Les mathématiques de la physique quantique

Sommaire et contenu du livre "Les mathématiques de la physique quantique"

Table des matières Préambule Notations ix 1 Notions de probabilités 1 1.1 Lois de probabilités ................... 1 vü 1.1.1 Fréquenceetprobabilité . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Exemples élémentaires de lois de probabilités 2 1.1.3 Lois de probabilités sur 'R ou 'Rn ........ 2 1.2 Variablesaléatoires ................... 4 1.2.1 Exemples de calcul de lois de variables aléatoires 4 1.2.2 Probabilités conditionnelles . . . . . 5 1.2.3 Indépendance de variables aléatoires 6 1.3 Loi binomiale. Marches aléatoires . . . . . . 7 1.3.1 Loibinomiale............. 7 1.3.2 Approximation normale de la loi binomiale. 7 1.4 Valeursmoyennes ......... 8 1.4.1 Valeur moyenne ..... 9 1.4.2 Écart quadratique moyen la 1.4.3 Variable centrée réduite . 10 1.4.4 Inégalité de Bienaymé Tchebycheff la 1.4.5 Fonctionerreur. . . . . . . . . . . 11 1.4.6 Coefficient de corrélation. . . . . . 12 1.5 Sommes de variables aléatoires indépendantes. 12 1.5.1 Formuleduproduit . . . . . . . . . . 12 1.5.2 Variance d'une somme de v.a. indépendantes 12 1.5.3 Loidesgrandsnombres . . . . . . . . . . 13 1.6 Vérification expérimentale d'une loi de probabilité 14 1.7 Exercices . 15 2 « Fonction» cS -Distributions 17 2.1 Distribution de Dirac ou « fonction» cS 17 2.1.1 Fonction cS .•.. ••••.. • 17 2.1.2 Propriétés de cS(x) ..••..• 18 2.1.3 Exemples de fonctions tendant vers cS 18 2.2 Distributions . 19 2.2.1 L'espace de base S de Schwartz 20 2.2.2 Fonctionnelles linéaires . 20 2.2.3 Exemples . 20 2.2.4 Dérivation d'une distribution 21 2.2.5 Produit de convolution. 23 2.3 Exercices . 23 3 Transformation de Fourier 25 3.1 Définition . 25 3.1.1 L'intégrale de Fourier . 25 3.1.2 Transformée de Fourier d'une gaussienne. 26 3.2 Inversion de la transformation de Fourier . . . . . 26 3.2.1 Transformation inverse . 26 3.2.2 Isométrie: théorème de Parseval-Plancherel 27 3.2.3 Dérivation............. 28 3.2.4 Relations d'incertitude . 29 3.2.5 Fonctions de r, distance à l'origine 31 3.3 Transformée de Fourier d'une distribution 32 3.3.1 Définition . 32 3.3.2 Transformée de Fourier d'un produit de convolution. 33 3.3.3 Dérivée d'un produit de convolution. Équation de Poisson. 34 3.3.4 Table succincte de transformées de Fourier 35 3.4 Exercices . 35 4 Espace de Hilbert 39 4.1 L'espacede Hilbert ............ 39 4.1.1 Espace hermitien de dimension 2 40 4.1.2 Fonctions de carré sommable . . 40 4.2 Formalisme de Dirac, vecteurs et opérateurs. 43 4.2.1 Vecteurs, « Kets» .. 43 4.2.2 Espace dual, « Bras» 44 4.2.3 Base hilbertienne . . 44 4.3 Opérateurs . 45 4.3.1 Éléments de matrice 45 4.3.2 Adjoint d'un opérateur . 45 4.3.3 Opérateur hermitien ou autoadjoint 46 4.3.4 Règles de syntaxe . 46 4.3.5 Projecteurs; décomposition de l'identité .... 46 4.3.6 Propriétésalgébriques . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3.7 Opérateurs unitaires; transformations unitaires 48 4.4 Vecteurs propres et valeurs propres, spectre . . . . . . . 49 4.4.1 Vecteurs propres et valeurs propres d'une observable . 49 4.4.2 Résultats de la mesure de la grandeur A 50 4.4.3 Probabilités . 51 4.4.4 Théorème spectral (version simplifiée) 52 4.5 Opérateurs en dimension infinie . 52 4.5.1 Domaine d'un opérateur . 53 4.5.2 Opérateurs bornés . . . . 53 4.5.3 Opérateurs non-bornés . 55 4.5.4 Bases continues; Distributions propres 55 4.5.5 Spectre d'un opérateur autoadjoint . 58 4.5.6 Théorème spectral de Frédéric Riesz. 60 4.5.7 Curiosités et pathologies . 60 4.6 Représentations matricielles . . . . . . . . . 61 4.6.1 Représentation sur une base discrète 61 4.6.2 Exemple: fonctions orthogonales .. 62 4.6.3 Représentation sur une base continue 63 4.7 Ensemble complet d'observables qui commutent 64 4.8 Structure de l'espace de Hilbert 66 4.8.1 Produits tensoriels d'espaces ... 66 4.8.2 L'espace de Hilbert d'un système 67 4.8.3 Propriétés du produit tensoriel . 67 4.8.4 Opérateurs dans l'espace produit tensoriel 67 4.8.5 Exemples simples . 68 5 Fonctions spéciales; harmoniques sphériques 71 5.1 Fonctions d'Hermite . 71 5.1.1 Polynômesd'Hermite ............. 71 5.1.2 Fonctions propres de ('oscillateur harmonique 72 5.2 Harmoniques sphériques . 72 5.2.1 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . 72 5.2.2 Fonctions propres de F et Lz ; Harmoniques sphériques 74 5.3 Polynômes de Laguerre; atome d'hydrogène . 76 5.3.1 Polynômes de Laguerre . 76 5.3.2 Fonctions propres des atomes hydrogénoïdes 77 Index 79