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Dynamiques complexes et morphogenèse
Introduction aux sciences non linéaires

Dynamiques complexes et morphogenèse - springer verlag - 9782817801933 -
Dynamiques complexes et morphogenèse 

Auteur : 

Editeur : Springer Verlag

Date parution :

Les sciences non linéaires ont pour objet l'ensemble des phénomènes dont l'analyse résiste au principe de superposition.

Elles concernent en grande partie les systèmes dits «complexes» dont l'interaction et l'interdépendance entre les parties empêchent de prédire précisément l'évolution du système.

Pour expliquer ces phénomènes, deux approches complémentaires ont été proposées : la théorie des bifurcations et la théorie des catastrophes. Mais la pleine compréhension et la modélisation de la non-linéarité restent chacune un défi pour les scientifiques du XXIe siècle. C'est dans la perspective d'accompagner tous ceux qui voudront le relever que ce livre a été conçu.

Son objectif est d'exposer au lecteur le langage et le formalisme nécessaires à l'étude de la non-linéarité.
Partant d'exemples simples, pour ensuite atteindre un niveau d'abstraction visant l'universalité, l'auteur explore les divers scénarios possibles de bifurcations et Les catastrophes élémentaires caractéristiques du changement qualitatif de comportement d'un système ; l'étude de l'évolution temporelle est abordée à travers La mise en équation de phénomènes aux solutions stationnaires ou oscillantes; l'analyse de l'évolution spatiale des systèmes non linéaires nous introduit quant à elle au problème fascinant de la morphogenèse.

Accessible dès le premier cycle universitaire aux étudiants de toutes les disciplines concernées par Les phénomènes non linéaires (physique, mathématiques, chimie, géologie, économie, etc.), cet ouvrage constituera aussi une synthèse riche et utile pour les enseignants et chercheurs de ces différents domaines.

Auteurs :

Chaouqi Misbah est directeur de recherche 1re classe au sein du LIPhy - Laboratoire interdisciplinaire de physique (CNRS et université Joseph-Fourier-Grenoble-I).


En suivant ce lien, retrouvez tous les livres dans la spécialité Sciences des matériaux.

Descriptif : 

Reliure :
Broché
Nbr de pages :
358
Dimension :
15.5 x 23.5 x 1.9 cm
Poids :
656 gr
ISBN 10 :
2817801938
ISBN 13 :
9782817801933
56,00 €
Sur commande
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Sommaire

Table des matières


Table des illustrations xvii

1 Présentation des grandes lignes 1

2 Introduction élémentaire aux bifurcations à une dimension 15

2.1
Unexemplemécaniquesimple .......... 15

2.1.1
Énergie potentielle et position d'équilibre 15

2.1.2
Une explication intuitive de l'existence
d'unebifurcation ................... 18

2.1.3
Analyse de la bifurcation 19

2.1.4
Universalité au voisinage d'un point de bifurcation 19

2.2
Analogie entre une bifurcation fourche
et une transition de phase du deuxième ordre. 21

2.3
Considérations dynamiques . . . . 22

2.3.1
Analyse de stabilité linéaire . . . . . . . 23

2.3.2
Ralentissement critique . . . . . . . . . 24

2.3.3
Élimination adiabatique des modes rapides ­réduction du nombre de degrés de liberté . 25

