Introduction au calcul des probabilités et à la statistique
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La prise en compte de l'aléa est récemment devenue courante dans les métiers de l'ingénieur (probabilité d'erreur, intervalle de confiance, ... ). Et la statistique est incontournable pour l'analyse et la compréhension des données.Cet ouvrage se fixe donc pour but de présenter les concepts de base des probabilités et de la [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Introduction au calcul des probabilités et à la statistique"
La prise en compte de l'aléa est récemment devenue courante dans les métiers de l'ingénieur (probabilité d'erreur, intervalle de confiance, ... ).
Et la statistique est incontournable pour l'analyse et la compréhension des données. Cet ouvrage se fixe donc pour but de présenter les concepts de base des probabilités et de la statistique mathématique. Ils sont illustrés par des exercices, des applications et des exemples concrets.
En probabilité, l'ouvrage aborde la loi des grands nombres qui assure que la moyenne de nombreux petits aléas est approximativement déterministe et le théorème central limite qui précise la qualité de cette approximation. Ce dernier permet en particulier de donner des estimations par intervalles de confiance ou régions de confiance (estimation de paramètres, sondage, méthode de Monte-Carlo, ... ).
En statistique mathématique, l'ouvrage présente l'estimation paramétrique, avec en particulier le choix des estimateurs, et la théorie des tests.
La théorie des tests ou statistique décisionnelle permet d'établir des procédures de décisions à partir d'observations, qui dépendent de l'aléatoire, et surtout de quantifier les probabilités d'erreur de décision.
Sommaire et contenu du livre "Introduction au calcul des probabilités et à la statistique"
Table des matières
partie 1 Calcul des probabilités
1
Espaces probabilisés 3
LI Vocabulaire................................................ 3
1.2
Probabilités................................................ 4
1.3
Probabilités sur un ensemble fini ou dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4
Lamodélisation (1).......................................... 9
1.5
Dénombrement........................................... .. 10
1.6
Probabilités conditionnelles 12
1.7
Indépendance............................................ .. 13
1.8
Modélisation(II).......................................... .. 14
1.9
Rappelssurlesensembles.................................. .. 15
1.10
Compléments sur les espaces mesurables et les fonctions mesurables 15
1.11
Résumé.................................................. .. 18
1.12
Exercices................................................ .. 19
II Variables aléatoires discrètes 25
II.1
Variablesaléatoires........................................ .. 26
II.2
Exemplesdevariablesaléatoiresdiscrètes .................... .. 27
II.3
Loid'unvecteur,lois marginales............................ .. 29
IIA Variables aléatoires discrètes indépendantes (1) 31
11.5
SchémadeBernoulli etautresexemples...................... .. 32
11.6
Changement de variable 39
II.7
Espérance d'une variable aléatoire quelconque 39
11.8
Espérance d'une variable aléatoire discrète. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44
II.9
Variance et Covariance 47
II.10
Indépendance(II)......................................... .. 48
II.l1
Loi faible des grands nombres 51
II.12
Fonctionsgénératrices..................................... .. 52
II.13
Indépendance (III) ........................................ .. 55
II.14
Lois conditionnelles et espérances conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . .. 56
II.15
Rappelssurlesséries etlessériesentières.................... .. 62
II.16
Résumé.................................................... 64
11.17
Exercices.................................................. 67
III Variables aléatoires à densité 79
111.1
Définitions................................................. 80
111.2
Loismarginales........................................... .. 83
