace vectoriel normé complet. 262

2.5
Applications à valeurs dans un espace vectoriel normé complet 266

3.
Connexitépararcs. . . . . . . . 268

3.1
Parties connexes par arcs 268

3.2
Parties connexes par arcs de IR et applications 270

4.
Espaces vectoriels normés de dimension fmie . 272

4.1
Propriétés des espaces numériques IKP 272

4.2
Équivalence des normes . . 273

4.3
Utilisation des coordonnées 274

4.4
Théorème de Bolzano-Weierstrass 276

4.5
Parties compactes 277

4.6
Complétude... 277

4.7
Espaces d'applications linéaires 278

Exercices.
281

8 Suites et séries de fonctions 287

1.
Espaces de fonctions classiques. . . . . . . . . 287

1.1
Les fonctions continues par morceaux 287

1.2
Les fonctions en escalier. . . . . . 288

1.3
Les fonctions affines par morceaux 289

1.4
Les fonctions continues par morceaux 27T' périodiques 289

2.
Suitesde fonctions. ........... 290

2.1
Différents modes de convergence 290

2.2
Espace des applications bornées sur A 295

2.3
Conservation des propriétés par convergence uniforme. 297

2.4
Intégration et dérivation d'une suite de fonctions numériques 299

3.
Théorèmes d'approximation. . . . . . . . . . 307

3.1
Les fonctions continues par morceaux 307

3.2
Les fonctions affmes par morceaux 308

3.3
Théorème de Weierstrass . . . . . 308

3.4
Théorème de Weierstrass trigonométrique 311

4.
Sériesdefonctions ............ 311

4.1
Différents modes de convergence 311

4.2
Convergence normale. . . . . . 315

4.3
Conservation des propriétés par convergence uniforme. 317

4.4
Le cas des séries de fonctions numériques 319

Exercices.
323

9 Séries entières 331

1.
Généralités.............. 331

1.1
Définition d'une série entière 331

1.2
Opérations sur les séries entières 332

2.
Convergence d'une série entière et fonction somme 332

2.1
Rayon de convergence d'une série entière 332

2.2
Convergence uniforme et séries entières . 339

3.
Propriétes de la fonction somme d'une série entière. 341

3.1
Continuité de la fonction somme 341

3.2
Intégration de la fonction somme 341

3.3
Dérivabilité de la fonction somme 342

3.4
Problèmes sur le bord 343

4.
Exponentielle complexe . . . 346

4.1
Construction de l'exponentielle complexe et du nombre 'Ir 346

4.2
Séries entières réelles . 352

5.
Fonctions développables en série entière 354

5.1
Cas des fractions rationnelles de la variable complexe 354

5.2
Cas des fonctions de la variable réelle 356

Exercices.
366

10 Fonctions vectorielles d'une variable réelle 373

1.
Intégration sur un segment . 373

1.1
Intégrale d'une fonction continue par morceaux 374

1.2
Propriétés de l'intégrale 375

1.3
Limites et intégrales . 384

2.
Dérivation.......... 385

2.1
Dérivée en un point. 385

2.2
Caractérisation des fonctions constantes. 387

2.3
Fonctions de classe Cl 388

2.4
Fonctions de classe Ck 391

3.
Primitives et intégrales . 394

3.1
Primitives des fonctions continues 394

3.2
Théorème fondamental 394

3.3
Calcul d'intégrales . 395

3.4
lnégalité des accroissements finis 397

4.
Formules de Taylor 400

4.1
Formule de Taylor avec reste intégral 400

4.2
Inégalité de Taylor-Lagrange 401

4.3
Développements limités . 401

4.4
Formule de Taylor-Young 402

5.
Dérivation d'une limite 402

5.1
Primitivation 402

5.2
Dérivation . 403

5.3
Cas des séries 403

Exercices.
405

11 Intégration sur un intervalle quelconque 413

1.
lntégrabilité des fonctions à valeurs réelles positives 413

1.1
Définition . 413

1.2
Conditions d'intégrabilité 417

1.3
Comparaison série-intégrale . 421

2.
Intégrale des fonctions à valeurs vectorielles 425

2.1
Intégrabilité 425

2.2
Intégrale des fonctions sommables. 427

2.3
Propriétés de l'intégrale 428

2.4
Calcul d'une intégrale. 431

2.5
Intégration des relations de comparaison 435

2.6
Convergence en moyenne et en moyenne quadratique. 439

3.
Théorèmes de convergence 444

3.1
Convergence uniforme 444

3.2
Convergence dominée 444

3.3
Intégration terme à terme d'une série de fonctions 447

4.
Intégrales dépendant d'un paramètre 451

4.1
Continuité sous le signe J 451

4.2
Dérivation sous le signe J 453

4.3
Un exemple: la fonction r 461

Exercices.
464

12 Intégrales doubles 473

1.
Intégrale double sur un rectangle 473

1.1
Théorème de Fubini .. 473

1.2
Cas des fonctions positives 475

1.3
Fonctions vectorielles . . . 480

2.
Intégrale double sur un compact élémentaire 489

2.1
Fonction intégrable sur une partie bornée. 489

2.2
Compacts élémentaires . 491

2.3
Changement de variable. 493

Exercices.
498

13 Espaces préhilbertiens 501

1.
Espaces préhilbertiens réels . 501

1.1
Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques 501

1.2
Produit scalaire et norme d'un espace préhilbertien réel 508

1.3
OrthogonaJité et orthogonalisation 512

1.4
Espaces euclidiens ..... 515

1.5
Sous-espaces orthogonaux. 516

2.
Espaces préhilbertiens complexes . 523

2.1
Formes sesquilinéaires hermitiennes définies positives 523