2.3.4
Équationd'amplitude . . . . . . . . . . . . 27

2.3.5
Forme canonique de l'équation d'amplitude 28

2.3.6
Attracteurs de la dynamique 29

2.3.7
Fonction de Lyapunov . . . . 30

2.3.8
Brisure de symétries . . . . . 30

2.4
Systèmes dynamiques et importance
de la bifurcation fourche 31

3 Les autres bifurcations génériques 33

3.1
Bifurcation imparfaite; brisure extrinsèque de symétrie 33

3.1.1
Un avant-goût de la théorie des catastrophes 38

3.2
Bifurcation sous-critique et multistabilité . 40

3.2.1
Métastabilité et rôle des fluctuations 45

3.2.2
Cycle d'hystérésis . 46

3.3
Bifurcation transcritique .... . . . . . . 47

3.3.1
Stabilité linéaire des points fixes 49

3.4
Bifurcation col-nœud 51

3.4.1
Rappel du pendule simple. . . . 51

3.4.2
Pendule simple en présence d'une nouvelle force
extérieure .................... 52

3.4.3
Stabilitélinéaire ................ 53

3.4.4
Forme universelle de la bifurcation col-nœud 55

3.4.5
Origine de la dénomination col-nœud. . 55

3.4.6
Mouvement de bascule ou de tumbling 58

3.4.7
Digressions vers la biologie . 62

3.5
Définition d'une bifurcation. . . . . 63

3.6
Théorie des catastrophes et stabilité
structurelle........................... .. 64

3.6.1
Quelle différence entre stabilité structurelle
et stabilité dynamique? . . . . . . . . 65

3.6.2
Stabilité structurelle et subjectivité. . . . 65

3.7
En quoi consiste la théorie des catastrophes? . . 66

3.7.1
Illustration de la théorie des catastrophes 67

3.8
Stabilité structurelle avec un nombre infini d'exceptions: les
lieux des catastrophes! . . . . 71

3.9
Problèmes.......................... 72

3.9.1
Problème: le plateau de Maxwell. . . . . . . . . . 72

3.9.2
Problème: exemple d'une bifurcation sous-critique 73

3.9.3
Problème: bifurcation sous-critique imparfaite . . 77

3.9.4
Problème: Euler et le film de savon . . . . . . . . 77

3.9.5
Problème: une bifurcation sous-critique possède une branche
col-nœud 84

Classification des sept catastrophes élémentaires 87

4.1
Catastrophe pli ou point tournant . 88

4.1.1
Déploiement des singularités en des termes simples . 89

4.1.2
Comment le nombre de paramètres indépendants affecte­
t-il la puissance de la singularité? 91

4.1.3
Notion de codimension. 93

4.2
La catastrophe cusp ..... 94

4.3
La catastrophe queue d'aronde 97

4.4
La catastrophe papillon . . . . 98

4.5
Qu'en est-il des problèmes à plusieurs degrés de liberté? 99

4.6
La catastrophe ombilic hyperbolique. 101

4.7
La catastrophe ombilic elliptique . 102

4.8
La catastrophe ombilic parabolique .. . . 104

4.9
Résumé des sept catastrophes élémentaires 104

4.10
Remarques générales. 104

4.11
Problèmes . 106

4.11.1 Problème: plus de détail sur la catastrophe ombilic hy­perbolique.......................... 106
7 Instabilité paramétrique et autres instabilités 149
7.1 Exemple simple d'une excitation paramétrique.................. 149
7.2 Instabilité sous-harmonique . 150
7.3 Image intuitive de la résonance paramétrique 152
7.4
Équation d'amplitude universelle
au voisinage d'une résonance sous-harmonique 154

7.4.1
Détermination de l'équation non linéaire

à partir des propriétés de symétrie 156

7.5
Instabilité non linéaire. . . . 157

7.6
Accrochage de la phase . . . 158

7.6.1
Forçage non résonant. 159

7.6.2
Forçage résonant . . . 160

7.6.3
Forme de l'équation et symétrie. 161

7.6.4
Accrochage d'ordre supérieur: équation générale obtenue
parlessymétries ................ 161

7.7
Problèmes 164

7.8
Problème: instabilités des harmoniques supérieures,
eteffetdu frottement ..................... .. 164

8 Introduction au chaos 169

8.1
Unexempletypique ..................... 169

8.2
Où l'avenir d'une population dépend d'un seul individu! 170

8.2.1
D'unpointfixesimpleauchaos ........... 172

8.3
Origine et signification de l'application

f(x) = 4ax(1-x) ............ . 173

8.4
Quelle différence entre hasard et chaos? . . . . . . . .. 176

8.5
Quelques commentaires sur la dynamique de populations et
courbelogistique ............. .. 178

8.5.1
Temps continu et temps discret, application retour et sec­tiondePoincaré .................... .. 179

8.6
Approche géométrique de la section
dePoincaré ................... 179

8.7
Attracteursétranges.............. 180

8.8
Les trois scénarios de transition vers le chaos 180

8.9
Transition vers le chaos par cascade
sous-harmonique........................ .. 184

8.10
Transition vers le chaos par un scénario
dequasi-périodicité ........... 184

8.11
Transition vers le chaos par intermittence 186

8.12
Étude détaillée du chaos par cascade
sous-harmonique........................ .. 188

