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Lois d'échelle, fractales et ondelettes Vol 1
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Lois d'échelle, fractales et ondelettes  Vol 1 - hermès / lavoisier - 9782746204096 -
Lois d'échelle, fractales et ondelettes Vol 1 

Dans de nombreuses sciences, on est habitué à conduire l'étude d'un système, d'un signal, à partir de la recherche d'échelles (d'espaces, de temps) caractéristiques. On les utilise alors comme références, unités ou étalons servant à exprimer toutes les autres mesures. Le physicien, par exemple, s'appuie sur plusieurs types d'échelles de temps (la période, la taille d'une structure, le taux de croissance d'un transitoire). Le traiteur du signal, lui, identifie souvent une longueur de corrélation, pour utiliser comme ingrédient essentiel dans l'analyse de données que deux échantillons (ou bloc d'échantillons) séparés de plusieurs longueurs de corrélation peuvent être considérés comme sans liaison statistique. La notion d'invariance d'échelle s'appréhende comme la négation de cette démarche, comme une non-propriété : l'absence d'échelle caractéristique. En d'autres termes, on ne peut pas identifier dans le système ou le signal étudié des échelles jouant un rôle spécifique : on doit considérer que toutes les échelles interviennent simultanément. C'est cette 'non-propriété' que l'on nomme couramment phénomène d'invariance d'échelle, comportement en loi d'échelle ou simplement loi d'échelle, sans chercher à être plus précis, et qui est communément désignée de façon très économique en anglais par scaling. Un renversement de perspective permet également d'envisager l'invariance d'échelle comme la signature de l'existence d'une organisation forte dans les données ou les systèmes. En physique, par exemple, les propriétés d'invariance et de quantités conservées rendent compte, de façon fondamentale, de la structure des systèmes.


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Descriptif : 

Reliure :
Relié
Nbr de pages :
272
Dimension :
16 x 24
Poids :
580 gr
ISBN 10 :
2746204096
ISBN 13 :
9782746204096
98,00 €
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Avis clients sur Lois d'échelle, fractales et ondelettes Vol 1 - hermès / lavoisier - Traité IC2 Série Traitement du signal et de l'image

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Sommaire

Table des mati?s
Avant-propos .......................... 15

Patrice ABRY, Paulo GON?LV?, Jacques L?y V?EL
Chapitre 1. Analyse fractale et multifractale en traitement des signaux 19

Jacques L?y V?EL et Claude TRICOT
1.1.Introduction.................... 19

1.2.
Dimensions d'ensembles 20

1.2.1.
La dimension de Minkowski-Bouligand . 21

1.2.2.
Dimension d'empilement. . . . . . 26

1.2.3.
Dimension de recouvrement .... 27

1.2.4.
M?odes de calcul des dimensions 29

1.3.Exposantsde
Holder............ 33

1.3.1.
Exposant de HoJder relatif ?ne mesure. 33

1.3.2.
Th??s sur les dimensions d'ensembles. 34

1.3.3.
Exposant de Holder relatif ?ne fonction . 36

1.3.4.
Th??s sur les dimensions de signaux. . 42

1.3.5.
Analyse 2-microlocale. . . . . . . . . . . . . 44

1.3.6.
Un exemple d'application: l'analyse d'un cours boursier 46

1.4.Analysemultifractale
...................... 48

1.4.1.
Pourquoi introduit-on l'analyse multifractale? . . . . . . 48

1.4.2.
Premier ingr?ent: les mesures de la r?larit?ocale . 49

1.4.3.
Deuxi? ingr?ent: la taille des ensembles de points de m?
r?larit?............................. .. 50

1.4.4.Calculpratiquedes
spectres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52

1.4.5.
Raffinements: analyse de suite de capacit? analyse mutuelle et
multisingularit?.................... 60

1.4.6.
Les spectres multifractals de certains signaux simples . . . . . .. 62

1.4.7.
Deux exemples d'application 66

1.5.
Bibliographie . 68

Chapitre 2. M?odes d'ondelettes pour l'analyse multifractale
defonctions ............................... 71