2.2
Produit scalaire et norme d'un espace préhilbertien complexe 528

2.3
Orthogonalité et orthogonalisation 532

2.4
Espaces hermitiens 535

2.5
Sous-espaces orthogonaux. 536

Exercices. . . 542

14 Endomorphismes d'un espace euclidien 549

1.
Endomorphisme d'un espace euclidien 549

1.1
Adjoint d'un endomorphisme . 549

1.2
Endomorphismes symétriques . 552

1.3
Endomorphismes et formes bilinéaires symétriques 554

1.4
Endomorphismes orthogonaux 556

2.
Réduction des endomorphismes. 563

2.1
Réduction des endomorphismes symétriques 563

2.2
Réduction d'une forme bilinéaire symétrique. 566

2.3
Réduction des endomorphismes normaux 571

Exercices.
574

15 Séries de Fourier 581

1.
Espaces de fonctions périodiques 581

1.1
Fonctions périodiques . 581

1.2
Produit scalaire et semi-normes usuelles 584

1.3
Fonctions exponentielles et polynômes trigonométriques. 587

2.
Coefficients et sommes de Fourier 591

2.1
Coefficients et sommes partielles de Fourier 591

2.2
Interprétation géométrique 593

2.3
Propriétés des coefficients de Fourier . 595

2.4
Coefficients de Fourier d'une fonction dérivée 597

2.5
Coefficients de Fourier de la somme d'une série trigonomé­trique convergeant uniformément. 599

3.
Convergence ponctuelle . 601

3.1
Théorème de convergence ponctuelle 601

3.2
Théorème de convergence normale. 605

3.3
Théorème d'approximation de Weierstrass 607

4.
Convergence en moyenne quadratique 609

4.1
Espace des fonctions périodiques continues 609

4.2
Espace des fonctions périodiques continues par morceaux 613

4.3
Extensions aux fonctions T -périodiques 616

Exercices.
618

16 Fonctions de plusieurs variables réelles 627

1.
Dérivées partielles 627

1.1
Dérivée suivant un vecteur 627

1.2
Dérivée partielle . 628

2.
Applications continûment différentiables 629

2.1
Application différentiable . . . . . . . . . . . . . 629

2.2
Dérivées partielles d'une application différentiable 632

2.3
Applications continûment différentiables . 634

2.4
Caractérisation par les dérivées partielles . 636

2.5
Cas d'une application d'une variable réelle 638

2.6
Cas d'une application à valeurs réelles. . . 638

3.
Propriétés des applications continûment différentiables 640

3.1
Applications à valeurs dans un produit 640

3.2
Composition 641

3.3
Propriétés linéaires 643

3.4
Produit bilinéaire . 644

3.5
Formule des accroissements finis 646

3.6
Extremum local d'une application à valeurs réelles 649

4.
Applications k-fois continûment différentiables. 651

4.1
Définition 651

4.2
Propriétés 651

4.3
Théorème de Schwarz 654

4.4
Formule de Taylor .. 658

4.5
Condition suffisante d'extremum local 660

5.
Difféomorphismes . 662

5.1
Définition . 662

5.2
Coordonnées polaires 666

Exercices. . . 672

17 Équations différentielles
: cas linéaire 679

1.
Équations différentielles linéaires du premier ordre 679

1.1
Définitions et propriétés élémentaires . . . 679

1.2
Théorème de Cauchy-Lipschitz . 683

1.3
Espace des solutions de l'équation homogène. 688

1.4
Espace des solutions de l'équation complète 691

2.
Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients
constants . 693

2.1
Espace des solutions de l'équation homogène . 694

2.2
Espace des solutions de l'équation complète 697

2.3
Méthodes pratiques de résolution . . . . . . 698

3.
Équations différentielles linéaires scalaires
3.1
Défmitions . 704

3.2
Théorème de Cauchy-Lipschitz. 706

3.3
Espace des solutions de l'équation homogène. 709

3.4
Espace des solutions de l'équation complète 717

3.5
Équations à coefficients constants 721

Exercices. . . 725

18 Équations différentielles
: cas non linéaire 733

1.
Équations différentielles du premier ordre . 733

1.1
Définitions........... 733

1.2
Théorèmes de Cauchy-Lipschitz 736

1.3
Exemples d'équations différentielles du premier ordre 741

2.
Systèmes différentiels autonomes d'ordre deux 745

2.1
Définitions........... 745

2.2
Théorèmes de Cauchy-Lipschitz 747

2.3
Étude géométrique des solutions maximales 750

2.4
Équations différentielles autonomes du second ordre 756

Exercices.
760

19 Courbes et surfaces 765

1.
Courbes .... 765

1.1
Arcs paramétrés 765

1.2
Étude locale . . 767

1.3
Théorème du relèvement 769

1.4
Étude métrique d'un arc 772

1.5
Courbes planes définie par une équation cartésienne 775

2.
Intégralescurvilignes. ................. 778

2.1
Champs de vecteurs et formes différentielles . 778

2.2
Intégrale curviligne d'une forme différentielle 779

2.3
Formes exactes et fermées . . 783

2.4
Formule de Green-Riemann 787

3.
Courbes et surfaces de l'espace 790

3.1
Nappes paramétrées régulières. 790

3.2
Surfaces définies par une équation 794

4.
Quadriques............. 797

4.1
Classification des quadriques 798

4.2
Quadriques propres de rang trois 801

4.3
Quadriques propres de rang deux 804

4.4
Quadriques impropres. 807

Exercices.
809

Solutions 817


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