Algèbre MPSI Reliure :
Broché
Nbr de pages :
448
ISBN 10 :
2100498355
ISBN 13 :
9782100498352
29,90 €
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Quel est le sujet du livre "Algèbre MPSI" Cette 4e édition du cours d'Algèbre de Jean-Marie Monier a été entièrement revue afin de répondre aux besoins des étudiants de classes préparatoires : Un cours complet, pédagogique et conforme au programme.
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Sommaire Sommaire et contenu du livre "Algèbre MPSI"
Cours
CHAPITRE 1
Vocabulaire de la théorie des ensembles 3
1.1
Ensembles 4
1.1.1
Éléments de logique 4
1.1.2
Ensembles 6
1.1.3
Inclusion 6
1.1.4
Opérations dans ~(E) 7
1.2
Relations 10
1.2.1
Généralités 10
1.2.2
Relations d'équivalence 15
1.2.3
Relations d'ordre 16
1.3
Applications 19
1.3.1
Définitions 19
1.3.2
Injectivité, surjectivité, bijectivité 22
1.3.3
Restrictions et prolongements 25
1.3.4
Ordre et applications 26
1.3.5
Images directes, images réciproques de parties par une application 27
1.3.6
Familles 30
CHAPITRE 2
Structures algébriques 33
2.1
Lois de composition interne 33
2.2
Groupes 41
2.2.1
Généralités 41
2.2.2
Sous-groupes 43
2.2.3
Morphismes de groupes 46
2.3
Anneaux 50
2.3.1
Définitions 50
2.3.2
Calculs dans un anneau 50
2.3.3
Sous-anneaux 54
2.3.4
Supplément: Morphismes d'anneaux 54
2.3.5
Anneaux intègres 55
2.4
Corps 56
CHAPITRE 3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
CHAPITRE 4
4.1
4.2
4.3
4.4
Nombres entiers, nombres rationnels 59
Propriétés de N 60
3.1.1 Structure de N 60
3.1.2 Le principe de récurrence 60
3.1.3 Divisibilité dans N 61
Ensembles finis, ensembles infinis 64
3.2.1 Equipotence 64
3.2.2 Ensembles finis 65
3.2.3 Ensembles infinis 68
Analyse combinatoire 69
3.3.1 Permutations 69
3.3.2 Arrangements 69
3.3.3 Combinaisons 70
Le groupe symétrique 75
3.4.1 Structure de 6n 75
3.4.2 Transpositions 75
3.4.3 Cycles 78
Dénombrements 79
3.5.1 Dénombrements classiques 79
3.5.2 Exemples de dénombrements 80
Propriétés de Il 82
Propriétés de Q 83
Arithmétique dans Z 85
Divisibilité 86
4.1.1 Généralités 86
4.1.2 Congruences 87
pgcd, ppcm 93
4.2.1 Généralités 93
4.2.2 Propriétés 93
4.2.3 Algorithme d'Euclide 96
Nombres premiers entre eux 98
4.3.1 Généralités 98
4.3.2 Théorème de Bézout 98
4.3.3 Propriétés 100
4.3.4 Applications 102
Nombres premiers 106
4.4.1 Généralités 106
4.4.2 Corps ZIpZ' P premier 107
4.4.3 Décomposition primaire 108
Polynômes, fractions rationnelles 119
Algèbre K [Xl 120
5.1.1 Définition 120
5.1.2 Addition 121
5.1.3 Multiplication 122
5.1.4 Loi externe 124
5.1.5 Composition 126
5.1.6 Dérivation 126
5.1.7 Fonctions polynomiales 127
5.1.8 Notion de polynôme à plusieurs indéterminées 131
Arithmétique dans K[X] 133
5.2.1 Divisibilité 133
5.2.2 Division euclidienne 134
5.2.3 Pgcd, ppcm 136
5.2.4 Polynômes premiers entre eux 141
5.2.5 Polynômes irréductibles 143
Zéros des polynômes 146
5.3.1 Généralités 146
5.3.2 Polynômes scindés 148
5.3.3 Utilisation de la dérivation 152
5.3.4 Cas de IC[X) 153
5.3.5 Cas de IR[X] 155
Fractions rationnelles 160
5.4.1 Étude de K (X) 160
5.4.2 Décomposition en éléments simples 165
Espaces vectoriels 181
