Mécanique quantique 1 Exercices corrigés et commentés
Cet ouvrage est un recueil d'exercices de factures diverses nécessaires à l'assimilation de l'ensemble des notions de Mécanique Quantique étudiées en Licence 2 MPCI (Mathématique, Physique, Chimie, Informatique) des Universités francophones ayant adopté le système LMD (Licence Master Doctorat).Il [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Mécanique quantique 1"
Cet ouvrage est un recueil d'exercices de factures diverses nécessaires à l'assimilation de l'ensemble des notions de Mécanique Quantique étudiées en Licence 2 MPCI (Mathématique, Physique, Chimie, Informatique) des Universités francophones ayant adopté le système LMD (Licence Master Doctorat).
Il constitue un réel outil de travail articulé autour des concepts indispensables de la Mécanique Quantique en tant que science fondamentale pour la compréhension des propriétés des atomes, des noyaux, des molécules, des lasers, des solides, des matériaux, de l'électronique, bref, de tout l'infiniment petit.
De nombreuses applications de l'équation de Schrödinger y sont exposées de façon claire et très détaillée. De plus, diverses propriétés quantiques relatives à l'atome d'hydrogène et aux ions hydrogénoïdes sont traitées dans l'ouvrage. Grosso modo ce recueil d'exercices riches, variés et assortis de commentaires fournis, fait le pari d'assurer à l'étudiant en deuxième année, la maîtrise des outils quantiques indispensables pour aborder avec aisance les programmes de Mécanique Quantique 2 et de Physique Atomique et Nucléaire et licence 3 de Physique.
Ce livre intéressera également les universitaires responsables des enseignements en Mécanique Quantique et en Physique Atomique pour la préparation des séries de travaux dirigés.
Auteurs :
PréfacierIbrahima Sakho, ancien élève de l'Ecole normale supérieure de Dakar, docteur en physique atomique et nucléaire, est enseignant à l'université de Ziguinchor (Sénégal) et responsable des cours de Mécanique quantique 1 et 2 et de Physique atomique et nucléaire, est chercheur dans le domaine de la photoionisation résonnante des systèmes atomiques polyélectroniques multichargés.
Sommaire et contenu du livre "Mécanique quantique 1 - Exercices corrigés et commentés"
Table des matières
PRÉFACE DE JACQUES BAUCHL....................................................................... . 5
PRÉFACE...... . 7
Lu POUR VOus............................. . 9
INTRODuCTION.................... .. 11
PRINCIPALES CONSTANTES PHYSIQUES FONDAMENTALES......................... . .17
CHAPITRE 1 -LE PHOTON.................... .. 21
I.
Rayonnement du corps noir, formule de Planck....................... . ..21
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant _ ..21
B.
Choisir la bonne réponse 22
C.
Exercices . _ 23
C.
1 Loi de Stefan-Boltzmann, application . ..23
C.
2 Loi de déplacement de Wien........................................ .23
C.
3 Formule de Rayleigh-Jeans, « catastrophe ultraviolette » .23
C.
4 Formule de PlancL............................................................. . 24
C.
5 Déduction de la loi de Wien à partir de la formule de PlancL .24
C.
6 Densité d'énergie électromagnétique..................................... .25
II.
Effet photoélectrique: énergie du photon 25
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant.... . .25
B.
Choisir la bonne réponse........... . .26
C.
Exercices _...... . _.................... . 27
C.
1 Mise en évidence de l'effet photoélectrique......................... . _.27
C.
2 Équation d'Einstein _ _ _ __ 27
C.
3 Cellule photoélectrique, potentiel d'arrêt _ .28
C.
4 Mesure de la constante de Planck, longueur d'onde seuil·
d'une photocathode émissive _ _ _....... ....29
C.
5 Étude d'Wle photocathode émissive......................... .. . .29
C.
6 Principe de conservation de la quantité de mouvement ..30
III.
Effet Compton: impulsion du photon.......................... . ..30
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant ..30
B.
Choisir la bonne réponse ..31
C.
Exercices.. 7, 1
C.
1 Mise en évidence de l'effet Compton . .31
C.
2 Diffusion arrière de ComptOn...............................................................32
C.
3 Établissement de la formule de ComptOn ...32
C.
4 Effet Compton inverse................... 32
CHAPITRE 2 -MODÈLES ATOMIQUES, SPECTRE DE L'ATOME
D'HyDROGÈNE............ .. .37
1.
