Mathématiques BCPST - VETO 2e année - ellipses - 9782729863487 -
Mathématiques BCPST - VETO 2e année 

Mathématiques BCPST - VETO 2e année
Cours - Problèmes - Exercices - Informatique (MatLab, Maple)

Cet ouvrage est la suite du livre de BCPST-VETO 1re année, paru aux éditions Ellipses en 2006 ; il correspond au programme 2003 des CPGE du type BCPST-VETO 2e année. Il peut être également utilisé par d'autres CPGE notamment celles du type EC et par les étudiants en licence scientifique, en institut universitaire technologique, ou dans le [...]
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Auteur : 

Editeur : Ellipses

Date parution :

Reliure :
Broché
Nbr de pages :
788
Dimension :
16.5 x 24 x 4.3 cm
Poids :
1292 gr
ISBN 10 :
2729863486
ISBN 13 :
9782729863487
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Quel est le sujet du livre "Mathématiques BCPST - VETO 2e année"

Cet ouvrage est la suite du livre de BCPST-VETO 1re année, paru aux éditions Ellipses en 2006 ; il correspond au programme 2003 des CPGE du type BCPST-VETO 2e année.

Il peut être également utilisé par d'autres CPGE notamment celles du type EC et par les étudiants en licence scientifique, en institut universitaire technologique, ou dans le cadre d'une formation continue ou en alternance, ainsi que pour la préparation de certains concours du niveau Bac +2.

Il correspond aux trois parties du programme:

  • Algèbre linéaire
  •  Géométrie Analyse
  • Probabilités

et est composé de vingt chapitres. Quelques compléments et révisions indispensables sont donnés, notamment en trigonométrie et nombres complexes, ainsi qu'un complément de statistique descriptive à deux variables et d'estimation utile pour les TIPE.

Pour être au plus près des objectifs des CPGE, nous avons, après chaque définition et théorème essentiel, donné de nombreux exercices issus des concours. Nous rappelons que les épreuves des concours portent sur les deux années et que la maîtrise de la 1re année est essentielle, ce qui justifie les multiples références au cours de 1re année.

Les problèmes de révision proposés sont soit des sujets de concours, soit des sujets originaux dans l'esprit actuel des concours.
Plusieurs exercices comportent de l'algorithmique et de l'informatique. Ils correspondent à des questions classiques d'écrit ou d'oral.

Pour optimiser la rapidité et l'efficacité de la recherche des étudiants, nous avons donné une place importante à la table des matières et à l'index contenant plus de 500 entrées.

Nous avons donné en annexe les programmes officiels de Mathématiques de 2003 de BCPST.

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Sommaire et contenu du livre "Mathématiques BCPST - VETO 2e année - Cours - Problèmes - Exercices - Informatique (MatLab, Maple)"