8.12.1
Point fixe de l'application logistique Xn+l = f(xn) =

4axn (1 -xn ) ............. 188

8.12.2
Stabilité des points fixes. . . . . . . 188

8.12.3
Point d'accumulation de la cascade. 191

8.12.4
Diagramme de bifurcation et notion
d'autosimilarité........... 193

8.13
Dimension critique pour obtenir du chaos 193

8.14
ExposantsdeLyapunov . . . . . . . . . . 196

8.14.1
Définition ................ 196

8.14.2
Propriétés des exposants de Lyapunov 197

8.15
Autosimilarité et fractales. 198

8.16
Crises. .......... 202

8.17
Hasard et déterminisme . . 205

8.17.1
L'application tente. 205

8.17.2
Sensibilité de l'application tente aux conditions initiales 207

8.17.3
Jouer à la roulette ou au chaos? 208

8.17.4
Mesure invariante 209

8.18
Lecontrôledu chaos. . . . . . . . . . . 211

Naissance de l'ordre spatial unidimensionnel 213

9.1
Introduction................... 213

9.2
LesystèmedeTuring .............. 215

9.2.1
Image qualitative de l'instabilité de Turing 216

9.3
Analyse de stabilité linéaire du système
deThring ................ 218

9.4
Définition d'une instabilité de Turing . 219

9.4.1
Naissance de l'ordre . . . . . . . 220

9.4.2
Condition de Turing pour la naissance de l'ordre 221

9.5
Introduction de quelques modèles
donnant lieu aux structures de Thring 223

9.5.1
Le modèle de Schnackenberg . 224

9.5.2
Le modèle de Lengyel-Epstein . 225

9.6
Quelles conditions pour obtenir
un inhibiteur qui diffuse suffisamment
rapidement par rapport à l'activateur? 226

9.7
Au-delà de l'instabilité linéaire de Turing 228

9.8
Diverses formes de l'instabilité de Turing
rencontrées dans la nature 229

9.9
Quel est l'impact des structures de Turing sur la morphogenèse
danslanature?........................ .. 231

9.10
Convection de Rayleigh-Bénard 232

9.10.1
Argument heuristique pour la détermination du seuil de
la convection de Rayleigh-Bénard . . . . . . . . . . . .. 235

9.11
Relation de dispersion
pour la convection Rayleigh-Bénard 239

9.11.1
Analyse de stabilité linéaire 242

9.11.2
Rouleaux de convection . 248

10 Universalité au voisinage du seuil 251

10.1
Équation d'amplitude universelle. . . . . . 252

10.1.1
Introduction des échelles multiples . 254

10.1.2
Dérivation de l'équation d'amplitude 257

10.2
Quelques propriétés de l'équation
d'amplitude............................. 259

10.2.1
La forme de l'équation d'amplitude obtenue

à partir des symétries . 259

10.2.2
Les coefficients sont réels: conséquence
de la symétrie d'inversion . 260

10.2.3
Forme canonique et autres formes équivalentes
de l'équation d'amplitude . 260

10.2.4
Dynamique variationnelle de l'équation d'amplitude 261

10.3
Instabilité d'Eckhaus . 263

10.3.1
L'instabilité d'Eckhaus : une instabilité de la phase. 265

10.4
Instabilité d'Eckhaus : mort et création
decellules. ........................ ..... 267

10.5
Quelques remarques sur les instabilités
des structures unidimensionnelles 268

Il Fronts entre domaines 271

11.1
Invasion d'une solution métastable
par une solution stable 273

11.1.1
Notionde front. ............. 273

11.1.2
Analogie avec la mécanique de Newton. 275

11.1.3
Détermination de la vitesse d'invasion
d'une solution métastable par une solution stable 277

11.2
Invasion de la solution instable par une
solutionstable ....................... 279

11.3
L'approximation du front précurseur. . . . . . . . . . . 281

11.3.1
Instabilité de la solution correspondant à v < v* 283

11.3.2
Stabilité marginale 287

11.4
Conclusion ......................... 288

11.5
Problèmes 289

11.5.1
Problème: détermination explicite de la vitesse d'inva­sion d'une solution métastable
parunesolutionstable................. .. 289

