Sciences industrielles pour l'ingénieur
Mécanique et Automatique PSI Résumés de cours et exercices corrigés

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L...-­
TABLE DES MATIÈRES
Préface iü
1 Mécanismes 1

1.1
Modélisation cinématique. 1

1.1.1
Problématique ... 1

1.1.2
Modèle cinématique 1

1.2
Liaisons normalisées . . . . 2

1.2.1
Paramétrage des liaisons 2

1.2.2
Tableau des liaisons . 2

1.3
Chaînes de solides . 3

1.3.1
Structure des mécanismes -graphe de structure 3

1.3.2
Analyses géométrique et cinématique des mécanismes 4

1.3.3
Liaisons cinématiquement équivalentes 5

1.4
Représentation schématique des mécanismes. 8

1.4.1
Schéma cinématique . . . . . . 8

1.4.2
Schéma cinématique minimal 9

1.4.3
Schéma technologique. 9

1.5
Mobilité et hyperstatisme . 9

1.5.1
Définitions . 9

1.5.2
Mobilité -Hyperstaticité . 10

1.5.3
Exemple guide -Vanne robinet . 13

1.5.4
Relations entre mobilité et hyperstatisme . 21

1.5.5
Isostaticité 22

1.6
Exercices . . . 23

1.6.1
Corrigé Ql
2 Cinétique 39

2.1
Masseetinertie . . . . . 39

2.1.1
Notions d'inertie 39

2.1.2
Masse...... 40

2.1.3
Centre d'inertie . 40

2.2
Moments d'inertie ... 43

2.2.1
Moment d'inertie par rapport à un point 43

2.2.2
Moment d'inertie par rapport à une droite 44

2.2.3
Rayondegiration............... 44

2.2.4
Moments d'inertie dans un repère cartésien 44

2.2.5
Relations entre les moments d'inertie . 45

2.2.6
Théorème de Huygens . 46

2.2.7
Produits d'inertie. . . . . . . . . 48

2.3
Opérateurd'inertie ............ 48

2.3.1
Opérateur d'inertie en un point 48

2.3.2
Propriétés et directions principales de la matrice d'inertie. 53

2.4
Exercices ..... 58

2.4.1
Corrigés . 61

2.5
Torseur cinétique 66

2.5.1
Définition 66

2.5.2
Cas du solide indéformable 67

2.6
Torseurdynamique . . . . . . . . . 68

2.6.1
Définition .......... 68

2.6.2
Changement de point de réduction 69

2.6.3
Relation entre la résultante cinétique et la résultante dynamique 69

2.6.4
Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique 69

2.6.5
Cas du solide indéformable 70

2.7
Énergiecinétique .......... 71

2.7.1
Définition .......... 71

2.7.2
Cas du solide indéformable 71

2.8
Caractéristiques cinétiques d'un ensemble de solide 73

2.8.1
Torseur cinétique d'un ensemble de solides . 74

2.8.2
Torseur dynamique d'un ensemble de solides 74

2.8.3
Énergie cinétique d'un ensemble de solides 74

2.9
Exercices . . . . 75

2.9.1
Corrigés . 79

3 Dynamique du solide 83

3.1
Principe Fondamental de la Dynamique 83

3.1.1
Énoncé.............. 83

3.1.2
Caractère Galiléen des repères 84

3.2
Théorèmes généraux . 85

3.2.1
Théorème de la résultante dynamique . 85

3.2.2
Théorème des quantités de mouvement 85

3.2.3
Théorème du moment dynamique 85

3.2.4
Théorème du moment cinétique. 85

3.3
UtilisationduP.ED. ............ 86

3.4
P.ED dans un repère non galiléen ..... 87

3.4.1
Composition des accélérations . . 87

3.4.2
Composition du torseur dynamique. 88

3.4.3
Principe fondamental dans un repère non galiléen 89

3.5
Application -Équilibrage d'un solide .. 90

3.5.1
Problème général de l'équilibrage 90

3.5.2
Équilibrage . 94

3.5.3
Équilibrage à 2 masses . 94

3.6
Exercices . . . . 98

3.6.1
Corrigés 106

4 Puissance et énergie 117

4.1
Puissance des efforts extérieurs . 117

4.2
Cas du solide indéformable 118

4.2.1
Énoncé........... 118

4.2.2
Démonstration . . . . . . 118

4.3
Puissance des efforts intérieurs . 120

4.3.1
Puissance des efforts de liaison . 120

4.3.2
Liaison énergétiquement parfaite 121

4.3.3
Contact ponctuel réel .... 121

4.3.4
Liaisons normalisées réelles. 125

4.4
Travail et énergie . 126

4.4.1
Travail . 126

4.4.2
Énergie potentielle . 126

4.5
Théorème de l'énergie cinétique 127

4.5.1
Énoncé........... 127

4.5.2
Démonstration dans le cas d'un seul solide. 127