Table des matières 1 Algèbre Linéaire 1 1 Nombres complexes -Polynômes 3 1.1 Le corps des nombres complexes 3 1.La Rappels et compléments 3 1. Lb Le corps des complexes 4 1.1.c Conjugué ........ 6 1.1.d Définition géométrique . 10 1.Le Racine nème d'un nombre complexe. 11 1.2 Polynômes .............. 19 1.2.a Trigonométrie et polynôme 20 1.2.b Zéros d'un polynôme .... 21 1.2.c Factorisation dans C ou dans lR . 24 1.3 Compléments sur les angles ... 26 1.4 Pentagone -QCM ........ 29 1.5 Nombres complexes et polynôme 35 2 Calcul Matriciel -Suites 41 2.1 Matrice à coefficients dans OC ........... 41 2.1.a Structure d'espace vectoriel des matrices. 41 2.1.b Produit de deux matrices 41 2.1.c Matrices qui commutent . 42 2.1.d Puissance rème d'une matrice 46 2.2 Transposition .. 54 2.2.a Définition 54 2.2.b Transposée d'une somme 54 2.2.c Transposée d'un produit. 55 2.2.d Matrices symétriques et anti-symétriques 55 2.3 Carré magique ........ ........... 64 3 Systèmes d'équations linéaires 67 3.1 Technique du pivot de Gauss 67 3.2 Résolution des systèmes linéaires 70 3.3 Matrices inversibles. . 74 3.4 Méthode du simplexe 86 VI Table des matières 4 Espaces vectoriels 97 4.1 Introduction.......... 97 4.1.a Définition et exemples 97 4.1.b Sous espaces vectoriels 99 4.1.c Sous espaces vectoriels supplémentaires 102 4.2 Familles de vecteurs. Bases 104 4.2.a Equation fondamentale 104 4.2.b Bases d'un espace vectoriel . . . . . . . 105 4.2.c Matrice d'une famille. Rang d'une famille 111 4.2.d Caractérisation des bases 115 4.3 Changementdebase . . . . . . . . . . 119 4.3.a Introduction 119 4.3.b Matrice de changement de base 119 4.3.c Réduite de Gauss -Jordan 133 4.4 PolynômesdeGrégory . . . . . . . . . 139 4.5 Somme directe de sous espaces vectoriels. 143 5 Applications linéaires 155 5.1 Définitions...................... 155 5.1.a Applications linéaires 155 5.1.b Espace vectoriel des applications linéaires 157 5.1.c Imageetnoyau............ 157 5.1.d Injectivité, surjectivité, bijectivité . 162 5.1.e Composition d'applications linéaires 164 5.U Projecteur et symétrie. . . 170 5.1.g Groupe linéaire. . . . . . . 173 5.2 Matrice d'une application linéaire. 174 5.2.a Définition.......... 174 5.2.b Espace vectoriel des matrices 175 5.2.c Equation de lm tp et de ker tp. 175 5.2.d Produit de deux matrices 183 5.3 Endomorphismes . . . . . . . 184 5.3.a Inverse d'une matrice .. 186 5.3.b Matrices semblables . . . 187 5.3.c Application à la puissance nème d'une matrice. 191 6 Réduction des matrices 197 6.1 Valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme 199 6.1.a Définitions 199 6.1.b Propriétés.............. 203 6.2 Valeurs et vecteurs propres d'une matrice 206 6.2.a Définitions 206 6.2.b Valeurs propres d'une matrice d'ordre 2 ou 3 207 6.2.c Valeurs propres d'une matrice d'ordre n 210 6.2.d Propriétés................. 215 6.3 Réduction d'une matrice ou d'un endomorphisme 230 6.3.a Diagonalisation............ 233 6.3.b Trigonalisation ou triangulation. . . 245 6.3.c Propriétés de la trace d'une matrice 253 6.3.d Utilisation des hyperplans stables. 255 6.4 Puissance nème d'une matrice . . . . . 263 6.5 Matrices stochastiques . . . . . . . . . 273 6.6 Parties stables par un endomorphisme 288 7 Espaces euclidiens 301 7.1 Définitions . 301 7.1.a Produit scalaire .. 301 7.1.b Base orthonormale 304 7.1.c Orthogonalisation de Gram -Schmidt 304 7.2 Plan euclidien orienté .... 313 7.2.a Déterminant d'ordre 2 313 7.2.b Base orthonormale .. 313 7.3 Espace usuel euclidien orienté 320 7.3.a Produits scalaire et vectoriel 320 7.3.b Base orthonormale directe .. 