Analyse pour le Capes et l'Agrégation interne

Sommaire et contenu du livre "Analyse pour le Capes et l'Agrégation interne"

Table des matières 1 Les nombres rêels 1 1.1 Ensembles de nombres 1 1.2 Le corps des réels .. 5 1.3 Ordre sur ~ .8 1.4 Parties bornées de ~ . 11 1.5 Conséquences de l'axiome de la borne supérieure. 12 1.6 Exercices....................... 14 2 Suites réelles ou complexes 17 2.1 Suites. Ensembles dénombrables 17 2.2 Suites convergentes . . . . . . 19 2.3 Suites réelles de limite infinie 23 2.4 Propriétés de comparaison 26 2.5 Suites adjacentes . . . . 29 2.6 Suitesusuelles . . . . . . . 30 2.7 Convergence en moyenne . 32 2.8 La droite réelle achevée ~ 34' 2.9 Exercices . 35 3 Notions de topologie dans ~ 39 3.1 Intervalles de IR . 39 3.2 Ouverts. Fermés . 41 3.3 Compacts . . . . 45 3.4 Suites de Cauchy 46 3.5 Représentation décimale des nombres réels 48 3.6 Exercices................... 53 4 Continuité en un point. Limites 57 4.1 Apropos de l'ensemble de définition 57 4.2 Limite et continuité en un point . 59 4.3 Propriétés .......... .'.. 63 4.4 Limite à droite. Limite à gauche . 64 4.5 Extensions de la notion de limite 67 4.6 Cas des fonctions monotone,S . 70 4.7 Exercices.............. 72 5 Comparaison des suites. Comparaison des fonctions 77 5.1 Les notations 0 (1) et0(1). 77 5.2 Autres notations usuelles . . . . 80 5.3 Équivalence ........... 82 5.4 Accélération de la convergence . 86 5.5 Exercices................................ 91 6 Fonctions continues sur un intervalle 95 6.1 Continuité sur un intervalle 95 6.2 Continuité uniforme. . . 97 6.3 Cas des fonctions réelles . . . 100 6.4 Fonction réciproque . . . . . . 104 6.5 Suites réelles de la forme Un+l = f (un) . 108 6.6 Équation f (x) = O. Méthodes de la sécante et de Newton. . 111 6.7 Exemples d'équations fonctionnelles. . 116 6.8 Exercices............................ . 121 7 Formules de Taylor 127 7.1 Théorème des accroissements finis. . 127 7.2 Conséquences des accroissements finis . . 131 7.3 Formule de Taylor-Lagrange . 135 7.4 Formule de Maclaurin . 136 7.5 Formule de Taylor-Young. . . . . . . . 138 7.6 Formule de Taylor avec reste intégral . 140 7.7 Cas particulier d'un polynôme. . 141 7.8 Exercices................ . 142 8 Développements limités 145 8.1 Introduction.................. . 145 8.2 Développement limité d'ordre n en un point . 147 8.3 Lien avec les dérivées successives .... . 150 8.4 Opérationsusuelles . . . . . . . . . . . . .154 8.5 Application des développements limités . . 161 8.6 Développements asymptotiques . 163 8.7 Exercices.................. . 166 9 Fonctions convexes 171 9.1 Ensembles convexes. . 171 9.2 Fonctions convexes . . 173 9.3 Propriétés de dérivabilité . . 177 9.4 Inégalités de convexité . 181 9.5 Exercices......... . 184 10 Espaces vectoriels normés 187 10.1 Normes sur un espace vectoriel. . 187 10.2 Suites . 190 10.3 Propriétés métriques . . . . . . . 192 10.4 Propriétés topologiques . . . . . . 194 10.5 Distance induite sur une partie . 198 10.6 Intérieur. Adhérence . . . . . . . 199 10.7 Exercices ~(H 11.1 Limite en W1 point . . .207 11.2 Continuité en W1 point ..... .210 11.3 Continuité globale. . . . . . . . . 211 11.4 Applications linéaires continues . 215 11.5 Applications multilinéaires continues . 219 11.6 Normes équivalentes . 220 11.7Exercices. ............... .222 12 Compacts. Connexes. Espaces complets 225 12.1 Partiescompactes . . . . . . . . . . . .225 12.2 Fonctions continues sur un compact. . 229 12.3 Parties connexes . 232 12.4 Suites de Cauchy. Espaces complets . 236 12.5 Propriétés des espaces complets . 239 12.6 Théorème du point fixe . . 242 12.7 Exercices. . . . . . . .243 13 Espaces préhilbertiens 247 13.1 Espaces préhilbertiens . 247 13.2 Familles orthogonales . . 251 13.3 Projection orthogonale . 254 13.4 Polynômes orthogonaux . 257 13.5 Exercices. . . . . . 259 14 Suites de fonctions 263 14.1Convergence................ .263 14.2 Limite d'une suite de fonctions continues . 266 14.3Casgénéral ................ .268 14.4 Approximation de fonctions continues par morceaux. . 270 14.5 Théorème de Weierstrass. . . . . . . . . 272 14.6 Polynômes d'interpolation de Lagrange . 275 14.7 Exercices '. . . . 277 15 Dérivation des fonctions vectorielles 281 15.1 Dérivée première ... . . 