Algèbre linéaire
Réduction des endomorphismes
Un manuel concis pour maîtriser l'algèbre linéaire, indispensable en mathématiques, avec un cours complet, des exercices corrigés et des développements commentés. Après de nombreux rappels sur les fondements de la théorie de la dimension, du rang et des systèmes linéaires, qui sont au coeur de l'enseignement de l'Algèbre linéaire de L1 ou de Math Sup, le livre procède très vite à [...]
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Auteur : Roger MANSUY , Rached MNEIMNÉ
Editeur : Vuibert
Date parution : 06/2016 (2ème édition)Quel est le sujet du livre "Algèbre linéaire"
Un manuel concis pour maîtriser l'algèbre linéaire, indispensable en mathématiques, avec un cours complet, des exercices corrigés et des développements commentés. Après de nombreux rappels sur les fondements de la théorie de la dimension, du rang et des systèmes linéaires, qui sont au coeur de l'enseignement de l'Algèbre linéaire de L1 ou de Math Sup, le livre procède très vite à la mise en place des méthodes et des objets fondamentaux de la réduction des endomorphismes. Chaque énoncé d'exercice, accompagné d'un rappel de cours, est l'occasion d'en présenter la thématique qui le replace dans un contexte mathématique signifiant (et non pas déconnecté de l'apprentissage). Les auteurs en proposent un éclairage multiple, et livrent une (ou plusieurs) solution(s) ainsi que divers développements apparentés. Sommaire : 1. Polynômes d'endomorphismes - 2. Sous-espaces stables - 3. Commutation - 4. Lemme des noyaux - 5. Eléments propres - 6. Endomorphismes cycliques - 7. Théorème de Cayley & Hamilton - 8. Diagonalisation - 9. Trigonalisation - 10. Réduction de Jordan - 11. Réduction de Frobenius - 12. Topologie des classes de similitudes - 13. Localisation des valeurs propres - 14. Application aux chaînes de Markov finies - Notations Cette deuxième édition refondue, augmentée de quelques exercices complémentaires, intègre maintenant plusieurs annexes consacrées à des développements mal compris par les lecteurs.
En suivant ce lien, retrouvez tous les livres dans la spécialité Mathématiques.Sommaire et contenu du livre "Algèbre linéaire - Réduction des endomorphismes"
Table des matières1.
Polynômes d'endomorphismes
1.
Un morphisme d'algèbre .... 1
2.
Idéal des polynômes annulateurs 2
3.
Polynôme minimal . 4
4.
Utilisation pratique d'un polynôme annulateur 5
5.
Commentaires et développements 7
6.Exercices ........ . 9
II.
Sous-espaces stables
1.
Restriction d'un endomorphisme . 13
2.
Sous-espace stable . 15
3.
Endomorphisme induit sur un sous-espace stable. 16
4.
Exemples de sous-espaces stables. 16
5.
Sous-espaces cycliques . . . . . . . 17
6.
Commentaires et développements 18
7.
Exercices . 20
III.
Commutation
1.
Définitions . 25
2.
Calculs de commutants 27
3.
Endomorphisme adf .. 28
4.
Commentaires et développements 29
5.Exercices .............. 30
IV.
Lemme des noyaux
1.
Étude de ker PU) .................. 37
2.
Lemme des noyaux . 38
3.
Décomposition de l'espace en sous-espaces stables 40
4.
Commentaires et développements . . . . . . . . . 41
5.
Exercices .1~
V.
Éléments propres, caractéristiques
1.
Définitions . . . . . 45
2.
Polynôme caractéristique . 48
3.
Commentaires et développements 50
4.
Exercices . 53
VI.
Endomorphismes cycliques
1.Définitions .................. 59
2.
Caractérisation avec le polynôme minimal. 60
3.
Caractérisation avec le commutant. 60
4.
Matrice compagnon . . . . . . .. 62
5.
Polynôme caractéristique . . . . . 64
6.
Commentaires et développements 65
7.
Exercices . 67
VII.
Théorème de Cayley & Hamilton
1.
Énoncé et conséquences . 71
2.
Preuve par les sous-espaces cycliques 72
3.
Preuve par la formule de la comatrice 72
4.
Sous-espaces caractéristiques . . . 73
5.
Multiplicités . 73
6.
Commentaires et développements 74
7.
Exercices . 75
VIII.
Diagonalisation
1.
Critères de diagonalisation 79
2.
Critère de co-diagonalisation ... 84
3.
Commentaires et développements 85
4.
Exercices . 86
IX.
Trigonalisation
1.
Critères de trigonalisation . 93
2.
Fonctions symétriques des valeurs propres. 95
3.
Commentaires et développements 99
4.Exercices .............. 100
X.
Réduction de Jordan
1.
Décomposition de Jordan & Dunford 105
2.
Réduction de Jordan: cas nilpotent 107
3.
Interlude: lire un tableau de Young 113
4.
Réduction de Jordan; cas général 114
5.
Commentaires et développements 115
6.Exercices .............. 117
XI.
Réduction de Frobenius
1.
Réduction de Frobenius . 125
2.
Retour sur la réduction de Jordan 128
3.
Commutants et bicommutants .. 131
4.
Commentaires et développements 134
5.Exercices .............. 135
XII.
Topologie des classes de similitude
1.
Rappels sur la relation de similitude . 139
2.
Classes de similitude dans M2(~) .. 140
3.
Adhérence d'une classe de similitude. 144
4.
Connexité d'une classe de similitude 146
5.
Commentaires et développements 147
6.
Exercices . 148
XIII.
Localisation des valeurs propres
1.
Théorème de Hadamard . 153
2.
Disques de Gerschgorin 154
3.Rayon spectral...... 156
4.
Théorème de Perron ... 157
5.
Théorème de Perron & Frobenius 159
6.
Commentaires et développements 161
7.Exercices .............. 163
XIV.
Application aux chaînes de Markov finies
1.
Chaînes de Markov . 169
2.
Matrice de transition 170
3.
Probabilité invariante 173
4.
Théorème ergodique. 174
5.
Commentaires et développements 176
6.
Exercices . 178
Notations 181
Index 182