Structure d'espace vectoriel 182
Sous-espaces vectoriels 184
Dépendance et indépendance linéaires 189
6.3.1 Familles liées, familles libres 189
6.3.2 Sous-espace engendré par une partie 192
6.3.3 Familles génératrices, bases 194
Théorie de la dimension 195
Applications linéaires 205
Généralités 206
7.1.1 Définitions 206
7.1.2 Noyau, image 209
7.1.3 Applications linéaires et familles de vecteurs 210
5.1
5.2
5.3
5.4
CHAPITRE 6
6.1
6.2
6.3
6.4
7.2
7.3
CHAPITRE 8
-
8.1
8.2
8.3
CHAPITRE 9
9.1
9.2
9.3
9.4
8.1.1
8.1.2
8.1.3
8.1.4
8.1.5
8.1.6
8.1.7
8.1.8
8.1.9
Changement de bases 251
8.2.1 Matrices de passage 251
8.2.2 Changement de base pour un vecteur 252
8.2.3 Changement de bases pour une application linéaire 252
8.2.4 Changement de base pour un endomorphisme 255
Matrices remarquables 257
8.3.1 Matrices symétriques, matrices antisymétriques 257
8.3.2 Matrices triangulaires 259
8.3.3 Matrices diagonàïes 263
Déterminants,systèmes linéaires 265
Applications multilinéaires 266
9.1.1 Généralités 266
9.1.2 Applications multilinéaires alternées 266
Déterminant d'une famille de n vecteurs dans une base d'un ev de dimension n 268
9.2.1 Espace An(E) 268
9.2.2 Propriétés 270
Déterminant d'un endomorphisme 270
Déterminant d'une matrice carrée 272
9.5
Développement par rapport à une rangée 275
9.5.1
Cofacteurs et mineurs 275
9.5.2
Comatrice 278
9.6
Calcul des déterminants 280
9.6.1
Déterminant d'une matrice triangulaire 280
9.6.2
Manipulation de lignes et de colonnes 281
9.6.3
Cas n =2, n =3 283
9.6.4
Déterminant de Vandermonde 284
9.7
Orientation d'un espace vectoriel réel
de dimension finie 288
9.8
Supplément: Rang et sous-matrices 290
9.9
Systèmes affines 292
9.9.1
Position du problème 292
9.9.2
Résolution 293
CHAPITRE 10
Espaces vectoriels euclidiens 299
10.1
Produit scalaire 300
10.I.l
Généralités 300
10.1.2
Inégalités, normes euclidiennes 302
10.1.3
Orthogonalité 304
10.2
Espaces vectoriels euclidiens 308
10.2.1
Procédé d'orthogonalisation de Schmidt 308
10.2.2
Projecteurs orthogonaux, symétries orthogonales 312
10.2.3-Hyperplans
314
10.3
Groupe orthogonal 316
10.3.1
Endomorphismes orthogonaux 316
10.3.2
Matrices orthogonales 318
10.4
Géométrie vectorielle euclidienne plane 322
10.5
Géométrie vectorielle euclidienne en dimension 3 327
10.5.1
Endomorphismes orthogonaux de E3 327
10.5.2
Produit vectoriel 335
Solutions des exercices
Chapitre 1 344
Chapitre 2 349
Chapitre 3 356
Chapitre 4 363
Opérations sur les applications linéaires 215
7.2.1 L'espace vectoriel L(E, F) 215
7.2.2 Composition 215
7.2.3 Le groupe ÇiL(E) 219
Cas de la dimension finie 222
7.3.1 Le théorème du rang et ses conséquences 222
7.3.2 Dimension de L(E,F) 225
Matrices 229
Calcul matriciel 230
Notion de matrice 230
Matrices et applications linéaires 231
L'espace vectoriel Mn,p(K) 232
Multiplication des matrices 233
Le groupe GLn(K) 239
Rang d'une matrice 242
Opérations élémentaires 245
Transposition 248
Trace d'une matrice carrée 249
Chapitre 5 387
Chapitre 6 404
Chapitre 7 408
Chapitre 8 414
Chapitre 9 423
Chapitre 10 431
Index des notations 441
Index alphabétique 443
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