111.3
Espérance.................................................. 84
IliA Loisusuelles.............................................. .. 85
111.5
Autres lois ............................................... .. 88
111.6
Indépendance.............................................. 90
III.7
Calculdelois............................................. .. 93
111.8
Lois conditionnelles 95
111.9
Simulation................................................. 97
111.10
Rappelssurl'intégration................................... .. 99
111.11
Résumé 103
111.12
Exercices 106
IV Fonctions caractéristiques 113
IV.1
Définitions 113
IV.2
Propriétés 115
IV.3
Fonctions caractéristiques usuelles 118
IV.4
Résumé 121
IV.5
Exercices 123
V Convergences et théorèmes limites 125
V.1
Convergence presque sûre et théorèmes limites 125
V.2
Convergence en probabilité et dans l'espace L 2 128
V.3
Convergence en loi 132
VA Loi forte des grands nombres 137
V.5
Estimations de lois 141
V.5.1
Variables aléatoires discrètes 141
V.5.2
Variables aléatoires réelles 141
V.5.3
Variables aléatoires à densité 142
V.6
Théorème central limite 145
V.7
Autour du théorème central limite (1) 149
V.8
Autour du théorème central limite (II) 153
V.9
Résumé 155
V.10
Exercices 158
VI Vecteurs gaussiens 165
VI.1
Définition et propriétés 165
VI.2
Loi du X2, loi de Student, loi de Fisher 173
VI.3
Théorème central limite vectoriel. 179
VI.4
Résumé 181
VI.5
Exercices 183
partie II Statistique
VII Introduction à la statistique: un exemple 189
VII.1
Estimation ponctuelle 189
VII.2
Test d'hypothèses 190
VII.3
Intervalle de confiance 191
VIII Estimation ponctuelle 195
VIII.1
Hypothèses sur le modèle 195
VIII.2
Statistiques et estimateurs 197
VIII.3
Construction d'estimateurs convergents 198
VIII.3.1
Méthode de substitution 198
VIII.3.2
Méthode des moments 198
VIII.3.3
Le maximum de vraisemblance 199
VIllA Choix d'un estimateur 204
VIIIA.1
Risque quadratique et comparaison d'estimateurs 204
VIII.4.2
Score, information de Fisher, modèle régulier 207
VIIIA.3
Borne FDCR 210
VIII.4A
Modèle gaussien 212
VIII.5
Amélioration d'estimateurs 214
VIII.5.1
Statistiques exhaustives, statistiques totales 214
VIII.5.2
Estimateurs améliorés de Rao-Blackwell 216
VIII.5.3
Le modèle exponentiel 218
VIII.6
Analyse asymptotique 222
VIII.6.1
Estimateurs de substitution 223
VIII.6.2
Estimateurs des moments 223
VIII.6.3
Estimateurs du maximum de vraisemblance 224
VIII.6.4
Comparaison asymptotique 226
VIII.7
Résumé 228
VIII.8
Exercices 231
IX Tests d'hypothèses 235
IX.l
Tests 236
IX.2
Erreurs 237
IX.3
Choix d'un test 238
IX.4
Test d'hypothèses simples 239
IX.5
Statistique de test et p-valeur 242
IX.6
Hypothèses composites pour les modèles exponentiels 244
IX.7
Régression linéaire 248
IX.7.1
Modèle et estimation 248
IX.7.2
Test d'utilité des régresseurs 251
IX.8
Tests asymptotiques 255
IX.8.1
Définitions et exemples 255
IX.8.2
Hypothèse implicite: le test de Wald 260
IX.8.3
Hypothèse explicite: le test de Hausman 264
IX.9
Test d'adéquation du X2 et applications 267
IX.9.1
Test du X2 empirique 267
IX.9.2
Test d'adéquation à une loi 270
IX.9.3
Test d'indépendance 271
IX.9.4
Test du X2 empirique (démonstration) 273
IX.1O
Autres tests asymptotiques 275
IX.1O.l
Test de Kolmogorov-Smirnov pour un échantillon 275
IX.1O.2
Test de Kolmogorov-Smirnov pour deux échantillons 278
IX.lO.3
Test de comparaison pour deux échantillons 279
IX.ll
Résumé 282
IX.12
Exercices 289
X Régions de confiance, Intervalles de confiance 293
X.l
Régions et intervalles de confiance de niveau exact 293
X.2
Régions et intervalles de confiance de niveau approché 296
X.2.1
Niveau par excès 296
X.2.2
Niveau asymptotique 298
X.3
Régions de confiance et tests 301
X.4
Résumé 302
X.5
Exercices 303
XI Tables statistiques 305
XI.l
Quantiles de la loi N(O, 1) 305
XI.2
Fonction de répartition de la loi N(O, 1) 306
XI.3
Quantiles de la loi du X2 307
XIA Quantiles de la loi de Student 308
XI.5
Quantiles de la loi de Fisher-Snedecor 309
Références
311
Index
313
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