Modèle de l'atome pudding de Thomson....................................................... 37
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant .37
B.
Choisir la bonne réponse ....................37
II.
Modèle de l'atome planétaire de Rutherford . 37
A.
Répondre par vrai ou faux tOut en justifiant.. . 37
B.
Choisir la bonne réponse ....................................38
III.
Modèle de l'atome quantifié de Bohr.......... .38
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant.... . 38
B.
Choisir la bonne réponse 38
IV.
Spectre de l'atome d'hydrogène... 39
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant .39
B.
Choisir la bonne réponse............................................... ...39
C.
Exercices...................... . . 40
C.
1 Durée de vie de l'atome planétaire de Rutherford 40
C.
2 Principe de correspondance: quantification
du moment cinétique . .41
C.
3 Quantification du rayon de l'orbite électronique:
rayon de Bohr.......... 42
C.
4 Quantification de l'énergie de l'atome d'hydrogène . .. 43
C.
5 Constante de Rydberg, effet de la masse finie du noyau 43
C.
6 Confirmation expérimèntale du modèle de Bohr:
expérience de Franck et Hertz . ..44
C.
7 Ionisation de l'atome d'hydrogène............. . 46
C.
8 Série de Balmer.......................... . 46
C.
9 Spectre de raies de l'hydrogène des étoiles, nébuleuse d'Orion 47
C.
10 Système hydrogénoïde....................... 48
C.
Il Effet d'entraînement du noyau: découverte du deuton 49
CHAPITRE 3 -RELATION DE DE BROGLIE, INÉGALITÉS DE HEISENBERG .53
1.
Dualité onde -corpuscule........ ..........................53
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant........ .. .53
B.
Choisir la bonne réponse.................... 53
II.
Relation de de Broglie... .54
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant .54
B.
Choisir la bonne réponse ..54
III.
Inégalités de Heisenberg _ _ _ 54
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant..................... . .54
B.
Choisir la bonne réponse........................................................................................... . 55
C.
Exercices _..................... . _.......... . 55
C.
1 Vitesses de phase et de groupe des ondes de de Broglie........ . 55
C.
2 Dispersion des ondes de de Broglie _.............. .55
C.
3 Confirmation expérimentale de l'hypothèse de de Broglie:
expérience de Davisson et Germer _ . .56
C.
4 Vitesse de groupe des ondes de de Broglie dans le cas relativiste..._ _ 58
C.
5 Déduction de l'hypothèse de de Broglie de la condition
de quantification de Bohr _ 58
C.
6 Étude quantique de l'atome d'hydrogène (pour aller plus loin) 58
CHAPITRE 4-ÉQUATION DE SCHRODINGER -APPLICATIONS 63
1.
Interprétation de la fonction d'onde................................................................. . 63
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant..... 63
B.
Choisir la bonne réponse......... ...63
II.
Équation de Schrodinger...................... . 64
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant 64
B.
Choisir la bonne réponse......... _ 64
C.
Exercices.......... 64
C.
1 Déduction de l'équation de Schrodinger
à
partir de la relation de de Broglie.... ..._._...... . 64
C.
2 Énergie de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène 65
C.
3 Énergie quantifiée d'un système hydrogénoïde 66
C.
4 Particule dans un puits de potentiel de profondeur infinie.......... . 67
C.
5 Marche de potentiel de hauteur U' _•..._...... . 67O
C.
6 Marche de potentiel de profondeur finie.................................. . 68
C.
7 Marche de potentiel en escalier............. 69
C.
8 Barrière de potentiel: effet tunneL.................................. . ..70
C.
9 Potentiel rectangulaire à deux dimensions. . 71
C.
10 Particule confinée dans une boîte cubique........... . 71
C.
Il Puits de potentiel carré: états non liés ..72
C.
12 Puits de potentiel carré: états liés.................................... ..?3
C.
13 Puits infiniment profond............... . 74
C.
14 Émission froide.......... . 74
C.
15 Énergie de l'état fondamental de l'oscillateur harmonique..... 75
C.
16 Énergie quantifiée de l'oscillateur harmonique..... . 76
C.
17 Étude de la molécule HeI....... . 77
CHAPITRE 5 -MOMENTS CINÉTIQUE ET MAGNÉTIQUE INTERACTION SPIN-ORBITE . ....................................81
1.
