Les objets fractals
Forme hasard et dimension

Sommaire et contenu du livre "Les objets fractals - Forme hasard et dimension"

Préfaces 1
1• Introduction 5
Où Jean Perrin évoque des objets familiers de forme irrégulière ou brisée· P S: l'ordre euclidien et l'ordre tractaI. Concepts proposés en salullon: dimensions effectives. lioures et dimensions fractales . Délibérément. cet essai mélange la vulgarisation et le travail de recherche
Il • Combien mesure donc la côte de la Bretagne? 20
la diversité des méthodes de mesure, Données empiriques de lewis Fry Richardson. Premiéres formes de la dimension fractale· Dimension (fractale) de oontenu Vers la dimension de Hausdortf·Besioovitch ' Deux nolions intuitives essentielles: Homothétie interne et cascade. Modèle trés grossier de la cOte d'une île: la courbe en llooon de neige de von Koch ' le ooncept de dimension d'homothétie 0. courbes fractales telles que 1 < D < 2 . le problème des points doubles. la oourbe de Peano, qui remplit le plan . Dimension d'homothétie généralisée, Sens physique des dimensions fractales. lorsque l'on se refuse au passage à la limite Coupures interne et externe
III· Le rôle du hasard 43
Utilisation du hasard pour améliorer le modèle de cOte constitué par la courbe de von Koch, Hasard simplement invoqué et hasard pleinement déçrit . Traînée du mouvement brownien. Ce n'est pas un modèle acceptable d'une cOte. la nolion de hasard primaire
IV· Les erreurs en rafales 50
la lèlélransmission des données Un modèle grossier des rafales d'erreurs: la poussière de Cantor, une fractale de dimension oompllse entre 0 et 1 . Nombre moyen d'erreurs dans le modèle cantorien . Poussière de Cantor tronquée et randonisée, conditionnellement stationnaire· Poussière de lévy, obtenue à partir de la droite en rognant dies 'trémas' au hasard
V. Les cratères de la Lune 65
VI· La distribution des galaxies 72
La densité globale des galaxies· Sommaire du Chapitre vi . L'univers hiérarchique strict de Fournier Univers de Charier. il dimension effective indéterminée dans un intervalle· Paradoxe du ciel en feu. dit d'Olbers Justification de 0 = 1 par Fournier . Cascade de Hoyle juSlification de 0 = 1 par le critère de stabilité de Jeans . Principes cosmologique et cosmographique Principe cosmographique conditionnel. Postulat additionnel. que la densilé globale de la matière est non·nulle . Conséquences de ces divers principes . Digression au sujet des sites d'arrêt du vol de Rayleigh et de la dimension 0 ~ 2 . Un concept généralisé de densité Remarque sur l'expansion de l'univers . L'univers semé: un nouveau modêle de la distribution des galaxies. Sites d'arrêt d'un vol de Lévy Les galaxies comme poussière fractale de dimension 0 < 2 . Comparaison avec les erreurs de téléphone . Univers fractals obtenus par agglutinations successives
VII· Modèles du reliel terrestre 102
Préflminaires: Randonnées sans boucle Effet de Noé et effet de Joseph. Mouvements browniens fractionnaires· Modèle brownien du reUef terrestre et structure des rotes océaniques . Modèle brownien fractionnaire du relief . Superficies projectives des nes . Le problème des superlicies des lacs . Modèle fractal des rives d'un bassin fluvial
VIII· La géométrie de la turbulence 124 Comment distinguer entre le turbulent et le laminaire dans l'atmosphère? . La cascade de Novikov-Stewart . Comportement de la dimension fractale par intersection. .Constructions de Cantor dans plUSleurs dimensions. Ensembles spatiaux statistiques il la Cantor. Les singularités des équations de Nallier-stokes sont-elles fractales? Ce tait va·f·i1. enfin, permettre de les résoudre?
IX • Intermittence relative 135 Définitions des deux degrés d'intermittence . Mesure fractale muhinomiale . Généralisations aléatoires de la mesure muhinomiale
X • Savons, et les exposants critiques comme dimensions _, , 140 Préliminaire: bourrage des triangles. Un modèle du savon basé sur le
bourrage apollonien des cercles
XI • Arrangements des composants d'ordinateur 144
XII • Arbres de hiérarchie ou de classement et la dimension 147 Arbres lexicographiques. et la loi des fréquences des mots
(Zipf.Mandelbrot) . Arbres de hiérarchie, et la distribution des revenus salariaux (loi de Pareto)
XIII· Lexique de néologismes 153
Amassement . Ëchelonné . Fractal. Fractale· Dimension fractale. Ensemble fractal . Fractaliste . Objet fractal . Poussière . Randon . A randon . Randon brownien . Randon de zéros brownien . Randon de Lévy . Randon de zéros de Lévy. Randoniser . Randonnée· Randonnée de Bernoulli. Randonnée brownienne· Randonner. Scalant . Tamis. Traînée et chronique. Tréma·
XIV· Appendice mathématique 159
Les fractales ont-elles besoin d'étre définies mathématiquement?
Mesure de Hausdorff et dimension de Hausdorff·Besicovitch. une
dimension fractale de contenu . Mesure de Hausdorff·BesicovilCh dans
la dimension 0 . Dimensions (fractales) de recouvrement· Contenu de
Minkowski· Dimensions (fractales) de concenlration pour une mesure
(Mandelbrot) Dimension topoloOiQue . Variables aléatoires
Lévy·stables . Vecteurs aléatoires Lévy-stables La muMude des
fonctions browniennes
XV· Esquisses biographiques 170
Louis Bachelier: 11/:Y1870 -28/411946 .
Edmund Edward Fournier d'Albe: 1868·1933·
Paul Lévy: 1519/1886 -5112/1971 .
Lewis Fry Richardson: 11/10/1881 -30/9/1953·
George Kingsley Zipf: 7/1/1902 -2519/1950

XVI· Remerciements et coda .' .. 182
• Bibliographie 184