281 15.2 Règlesdecalcul . . . . . . .284 15.3 Les accroissements finis. . . 287 15.4 Dérivées d'ordre supérieur . 290 15.5 Formules de Taylor . . . . . 292 15.6 Tangente à une courbe paramétrée . 295 15.7 Exercices~... ............ .299 16.1 Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . 303 16.2 Intégrale des fonctions continues par morceaux . . 305 16.3 Moyenne d'une fonction . 308 16.4 Primitives etintégrales . . . . . . . . . . . . . . .312 16.5 Intégration et dérivation d'une suite de fonctions. . 316 16.6 Fonction définie par une intégrale . 318 16.7Exercices. ............. .321 11 Calcul d'intégrales 325 17.1 Généralités . 325 17.2 Intégration par parties . . 327 17.3 Changement de variable . 329 17.4 Quelques situations classiques . 331 17.5 Calcul approché d'une intégrale . 335 17.6Exercices. ............ .338 18 Intégrales impropres 341 18.1 Généralités . 341 18.2 Intégrale impropre d'une fonction positive . 345 18.3 Convergence et convergence absolue . . . . . 347 18.4 Méthodes de calcul d'une intégrale impropre . 349 18.5 Intégration des relations de comparaison . 351 18.6 La fonction r ......... . 354 18.7 Cas des fonctions vectorielles . . 356 18.8Exercices. ......... .357 19 Séries réelles ou complexes 361 19.1 Généralités . 361 19.2 Séries à termes positifs . .. . . . . . 365 19.3 Règles de Cauchy et de d'Alembert . 370 19.4 Séries semi-convergentes . . . . . . . 373 19.5 Produit de deux séries . . .'. . . . . 375 19.6 Associativité et commutativité dans la somme d'une série . . 377 19.7 Calcul approché de la somme d'une série convergente . 379 19.8Exercices. ........................ .381 20 Séries de fonctions 385 20.1Convergence. ............. .385 20.2 Propriétés de la fonction somme . . . . 391 20.3 Séries dans un espace vectoriel normé . 394 20.4Exercices. ............... .397 21.1 Rayon de convergence . 401 21.2 Opérations sur les séries entières . . 404 21.3 Propriétés de la fonction somme . . 406 21.4 Fonctions développables en série entière . . 409 21.5 Fonction exponentielle complexe. . 416 21.6Exercices.................. .418 22 Séries de Fourier 421 22.1 Séries trigonométriques. . 421 22.2 Séries de Fourier .... . 426 22.3 L'espace préhilbertien D21f' 431• 22.4 Théorème de Parseval .. . 435 22.5 Convergence simple. Convergence normale . 438 22.6 Cas des fonctions de période T . . 440 22.7Exercices. .................. .441 23 Équations différentielles linéaires du premier ordre 447 23.1 ÉqJations scalaires . . . 447 23.2 Équations vectorielles . 451 23.3 Problème de Cauchy . . 452 23.4 Résolution théorique . . 456 23.5 Systèmes à coefficients constants. . 460 23.6Exercices. ............. .465 24 Équations différentielles linéaires du second ordre 469 24.1 Définitions. . . . . . . 469 24.2ProblèmedeCauchy ............ .470 24.3 Résolutionthéorique . . . . . . . . . . . . .470 24.4 Résolution de l'équation linéaire homogène . 473 24.5 Recherche d'une solution particulière . . . 477 24.6 Séries entières et équations différentielles . 480 24.7Exercices.................. .483 25 Notions sur les équations différentielles non linéaires 485 25.1 Généralités . 485 25.2 Approche géométrique . . . . . 489 25.3 Le problème de Cauchy. . . . . 493 25.4. Quelques équations classiques . 496 25.5 La méthode d'Euler. . 502 25.6 Exercices. . . . . . . . .506 26 Fonctions différentiables 509 26.1 Dérivées partielles . . . . 509 26.2 Fonctions différentiables . . . 514 26.3 Cas particuliers importants. . 516 26.4 Cas général ... .521 26.5 Composition . . . .524 26.6 Difféomorphismes .527 26.7 Exercices. . . . .531 27 Calcul Différentiel 535 27.1 Les accroissements finis . .535 27.2 Fonctions numériques deux fois différentiables .538 27.3 Formule de Taylor-Young. .540 27.4 Extrema . .543 27.5 Inversion locale . .546 27.6 Les fonctions implicites . . .549 27.7 Applications géométriques .552 27.8Exercices. ......... .556 28 Calcul intégral dans lR2 et lR3 559 28.1 Champ de vecteurs ..... .559 28.2 Circulation d'un champ de vecteurs .562 28.3 Formes différentielles . . . . . . . . .564 28.4 Intégrale double sur un compact simple . .566 28.5 Propriétés de l'intégrale double '' .571 28.6 Quelques questions et commentaires . .575 28.7 Formule de Green-lliemaIUl .578 28.8 Intégrales triples .580 28.9Exercices. .......... .585 Bibliographie 587 Index 588