Nombres quantiques orbital et magnétique . ..... 81
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant ................................81
B.
Choisir la bonne réponse . . 81
II.
Moment cinétique et magnétique de l'électron......... . 81
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant .81
B.
Choisir la bonne réponse............... . .82
III.
Effet Zeeman normal, précession de Larmor 82
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant................ . .82
B.
Choisir la bonne réponse... . 82
IV.
Spin de l'électron, effet Zeeman complexe ............83
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant....... . 83
B.
Choisir la bonne réponse ...................83
V.
Moment cinétique total d'un électron atomique, interaction spin-orbite 84
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant 84
B.
Choisir la bonne réponse . 84
VI.
Terme d'une configuration électronique des systèmes hydrogénoïdes 84
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant.. 84
B.
Choisir la bonne réponse............................ 84
C.
Exercises .....................85
C l Expérience de Zeeman: quantification du moment cinétique,
nombre quantique magnétique85
C2 Effet Zeeman normal sur la raie Lyman-alpha de l'atome
C3 Moment magnétique orbital: rapport gyromagnétique
C5 Triplet de Zeeman-Lorentz: application de la règle des fréquences
C6 Effet Zeeman normal: détermination du triplet de Zeeman-Lorentz
C9 Exploitation de l'expérience de Stern et de Gerlach:
CIl Illustration de l'effet Zeeman normal sur le niveau 2p
Cl2111ustration de l'effet Zeeman anormal sur le niveau fondamental
Cl3111ustration de l'effet Zeeman anormal sur le niveau 2p
d'hydrogène....................85
de l'électron............. . 86
C4 Magnéton de Bohr 86
de Bohr, précession de Larmor............. . 88
par application de l'équation de Schrodinger.... .....................................89
Cl Expérience de Stern et de Gerlach............90
C8 Spin de l'électron: Hypothèse de Goudsmit et Uhlenbeck.. 91
intensités des tâches.............. ..........................................................92
CIO Moment cinétique total de l'électron, termes spectroscopiques 93
des systèmes hydrogénoïdes ..........................................93
des systèmes hydrogénoïdes.... 93
des systèmes hydrogénoïdes _ 94
Cl4 Notation spectroscopique des états d'un atome
monoélectronique.... . 94
C.15 Structure fine de la raie de résonance de l'atome d'hydrogène..........u..94 C.16Structure fine du niveau n = 2 de l'atome d'hydrogène..... . .....95
C.17 Illustration de l'effet Zeeman complexe sur la raie jaune du sodium u.u....... u....... 96
CHAPITRE 6 -FORMALISME DE BASE DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE, ALGÈBRE DES COMMUTATEURS.......... . 99
1. Opérateur linéaire, commutation.... . 99
A. Répondre par vrai ou faux tout enjustifiant.....u.. 99
IV. Notation de Dirac.u u..... . u............u......u u ............. 101
A. Répondre par vrai ou faux tout en justifiant. . 101
B. Choisir la bonne réponse. . . . 102
• ••••••••••••••• u ••••••u.. • ••••
V. Équation aux valeurs propres, observables . 102
A. Répondre par vrai ou faux tout en justifiant . .. .u.u...._u....... 102
B. Choisir la bonne réponse . . 103
VI. Représentation des vecteurs et des opérateurs...... . u104
B. Choisir la bonne réponse .u.. u u u 104
C. Exercices.... . 104
C. 1 Propriétés des commutateurs.............. . u............. . 104
C. 2 Propriétés du produit scalaire....... . u.... 105
C. 3 Trace d'un opérateur....... . 105
C. 4 Fonction d'opérateurs.......u....... . u lOS
C. 5 Commutateurs de fonctions d'opérateurs ...........................105
C. 6 Règles de dérivation d'opérateurs u.. uu u 106
C. 7 Opérateur unitaire u 106
C. 8 Matrices de Pauli.. . u. . 106
C. 9 Opérateur densité.u............ . 107
C. 10 Opérateur d'évolution u............ . u. . 107
C. Il Observables associées au spin ... u.u..... . 108
C. 12 Évolution d'un spin 1/2 dans un champ magnétique uniforme: précession de Larmor..... .. __ u............ ... 108
C. 13 Opérateur moment cinétique orbital.... . 109
C. 14 Quantification de l'opérateur carré moment cinétique orbitaL.. 110
C. 15 Moment cinétique en coordonnées sphériques 110
C.16
Quantification de l'énergie de l'atome d'hydrogène
dans le cas généraL....................................... .