321 7.3.c Matrices symétriques réelles et diagonalisation 334 7.3.d Matrices orthogonales . . . . 337 7.3.e Changement de repère affine 342 7.4 Leloran ................ 358 II Analyse 365 8 Fonctions d'une variable réelle 367 8.1 Polynômes . 367 8.1.a Arithmétique des polynômes 367 8.1.b Zéros d'un polynôme ..... 368 8.1.c Espace vectoriel des polynômes 371 8.2 Suites . 373 8.2.a Suite itérée . . . 373 8.2.b Suites adjacentes 378 8.2.c Suites linéaires 381 8.2.d Compléments 390 8.3 Fonctions . . . . 392 8.3.a Limites .. 392 8.3.b Coniques . 393 8.3.c Continuité. 397 VIn Table des matières 8.3.d Formule des accroissements finis ... 400 8.3.e Fonctions trigonométriques et inverses 401 8.4 Développements limités ... 404 8.5 Logarithmes et exponentielles 406 8.6 Méthodes numériques .... 416 8.7 Dl de tangente hyperbolique. 423 9 Calcul intégral 429 9.1 Intégrale impropre . 429 9.1.a Fonction définie presque partout . 429 9.1.b Convergence ou divergence d'une intégrale impropre 430 9.1.c Quelques critères de convergence 442 9.1.d Convergence absolue . 445 9.1.e Compléments d'oral . 447 9.2 Valeurs approchées d'une intégrale 454 Il!. Equations différentielles 461 10.1 Compléments . 461 10.1.a Equations différentielles linéaires . 461 10.1.b Equations différentielles non linéaires. 471 lü.1.c Boucle respiratoire ... 473 10.2 Noyau et équation différentielle 479 10.3 Système différentiel linéaire 483 11 Séries numériques 493 11.1 Définitions et propriétés générales. 493 l1.1.a Série numérique . 493 Il.1.b Série géométrique. . . . . . 495 l1.1.c Propriétés des séries numériques 496 11.2 Séries à termes positifs . 497 11.3 Séries à termes réels . 504 Il.4 Développement limité et série 516 11.4.a Introduction ..... 516 11.4.b Exemples fondamentaux 516 12 Fonctions de plusieurs variables 519 12.1 Domaines de lR.n . 519 12.1.a Distance dans lR.n . 519 12.1.b Boules et pavés de lR.n 520 12.1.c Domaine simple de lR.n 521 12.1.d Changement de variable dans un domaine 524 12.2 Fonctions de lR.n dans lR.P• 525 12.3 Continuité . . . . . 526 12.4 Dérivées partielles .... 528 12.4.a Définitions ..... 529 12.4.b Interversion . . . . . 531 12.4.c Fonctions composées 533 12.4.d Fonctions homogènes. 537 12.5 Différentiation 539 12.5.a Accroissement total 539 12.5.b Formule de Taylor . 539 12.5.c Différentielles . . . . 540 12.5.d Forme différentielle de degré 1 541 12.5.e Changement de variable dans une différentielle 544 12.6Analysevectorielle ............. 546 12.6.a Champ scalaire et champ vectoriel 546 12.6.b Gradient. . 549 12.6.c Rotationnel ............ 549 12.6.d Divergence 550 12.6.e Circulation d'un champ vectoriel 551 13 Calcul d'aires et de volumes 553 13.1 Intégralesdoubles. . . . . . . . . . . . . 553 13.l.a Définition d'une intégrale double 553 13.l.b Propriétés . 557 13.2 Calcul d'aires et de volumes . 558 13.2.a Aire d'une surface plane . 558 13.2.b Changement de variable dans une intégrale double 561 13.2.c Formule de Green -Riemann 564 13.2.d Intégrale double impropre 566 13.3 Intégrales triples . 568 III Probabilités 571 14 Variables aléatoires discrètes finies 573 14.1 Fonction de transfert . 573 14.2 Ensemble -Analyse combinatoire 573 14.3 Introduction aux probabilités 575 14.4 Loi binomiale . 592 14.5 Couple de variables aléatoires 594 14.6 Loi hypergéométrique 601 14.7 Fonction génératrice 602 14.7.a Définition . 602 14.7.b Propriétés . 603 14.7.c Fonction génératrice des lois usuelles 605 14.7.d Cas particulier 607 14.8 Problème de révision . 610 Table des matières 15 Variables aléatoires discrètes dénombrables 15.1 Introduction .... 15.2 Loi géométrique. . 