St?ane JAffARD

2.1.Introduction.
................. 71

2.2.
G?ralit?sur les fonctions multifractales 73

2.2.1.
Quelques d?nitions . 73

2.2.2.
OndeJettes et r?larit?onctuelle 75

2.2.3.
Oscillations locales . 80

2.2.4.
Compl?nts . 84

2.3.
Processus al?oires multifractals . 85

2.3.1.
Processus de L? . 85

2.3.2.
Equation de Burgers et mouvement brownien. 88

2.3.3.
S?es d'ondelettes aJ?oires . 90

2.4.
Formalismes multifractals . 91

2.4.1.
Espaces de Besov et lacunarit?2

2.4.2.
Construction de formalismes . 94

2.5.
Majorations du spectre . 97

2.5.1.
Majoration en fonction du domaine de Besov. 97

2.5.2.
Majorations en fonction des histogrammes 100

2.6.
Le formalisme multifractal grand-canonique lOI
2.7.
Bibliographie . 102

Chapitre 3. Champs localement autosimilaires 107

Serge COHEN

3.1.Introduction.
.......................... 107

3.2.
Rappel sur deux repr?ntations du brownien fractionnaire 109

3.2.1.
Espace autoreproduisant. . . . . . . . . . . . . . 109

3.2.2.
Repr?ntation harmonisable . . . . . . . . . . . . . . III

3.3.
Deux exemples de champs localement autosimilaires . . . 115

3.3.1.
D?nition de l'autosimilarit?ocale asymptotique (LASS) JJ5
3.3.2.Bruitsblancsfiltr?FWN)
............. 116

3.3.3.
Champs gaussiens elliptiques (EGRP) . . . . . . . . . . . . 117

3.4.
Champs multifractionnaires et r?larit?rajectorielle . . . . . . 121

3.4.1.
Deux repr?ntations du mouvement brownien multifractionnaire
(MBM) 121

3.4.2.
Etude de la r?larit?es trajectoires du mouvement brownien
multifractionnaire ......................... .. 123

3.4.3.
Vers plus d'irr?larit? le mouvement brownien multifraction­naire g?ralis?GMBM) et par morceaux (SMBF) 125

3.5.Estimation
deJar?larit?...................... .. 129

3.5.1.
M?ode g?rale: variation quadratique g?ralis?129

3.5.2.
Application aux exemples. 131

3.6.Bibliographie
................. 138

Chapitre 4. Introduction au calcul fractionnaire 141

Denis MATIGNON

4.1.
Introduction. . . 141

4.1.1.
Motivations 141

4.1.2.
Probl?s. 142

4.1.3.
Plan . . . . 143

4.2.
D?nitions ... 145

4.2.1.
Int?ation fractionnaire. 145

4.2.2.
D?vation fractionnaire au sens des distributions causales 146

4.2.3.
D?vation fractionnaire douce, au sens de Caputo 151

4.3.
Equations diff?ntielles fractionnaires 155

4.3.1.Exemple........................ 156

4.3.2.
Cadre des distributions causales . . . . . . . . . . 158

4.3.3.
Cadre des fonctions d?loppables en s?e fractionnaire 159

4.3.4.
Comportement asymptotique des solutions fondamentales 161

4.3.5.
Syst?s dynamiques lin?res command?observ?d'ordre
fractionnaire 164

4.4.
Structure diffusive des syst?s diff?ntiels fractionnaires . . 167

4.4.1.
Introduction aux repr?ntations diffusives d'op?teurs
pseudo-diff?ntiels ............. 168

4.4.2.
R?ltat g?ral de d?mposition . . . . . . . . . . . . . 169

4.4.3.
A propos de la notion de m?ire longue. . . . . . . . . 170

4.4.4.
Cas particulier des syst?s diff?ntiels fractionnaires d'ordres
commensurables ..................... 171

4.5.
Exemple d'?ation aux d?v? partielles fractionnaires. 172

4.5.1.
Probl? physique consid?. 172

4.5.2.
Cons?ences spectrales . 173

4.5.3.
Cons?ences temporelles 174

4.5.4.
Probl? libre 177

4.6.
Conclusion . 178

4.7.
Bibliographie. . . . 179

Chapitre 5. Synth? fractionnaire -filtres fractionnaires 183

Liliane BEL, Georges OPPENHEIM, Luc ROBBIANO, Marie-Claude VIANO

5.1.
Questions classiques et moins classiques sur les fractionnaires 183