CHAPITRE 7 -POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
1.
Description de l'état d'un système . .... 115
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant . ............................ .115
II.
Description des grandeurs physiques 115
B.
Choisir la bonne réponse.......................... . 115
III.
Mesure des grandeurs physiques.......................................................... 116
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifianL 116
B.
Choisir la bonne réponse.... ... 116
IV.
Réduction du paquet d'ondes. . 116
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifianL...... 116
B.
Choisir la bonne réponse. . 117
V.
Évolution des systèmes dans le temps............ . 117
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant.... 117
B.
Choisir la bonne réponse................... . 117
VI.
Propriétés générales de l'équation de Schrôdinger 117
A.
Répondre par vrai ou faux tout en justifiant .................................117
C.
Exercices........................................................................ . 118
C.
1 Théorème d' Ehrenfest, lien avec la mécanique classique 118
C.
2 Système conservatiL...................... . 118
C.
3 Constante du mouvement, bons nombres quantiques... . 119
C.
4 Évolution des valeurs moyennes des opérateurs associés
à la position et à l'impulsion: étalement d'un paquet
d'ondes libres.......... ... 119
C.
5 Évolution des valeurs moyennes des opérateurs associés à
la position et à l'impulsion: lien avec la mécanique claSSique .119
C.
6 Influence des états excités sur la distance moyenne entre
les atomes de la molécule HCI . 120
C.
7 Puits de potentiel infini: mesures des énergies, évolution du paquet
d'ondes, relation d'incertitude temps-énergie... 120
C.
8 Étude d'un système conservatif . 122
C.
9 Mesure simultanée de grandeurs physiques associées à
des d'observables formant un E.C.O.C............................ 122
C.IO Ensembles complets d'observables qui commutent (E.C.O.C) .. 123
C.ll Évolution de.l'opérateur densité.... . 123
C.
12 Évolution d'un spin 1/2 dans un champ magnétique uniforme 124
C.13
Valeurs moyennes relatives aux propriétés des systèmes
hydrogénoïdes, confrontation avec les prévisions de Bohc........... .125
COMPLÉMENTS
A.
Densité spectrale d'énergie électromagnétique: formule de Planck.. ...... 129
l. Caractéristiques du photon . . . 129
2.
Loi de Planck................. . . . 131
B.
Loi de pJanck et théorie d'Einstein 140
l.
Principaux processus d'interaction matière-rayonnement optique 140
2.
Théorie d'Einstein des processus d'absorption et d'émission ' ' 142
C.
Loi de Stefan...... ...........................................'... 146
1.
Établissement de la loi empirique de Stefan par voir
thermodynamique............. . 146
2.
Établissement par Boltzmann de la loi de Stefan................................ . 150
D.
Calcul des termes de J' hamiltonien de structure fine des systèmes
hydrogénoïdes ' _...........' ' 154
1.
Énergie de Bohr des systèmes hydrogénoïdes................ 154
2.
Énergie semi-relativiste des systèmes hydrogénoïdes.... 157
3.
Énergie relativiste des systèmes hydrogénoïdes.... . 159
4.
Calculs des termes de l' hamiltonien de structure fine . 166
E.
Fonctions d'onde générales des systèmes hydrogénoïdes . . 189
l. Nécessité d'utiliser les coordonnées sphériques . . 189
2.
Résolution de l'équation de Schrodinger . . '.. 190
3.
Premières fonctions d'onde normalisées . . 204
SOLUTIONS DES EXERCICES . . 207
Chapitre 1 ' ' _' ' ...................................... 209
Chapitre 2.............. . . 231
Chapitre3...' . . 255
Chapitre 4 . . 267
Chapitre 5
......................................... 311
Chapitre 6
................... '............. . 339
Chapitre 7
......................................................'.......... . 373
BIBLIOGRAPHIE ........... 407
B. Choisir la bonne réponse....................u... ..99
II. Opérateur hermitique....... . .u •••••• l00
A. Répondre par vrai ou faux tout en justifiant... . 100
B. Choisir la (ou les) bonnes réponses .... ..
100
III. Bases orthonormées discrètes..... . 100
A. Répondre par vrai ou faux tout en justifiant .... 100
B. Choisir la bonne réponse.. _ _ uu u _ .. 101
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