12 Ordre et désordre spatial et temporel 291

12.1
Équation d'amplitude à coefficients
complexes . 292

12.1.1
Quelques préliminaires . 292

12.1.2
Dérivation de l'équation d'amplitude

à partir des symétries . . . 295

12.2
Dynamique non variationnelle . 297

12.3
Quelques propriétés de l'équation
d'amplitude complexe . 298

12.3.1
Ondes planes et stabilité .. 298

12.3.2
Instabilité de Benjamin-Feir . 300

12.4
Illustration de la dynamique pour certains cas typiques: analyse
numérique ..................... 301

12.4.1
Ondesplanes ................ 301

12.4.2
Turbulence de phase et turbulence médiée
par des défauts topologiques. . 302

12.4.3
Intermittence spatio-temporelle 305

12.4.4
Les trous de Bekki-Nozaki . . . 305

12.5
Problèmes 306

12.5.1
Problème: équation de Kuramoto-Sivashinsky au voisi­nage de l'instabilité de Benjamin-Feir 306

13 Structures bidimensionnelles 309

13.1
Ordre à deux dimensions . 309

13.1.1
Les différents types d'ordre spatial

à
deux dimensions . . . . . . . 311

13.2
Raison de l'abondance des structures
hexagonales dans la nature . . . . . . . 313

13.2.1
émergence des structures hexagonales:
non-linéarité quadratique et phénomène
derésonance ...... 315

13.2.2
Inhibition des structures hexagonales: cas
de la convection de Rayleigh-Bénard 318

13.3
Forme générale de l'équation d'amplitude

à deux dimensions spatiales . 320

13.3.1
Symétrie hexagonale . 320

13.3.2
Symétrie carrée . 322

13.4
Stabilité des structures en bandes, carrées et hexagonales 323

13.4.1
Stabilité des bandes . 326

13.4.2
Stabilité des hexagones 327

13.4.3
Stabilité des structures carrées 330

13.5
Équation d'amplitude de structures
bidimensionnelles à symétrie hexagonale. 331

13.6
Problèmes . 332

13.6.1
Problème: dérivation formelle
de l'équation d'amplitude . 332

13.6.2
Problème: dérivation de l'équation d'amplitude

à partir de considérations des harmoniques 333

14 Conclusion 335

14.1
Instabilités secondaires . 336

14.2
Structures à deux dimensions et bifurcation de Hopf. 337

14.3
Systèmes non réductibles à une équation
d'amplitude . 338

14.4
Mûrissement des structures hors équilibre 339

14.5
Branches et formes variées en matière
inerteetvivante ............ 340

14.6
Vers une science des systèmes complexes 345

Remerciements 347

Bibliographie 348

Sources des illustrations 355

Index 356


5 Bifurcation de Hopf 109
5.1 L'oscillateur de van der Pol . 109
5.1.1 Discussion qualitative . 112
5.1.2 Étude de la dynamique non linéaire 113
5.1.3 Bifurcation de Hopf . 114
5.1.4 Espace des phases et cycle limite 115
5.2 Le modèle proie-prédateur, un exemple
de dynamique de population . . . . . . 118
5.2.1 Résultats essentiels issus du modèle
Lotka-Voltera (LV) . . . . 118
5.2.2 Un modèle plus réaliste de la dynamique
de populations conduisant à un cycle limite 121
5.3 Réactions chimiques . 124
5.3.1 La loi d'action et de masse . 124
5.3.2 Cinétique de réaction . 125
5.3.3 Équations d'évolution non linéaires. 126
5.3.4 Le Bruxellateur . . . . . . 127
6 Équation d'amplitude pour une bifurcation de Hopf 129
Dérivation de l'équation d'amplitude6.1
complexe . 129
6.1.1 Analyse multi-échelle . 130
6.1.2 Condition de solubilité ou de solvabilité 134
6.1.3 Quelques précisions utiles sur l'équation
d'amplitude . 137
6.1.4 Dérivation de l'équation d'amplitude
à partir des symétries . 138
6.1.5 Propriétés de l'équation d'amplitude complexe 138
Cycle limite instable .6.2 140
Précisons davantage la notion de cycle limite ..6.3 142
Problèmes .6.4 142
6.4.1 Problème: solution dépendante du temps
de l'équation d'amplitude complexe . 142
Problème: dérivation de l'équation d'amplitude com­6.4.2
plexe pour le modèle « Bruxellateur» . 144