15.2.a Définitions 15.2.b Moments . 15.2.c Fonction génératrice 15.3 Loi de Pascal et loi binomiale négative 15.3.a Loi de Pascal . 15.3.b Loi binomiale négative. 15.4 Loi de Poisson . 15.4.a Processus de Poisson. . 15.4.b Définition et représentation 15.4.c Moments. . . 15.4.d Valeurs modales . 15.4.e Somme de deux lois de Poisson 15.4.f Fonction génératrice de Poisson . 15.5 Résumé des v.a.d . 16 Densités de probabilités 16.1 Généralités . 16.1.a Variable aléatoire absolument continues 16.1.b Représentation 16.1.c Moments 16.2 Loi uniforme . 16.2.a Définition . 16.2.b Représentation de la loi uniforme. 16.2.c Moments 16.3 Loi exponentielle . 16.3.a Définition . 16.3.b Représentation de la loi exponentielle 16.3.c Moments . 16.4 Loi normale . 16.4.a Calcul de l'intégrale de Laplace -Gauss 16.4.b Définitions et propriétés ..... 16.4.c Représentation de la loi normale 16.4.d Loi normale centrée réduite 16.4.e Calculs pratiques ..... 16.5 Changement de variable aléatoire 16.6 Compléments . 16.6.a Loi log -normale . 16.6.b Loi du t de Student -Fisher. 16.6.c Informatique 16.7 Résumé des v.a.c . 623 623 625 625 626 627 633 633 637 646 646 646 648 648 648 653 654 655 655 655 659 660 662 662 663 663 664 666 666 667 668 669 674 675 675 677 679 687 687 689 692 694 17.1Introduction........... 695 17.2 Densité de probabilité dans]Rn 695 17.2.a Fonction de répartition 695 17.2.b Fonction densité . . . . 695 17.3 Couple de variables aléatoires à densité 697 17.3.a Densité d'un couple 697 17.3.b Moments 697 17.3.c Lois de probabilités marginales . 698 17.3.d Variables aléatoires indépendantes 700 17.3.e Fonction de répartition 705 17.3.f Produit de convolution. . . . . . . 710 17.3.g Somme de variables aléatoires normales 713 18 Théorèmes limites 721 18.1 Convergence en probabilité . 721 18.1.a Inégalités de Markov et de Bienaymé -Tchebichev 721 18.1.b Loi faible des grands nombres. 722 18.2 Convergence en loi . 732 18.2.a Définitions . 732 18.2.b Propriété caractéristique. 733 18.3 Théorème de la limite centrale 733 18.3.a Correction de continuité 733 18.3.b Théorèmes limites ... 734 18.4 Exemples de convergence en loi 736 18.4.a Convergence en loi de fi (N, n, p) vers B (n, p) 736 18.4.b Convergence en loi de B (n, p) vers P (À) 737 18.4.c Convergence en loi de B (n, p) vers N (/-L, a) . 738 18.4.d Convergence en loi de P (À) vers N (/-L, a) 739 18.4.e Exercice complémentaires 741 18.5 Résumé des convergence . . . . . . . . . 750 19 Statistique descriptive à deux variables 751 19.1 Etude et propriétés . . . 751 19.1.a Définition . 751 19.1.b Représentation graphique 753 19.1.c Paramètres d'une v.s.d . 753 19.1.d Droites de régression 754 19.2 Informatique . 756 20 Estimation 761 20.1 Distributions d'échantillonnages . 761 2Ü.1.a Distribution d'échantillonnage des moyennes . 761 Table des matières 20.l.b Distribution d'échantillonnage des fréquences 763 20.l.c Distribution d'échantillonnage des variances. 764 20.2Estimationponctuelle ................. 765 20.2.a Estimation sans biais . 765 20.2.b Théorèmes fondamentaux de l'estimation ponctuelle 765 20.3 Estimation par intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . 767 20.3.a Estimationdelamoyenne . . . . . . . . . . . . . . . 767 20.3.b Estimation d'une fréquence par intervalle de confiance 770 20.4 Comparaison de deux échantillons . 771 20.4.a Principe pour deux moyennes . 771 20.4.b Cas où les échantillons sont indépendants 772 20.4.c Cas où les échantillons sont dépendants 774 20.4.d Table de la loi du t de Student -Fisher . 776

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