Mathématiques numériques pour l'ingénieur
Utilisation de l'outil MATLAB - Cours, exercices et problèmes de synthèse corrigés

Sommaire et contenu du livre "Mathématiques numériques pour l'ingénieur - Utilisation de l'outil MATLAB - Cours, exercices et problèmes de synthèse corrigés"

Table des matières Avant-propos Table des matières iii 1 Rappel d'algèbre linéaire 1 1.1 Espace vectoriel . . . . 1 1.2 Applications linéaires. 3 1.3 Matrices..... 4 1.4 Déterminants .. 6 1.5 Produit scalaire. 7 1.6 Norme vectorielle 8 1.7 Vecteurs propres et valeurs propres de matrices 8 1.8 Utilisation de Matlab . 10 2 Précisions numériques 13 2.1 Introduction . 13 2.2 Représentation des nombres en machine 13 2.3 Lesentiers................. 14 2.3.1 Représentation externe . 14 2.3.2 Représentation interne des entiers positifs 14 2.4 Les réels . 15 2.4.1 Représentation externe .. 15 2.4.2 Codage interne des réels 15 2.5 Erreurs dues à la représentation. 15 2.5.1 Propriétés de l'arithmétique de l'ordinateur 16 2.5.2 Opération soustraction. 17 2.5.3 Stabilité . 17 2.6 Notion du meilleur algorithme. 18 2.7 Utilisation de Matlab ..... 18 2.7.1 Définition des variables 18 2.7.2 Manipulation des nombres 19 2.8 Exercices résolus . 21 3 Interpolation polynomiale 27 3.1 Introduction . 27 3.2 Problèmes d'interpolation .. 27 3.2.1 Interpolation linéaire . 27 3.3 Techniques de l'interpolation polynomiale 28 3.4 Interpolation dans la base de Lagrange . 28 3.4.1 Erreur d'interpolation polynomiale 30 3.4.2 Méthode de Neville-Aitken 31 3.5 Interpolation dans la base de Newton. 32 3.6 Interpolation par fonctions spline . 33 3.6.1 Interpolation d'Hermite . 34 3.6.2 L'erreur de l'interpolation par spline 36 3.7 Utilisation de Mat/ab . 37 3.7.1 Opérations sur les polynômes 37 3.7.2 Manipulation des polynômes 38 3.7.3 Évaluation d'un polynôme .. 39 3.7.4 Interpolation linéaire et non linéaire 39 3.8 Exercices résolus . 41 4 Dérivation numérique 53 4.1 Dérivées numériques d'ordre 1 et erreur de troncature 53 4.2 Dérivées numériques d'ordre supérieur 54 4.3 Dérivées numériques et interpolation 55 4.4 Etude de l'erreur de dérivation 56 4.5 Extrapolation de llichardson 58 4.6 Méthode des différences finis. . 58 4.6.1 Exemple de thermique . 58 4.6.2 Principe de la méthode 58 4.7 Utilisation de Mat/ab 60 4.8 Exercices résolus . . 60 5 Intégration numérique 61 5.1 Introduction ..... 67 5.2 La méthode des rectangles 68 5.3 La méthode des trapèzes. 68 5.4 La méthode de Simpson . 69 5.5 Méthode de Newton-Côtes . 70 5.6 Methode de Gauss-Legendre. 70 5.6.1 Position du problème. 70 5.6.2 Polynômes de Legendre 71 5.6.3 Choix des Qi et des Xi (i = 0,'.. ,n) 71 5.7 Utilisation de Mat/ab . 72 5.7.1 Fonctions Matlab utilisées pour l'intégration numérique 72 5.7.2 Méthode du Trapèze 73 5.7.3 Méthode de Simpson 74 5.8 Exercices résolus . . . . . . 75 6 Résolution d'équations non linéaires 89 6.1 Introduction . 89 6.2 Séparation des racines . 89 6.3 Approximation d'une racine séparée 90 6.3.1 Méthode de dichotomie (ou de bissection) 90 6.3.2 Méthode du point fixe (ou des approximations successives) . 90 6.3.3 Premier critère de convergence . 92 6.3.4 Critères d'arrêt des itérations . 92 6.3.5 Deuxième critère de convergence (critère local) . 93 6.3.6 Méthode de Newton (ou méthode des tangentes) 93 6.3.7 Méthode des sécantes . 