5.1.1.Remarqueterminologique.
.................... 183

5.1.2.Lam?irecourte
etlongue ................... 184

5.1.3.
Des puissances enti?s vers les puissances non enti?s: fabri­quer des trajectoires en utilisant des filtres 184

12 Lois d'?elle, fractales et ondelettes 1
5.104.
Les propri?s locales et globales. . . . . . 185

5.2.
Les filtres fractionnaires. . . . . . . . . . . . . . 186

5.2.1.
Propri?s g?rales souhait?: montages 186

5.2.2.
Techniques de construction et d'approximation. 187

5.3.
Processus fractionnaires ?emps discret . . . . . . . . 189

5.3.1.
Filtres: r?nses impulsionnelles et processus associ?189

5.3.2.
Propri?s de m?ire et de m?nge 191

5.3.3.
Estimation des param?es. . . . . . 192

5.304.
Exemple simul?94

SA.
Processus fractionnaires ?emps continu . 195

504.1.
Une famille non autosemblable: les fractionnaires associ?aux
fi Itres 195

5.4.2.
Les propri?s des trajectoires: r?larit?ocale et globale,
m?ire............................ 198

5.5.Processusdistributions.
...................... 199

5.5.1.
Motivation et g?ralisation des processus distributions . 199

5.5.2.
La famille des processus distributions lin?res. 200

5.5.3.
Les processus distributions fractionnaires 201

5.504.
Propri?s de m?nge et de m?ire 202

5.6.Bibliographie................... 203

Chapitre 6. Syst?s de fonctions it?es et applications en traitement
d'images ...................................... .. 207

Franck DAVOINE et Jean-Marc CHASSERY

6.1.
Introduction , 207

6.2.
Les syst?s de transformations it?es (IFS). . . . . . . . . . . . . .. 208

6.2.1.
Transformations contractantes et syst?s de transformations it?? 208

6.2.2.
Attracteur d'un syst? de transformations it?es. 209

6.2.3.
Th?? du collage. . . . . . . . . . . 211

6.2.4.
Transformation finalement contractante 212

6.2.5.
Attracteurs et mesures invariantes . . . 213

6.2.6.
Probl? inverse. . . . . . . . . . . . . 214

6.3.
Application au traitement d'images naturelles: le codage d'images 214

6.3.1.Introduction.
....................... 214

6.3.2.
Codage d'images naturelles par fractales . . . . . . . 216

6.3.3.
Formulation alg?ique de la transformation fractale. 219

6.3.4.
Exp?mentation sur des partitions triangulaires .. 225

6.3.5.
Acc?ration du codage et du d?dage . . . . . . . 228

6.3.6.
Autres sch?s d'optimisation: m?odes hybrides 234

6.4.Bibliographie
......................... 236

Chapitre 7. La recherche de lois d'?elle sur les variations boursi?s 241

Christian WALTER

7.1.
Introduction: les fractales en finance. . . . . . . . . . . . . . . . 241

7.2.
La pr?nce des ?elles dans l'?de des variations boursi?s. 244

7.2.1.
La mod?sation des variations des march?boursiers . . . 244

7.2.2.
Les ?elles de temps dans la mod?sation financi? . . . 249

7.3.
Les mod?sations postulant J'ind?ndance des rentabilit?boursi?s 251

7.3.1.
1960-1970: de la loi de Pareto aux distributions de L? . . . .. 251

7.3.2.
1970-1990: les difficult?exp?mentales du mod? IID-a-stable 253

7.3.3.
Mod?s IID non stables ?nvariance d'?elle partielle. . . . .. 257

704. La recherche de d?ndances et la m?ire des march?. . . . . . .. 259

704.1.
D?ndance lin?re: les essais du mod? H -corr? sur les ren­
tabilit?............................... .. 259

704.2.
D?ndance non lin?re: validation du mod? H-corr? sur les
volatilit?............................ 262

7.5.
Perspective: vers une red?uverte des lois d'?elle en finance 263

7.6.Bibliographie............................. 264

?71