4.5.3
Démonstration dans le cas de deux solides . 129

4.5.4
Généralisation à n solides . 130

4.5.5
Utilisation . 130

4.5.6
Intégrale première de l'énergie cinétique 130

4.6
Exercices . . . . 131

4.6.1
Corrigés . 136

5 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires 147

5.1
Réponse fréquentielle . 147

5.1.1
Fonction de transfert complexe . 149

5.1.2
Lieuxdetransfert . . . . . . . . . . 149

5.2
Étude des SLCI à partir des diagrammes de Bode 152

5.2.1
Système du premier ordre . 152

5.2.2
Système du second ordre 155

5.2.3
Intégrateur 163

5.2.4
Dérivateur . 164

5.2.5
Retardpur ......... 165

5.2.6
Généralisation du tracé des diagrammes de Bode . 166

5.3
Étude des SLCI à partir du diagramme de Nyquist . 168

5.3.1
Système du premier ordre. 168

5.3.2
Système du second ordre 169

5.3.3
Intégrateur -Dérivateur 171

5.3.4
Retard pur . . . . . 172

5.3.5
Généralisation...... 173

5.3.6
De Bode à Nyquist ... 174

5.4
Étude des SLCI à partir du diagramme de Black 174

5.4.1
Système du premier ordre . 174

5.4.2
Système du second ordre 175

5.4.3
Intégrateur . 176

5.4.4
Retard pur . 178

5.4.5
Généralisation....... 178

5.4.6
Abaque de Black -Nichols . 178

5.5
Exercices . . . . 180

5.5.1
Corrigés . 183

6 Analyse des systèmes asservis 191

6.1
Caractérisation des systèmes asservis . . . . . 191

6.1.1
Structure des systèmes asservis. . . . . 191

6.1.2
Caractéristiques d'un système asservi . 192

6.2
Stabilité..................... 193

6.2.1
Position du problème et définitions 193

6.2.2
Étude de la stabilité. . 194

6.2.3
Condition de stabilité 198

6.2.4
Position des pôles. . 198

6.2.5
Critères de stabilité . 198

6.2.6
Marges de stabilité . 208

6.3
Précision ........... 212

6.3.1
Position du problème 212

6.3.2
Données . 213

6.3.3
Erreur en régime permanent -erreur statique 215

6.3.4
Effet d'une perturbation sur la précision 219

6.4
Rapidité . 222

6.4.1
Temps de réponse -temps de montée. 222

6.4.2
Temps de montée et bande passante 222

6.5
Exercices . . . . 224

6.5.1
Corrigés . 228

7 Correction des systèmes asservis 237

7.1
Nécessité de la correction . 237

7.2
Principaux réseaux correcteurs . . 238

7.2.1
Correcteur Proportionnel ( P) .. 238

7.2.2
Correcteur -Intégral ( 1) .... . 239

7.2.3
Correcteur Proportionnel -Intégral ( PI ) 240

7.2.4
Correcteur Proportionnel Dérivateur -PD 245

7.2.5
Correcteur à avance de phase . 247

7.2.6
Correcteur à retard de phase . 249

7.2.7
Correcteur à retard-avance de phase 250

7.2.8
Correcteur PID . 252

7.2.9
Correction en réaction . 259

7.3
Détermination expérimentale des correcteurs 262

7.3.1
Méthode de Ziegler-Nichols 262

7.4
Exercices .... 265

7.4.1
Corrigés . 276

8 Grafcet 291

8.1
Principes généraux . 291

8.1.1
Structure du GRAFCET . 291

8.1.2
Règles d'évolution ... 292

8.2
Lecture et interprétation du grafcet 293

8.2.1
Évolution du grafcet ..... 293

8.2.2
Réceptivités associées aux transitions . 293

8.2.3
Modes de sorties . 294

8.2.4
Évolution fugace .. 296

8.2.5
Structures de base . 297

8.2.6
Formes particulières 300

8.3
Structuration et hiérarchisation 301

8.3.1
Nécessité de la structuration 301

8.3.2
Structuration par synchronisation de grafcets 302

8.3.3
Structuration par macro-étapes 304

8.3.4
Structuration par forçage . . . . 305

8.3.5
Structuration par encapsulation 306

8.3.6
Exemple de synthèse . 307

8.4
Étude de cas . . 311

8.4.1
Corrigés . 317

A Annexes 325

Al Mécanique . 325

Al.1
Liaisons . 325

Al.2
Matrices d'inertie de quelques solides élémentaires 329

A.2
Automatique. ....................... 331

A2.1
Transformées de Laplace . 331

A2.2
Abaque des dépassements d'un second ordre .. 332

A2.3
Abaque du temps de réponse d'un second ordre 332

A2.4
Abaque de Black . 333

Liens 335

Liste des exercices 337