95 TABLE DES MATIÈRES v 6.3.8 Méthode de Regula falsi 95 6.4 Ordre d'un processus itératif. . 95 6.5 Utilisation de Matlab ...... 96 6.5.1 Recherche des racines polynomiales. 96 6.6 Exercicesrésolus ............ 97 7 Norme matricielle et conditionnement 109 7.1 Introduction........... 109 7.2 Norme matricielle. . . . . . . . 109 7.3 Conditionnement d'une matrice 112 7.3.1 Approximation de K(A) 114 7.4 Préconditionnement .... 114 7.5 Utilisation de Matlab ...... 115 7.5.1 Matrices et Vecteurs . . 115 7.5.2 conditionnement d'une matrice 116 7.6 Exercicesrésolus ............ 117 8 Méthodes directes 121 8.1 Introduction.......................... 121 8.2 Méthode des déterminants ou méthode de Cramer .... 121 8.2.1 Inversion d'une matrice par la méthode de Cramer 121 8.3 Système à matrice triangulaire supérieure 122 8.4 MéthodedeGauss . . . . . . . 122 8.4.1 Résolutions en parallèle 125 8.5 Méthode de Gauss-Jordan . . . 125 8.5.1 Principe de la méthode 125 8.5.2 Calcul de la matrice inverse par l'algorithme de Gauss-Jordan 127 8.6 Décomposition LU . . 127 8.7 Méthode de Cholesky. . . . . . . . 129 8.8 Utilisation de Matlab ........ 130 8.8.1 Opérations sur les matrices 130 8.8.2 Systèmes d'équations linéaires. 132 8.9 Exercicesrésolus ............ 134 9 Méthodes itératives 141 9.1 Introduction............. 141 9.2 Les techniques itératives classiques 142 9.2.1 La méthode de Jacobi . . . 142 9.2.2 La méthode de Gauss-Seidel . 144 9.2.3 Méthode de relaxation . . . . 145 9.2.4 Les méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel et relaxation, par blocs 146 9.3 Convergence des méthodes itératives 146 9.4 Utilisation de Matlab 148 9.5 Exercicesrésolus ........... 148 10 Méthodes numériques de calcul des valeurs propres et vecteurs propres 155 10.1Introduction.......... 155 10.2 Calcul direct du det (A -),.1) 155 10.3 Méthode de Krylov . . 156 10.4 Méthode de Leverrier . 157 10.5 Méthode de Jacobi . . 157 10.6 Méthode de la puissance itérée . 159 10.7 Méthode de la puissance inverse. 159 10.8 Méthode de Givens-Householder . 160 10.9 Utilisation de Mat/ab 161 10.10Exercices résolus . 162 11 Approximation au sens des moindres carrés 171 11.1 Introduction . 177 11.2 Formulation analytique. . . . . . . . . . . . 177 11.3 Formulation algébrique . . . . . . . . . . . . 179 11.4 Résolution numérique par factorisation QR 181 11.5 Applications ..... 182 11.6 Utilisation de Mat/ab 183 11.7 Exercices . 183 12 Résolution numérique des équations différentielles 191 12.1 Introduction . 191 12.2 Problème de Cauchy . 192 12.3 Résolution numérique .. 192 12.3.1 Méthode d'Euler. 193 12.3.2 Méthode de Runge-Kutta à pas unique. 193 12.3.3 Méthodes d'Adams à pas multiple 195 12.3.4 Méthode de Prédicteur-Correcteur 198 12.4 Utilisation de Mat/ab 199 12.5 Exercices résolus . 201 13 Introduction à l'optimisation 207 13.1 Introduction . 207 13.2 Rappels sur les fonctions de IRn dans IR . 207 13.3 Optimisation sans contraintes 209 13.4 Méthode de la section d'or. 211 13.5 Méthodes de la descente 212 13.6 Utilisation de Mat/ab 214 13.7 Exercices résolus 215 Introduction à Matlab 219 A Introduction ... 219 B Démarrage de Matlab. . . 220 C Fonctions mathématiques 221 D Opérateurs et programmation sous Matlab 221 E Écriture d'un script Matlab . 223 F Génération de graphique avec Matlab .. 223 Index 225 Bibliographie 227