Mathématiques
Eléments de calcul différentiel pour l'économie

Sommaire et contenu du livre "Mathématiques - Eléments de calcul différentiel pour l'économie"

Table des matières Avant-propos v Notations xiii 1. Rappels et compléments 1 1.1. Quelques notations 1 1.2. Rappels sur les fonctions usuelles 3 Notions et points essentiels Il 1 Fonctions réelles d'une variable réelle 13 2. Généralités sur les fonctions 15 2.1. Intervalles de JR 15 2.2. Voisinages............................................................................................................................... 16 2.3. Fonction numérique.......................................................................................................... 17 2.4. Opérations sur les fonctions numériques.............................................................. 18 2.5. Exemples 19 2.6. Fonctions et relation d'ordre sur JR 21 Notions et points essentiels 22 Exercices 23 3. Limites 25 3.1. Définition de la limite 25 3.2. Limite à droite, limite à gauche 27 3.3. Détermination des limites............................................................................................. 28 Notions et points essentiels 33 Exercices 34 4. Fonctions continues 35 4.1. Continuité en un point 35 4.2. Continuité sur un intervalle......................................................................................... 37 4.3. Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle 38 4.4. Théorèmes fondamentaux 39 Notions et points essentiels 41 Exercices 41 5. Fonctions dérivables 43 5.1. Dérivée en un point 43 5.2. Fonction dérivée -Dérivée sur un intervalle 46 5.3. Opérations sur les fonctions dérivables 47 5.4. Applications au sens de variations des fonctions............................................. 49 5.5. Primitive 50 Notions et points essentiels 51 Exercices 51 6. Propriétés graphiques des fonctions 53 6.1. Fonctions paires et impaires 53 6.2. Représentation graphique d'une fonction 54 6.3. Fonctions convexes et concaves 55 6.4. Fonctions bijectives et réciproques 58 Notions et points essentiels 62 Exercices 62 7. Développement limité d'ordre 1 et calculs approchés 65 7.1. Développement limité d'ordre 1 65 7.2. Approximation affine 66 7.3. Variation absolue et différentielle 67 7.4. Variation relative et élasticité 68 7.5. Applications en économie: fonction moyenne et fonction marginale............................................................ 70 Notions et points essentiels 73 Exercices 74 8. Développement limité à l'ordre n 77 8.1. Approximation polynomiale d'ordre n 78 8.2. Application à la position de la tangente par rapport au graphe............ 79 Notions et points essentiels 81 Exercices 81 9. Extrema des fonctions d'une variable 83 9.1. Définitions 83 9.2. Fonction dérivable sur un intervalle ouvert 84 9.3. Fonction dérivable sur un intervalle fermé borné 88 9.4. Fonction dérivable par morceaux sur un intervalle 89 Notions et points essentiels 90 Exercices 90 II Fonctions de deux variables -Optimisation 93 10. Géométrie élémentaire dans le plan et dans l'espace 95 10.1. Les ensembles ]R2 et ]R3 : le plan et l'espace 95 10.2. Points et vecteurs............................................................................................................ 96 10.3. Produit scalaire, norme et distance associées 100 10.4. Droite dans le plan et dans l'espace 103 10.5. Plan dans l'espace 107 10.6. Quelques autres ensembles remarquables du plan et de l'espace 108 Notions et points essentiels 110 Exercices 111 11. Topologie du plan 113 Il.1. Boules 113 Il.2. Frontière d'un sous-ensemble 114 Il.3. Ouverts, fermés 115 Il.4. Intérieur d'un ensemble 116 Il.5. Petit catalogue d'ensembles ouverts ou fermés 117 11.6. Ensembles bornés et ensembles compacts 117 Il.7. Ensembles convexes 119 Notions et points essentiels 123 Exercices 124 12. Fonctions réelles de deux variables réelles 127 12.1. Définitions et exemples fondamentaux 127 12.2. Opérations algébriques 128 12.3. Relation d'ordre 129 12.4. Représentations graphiques 130 Notions et points essentiels 134 Exercices 134 13. Fonctions continues 137 13.1. Définitions 137 13.2. Opérations algébriques et composition 139 Notions et points essentiels 141 Exercices 142 14. Dérivées partielles du premier ordre 143 14.1. Définitions 143 14.2. Opérations sur les dérivées partielles 145 14.3. Fonctions de classe Cl 146 Notions et points essentiels 149 Exercices 149 15. Développement limité d'ordre 1 et calculs approchés 151 15.1. Développement limité d'ordre 1 151 15.2. Approximation affine 153 15.3. Variation absolue et différentielle 155 15.4. Variation relative et élasticités 157 15.5. Applications en économie: fonctions marginales 158 Notions et points essentiels 160 Exercices 160 16. Dérivées partielles du deuxième ordre et développement li­mité d'ordre 2 163 16.1. Fonctions dérivées partielles secondes 163 16.2. Fonctions de classe C2 164 16.3. Matrice Hessienne 165 16.4. Développement limité d'ordre 2 166 16.5. Signe de la forme quadratique associée à la matrice hessienne 167 16.6. Position du plan tangent par rapport au graphe 169 Notions et points essentiels 172 Exercices 172 17. Fonctions convexes ou concaves de deux variables 175 17.1. Définitions pour les fonctions de classe Cl 175 17.2. Critère pour les fonctions de classe C2 176 17.3. Propriétés des fonctions convexes ou concaves 179 17.4. Convexité ou concavité locale 183 Notions et points essentiels 185 Exercices 185 18. Généralités sur les extrema 189 18.1. Définitions 189 18.2. Simplification d'un problème d'extremum 191 Notions et points essentiels 192 Exercices 192 19. Extrema libres des fonctions de deux variables 193 19.1. Condition nécessaire ou condition du premier ordre 193 19.2. Nature des points critiques 195 19.3. Quelques conseils pour la résolution du système des conditions nécessaires du premier ordre 201 Notions et points essentiels 203 Exercices 204 TABLE DES MATIÈRES xi 20. Propriétés du gradient 207 20.1. Équations des tangentes aux courbes de niveau 207 20.2. Direction d'accroissement optimal d'une fonction 208 20.3. Application à l'économie: taux marginal de substitution 210 Notions et points essentiels 211 Exercices 211 21. Extrema liés des fonctions de deux variables 213 21.1. Cas d'une liaison explicite 214 21.2. Conditions nécessaires ou conditions du premier ordre 215 21.3. Optimisation sur un compact 219 21.4. Conditions suffisantes 220 21.5. Résolution graphique 225 21.6. Interprétation économique du multiplicateur de Lagrange 226 Notions et points essentiels 228 Exercices 229 III Problèmes et corrections 231 22. Énoncés 233 23. Corrections des exercices et des problèmes 241 23.1. Corrections des exercices 241 23.2. Corrections de quelques problèmes 281 287