Semi-conducteurs: les bases de la théorie K.p

Sommaire et contenu du livre "Semi-conducteurs: les bases de la théorie K.p"

Table des mati?s Avant-propos Introduction 1 1 Structure ?ctronique 9 1 Sym?ie et fonctions d'onde 11 1.1 Les atomes des semi-conducteurs 12 1.2 Fonctions de cristal p?odique . 13 1.2.1 Fonctions de Bloch. . . . 13 1.2.2 Largeur de la zone de Brillouin 14 1.2.3 Normalisation des fonctions de Bloch. 14 1.2.4 D?loppement de Unk (r) en fonction des Uno (r) 16 1.2.5 Fonctions de Luttinger-Kohn . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Bandeinterditeetmasseeffective .............. 18 1.4 Une description simpliste ou pourquoi le silicium est un semi­conducteur 22 1.5 Structure cristalline et zone de Brillouin . . 26 1.6 Combinaison lin?re d'orbitales atomiques 31 1.6.1 Id?directrice. . . 31 1.6.2 Les liaisons fortes. . 31 1.6.3 ?uation s?laire . 33 1.6.4 Structure de bande. 37 1.6.5 Caract? 8 et p des fonctions d'onde. 38 1.7 Sym?ie des fonctions d'onde et ?ments de matrice. 43 1.7.1 Fonctions d'onde orbitales. . . . . . 43 1.7.2 Fonctions d'onde m?ng? de spin 51 1.8 Fonctions d'onde du centre de zone 52 1.8.1 Les fonctions "sph?ques" . . . . . . 52 1.8.2 Les fonctions "cubiques" . . . . . . . 53 1.8.3 Utilit?es notations de Luttinger-Kohn et Kane 55 1.8.4 Fonction d'onde de trou . 56 1.9 Lexique de th?ie des groupes . 57 1.9.1 Groupe simple (sans spin) 57 1.9.2 Groupe double (avec spin) . 58 1.10Semi-conducteur .......... 60 1.10.1D?nition.......... 60 1.10.2 Semi-conducteur ?ande interdite "directe" . 61 1.10.3 Semi-conducteur ?ande interdite "indirecte" . 61 1.10.4 Semi-conducteur ?ande interdite nulle . . 62 1.10.5 Pr?ntation g?rale des semi-conducteurs 64 1.11Semi-m?l ................. 71 1.11.1 Semi-m?l strictement compens?. . 71 1.11.2 Semi-m?lusuel ............ 72 1.A Appendice: Fonctions et th?? de Bloch . 73 1.A.1 Propri?s....... 73 1.A.2 ZonedeBrillouin ............ 75 1.A.3 Doublementdemaille . . . . . . . . . 76 LB Appendice: Renversement du temps et "Parit?uot; de En (k). 78 1.B.1 Conjugaisonde Kramers................ 78 1.B.2 D?n?scence de spin et d?n?scence de Kramers 79 1.B.3 Pente de En (k)............... 81 1.C Appendice: Couplage spin-orbite dans les solides 81 1.C.1 Id?g?rale . . . 81 1.C.2 Description pr?se 82 2 Principe de la th?ie k . p 85 2.1 Th?ie des perturbations . . . . . . . 86 2.1.1 Hamiltonien de d?rt. . . . . 87 2.1.2 Cas d'un niveau non d?n?. 87 2.1.3 Cas d'un niveau d?n?: renormalisation de L?n 88 2.1.4 Cas de niveaux quasi-d?n?s: renormalisation de Luttinger- Kohn 89 2.2 L'hamiltonien k· p . . . 92 2.2.1 Point de d?rt. 92 2.2.2 Principe..... 92 2.2.3 Premier cas : un seul ?t est important 94 2.2.4 Deuxi? cas : deux ?ts sont importants 95 2.A Appendice: Th?ie des perturbations de Luttinger-Kohn 106 2.A.1 Rappel de la th?ie usuelle des perturbations. 106 2.A.2 Objet de l'?de 107 2.A.3 D?nstration .................. 107 3 Structure de bande : 1 125 3.1 Sch?sdeprincipe . . . . . . . . . . 127 3.2 Hamiltonien sans couplage spin-orbite 128 3.2.1 Ce qui est suppos?onnu . . . 128 3.2.2 Hamiltonien ?'int?eur de {fl; f s} 132 3.2.3 Hamiltonien ?'int?eur de {fsc ; f s} 136 3.2.4 Hamiltonien ?'int?eur de {fsc ; f l ; fs} 137 3.2.5 Hamiltonien projet?ur f s : l'hamiltonien de Dresselhaus­Kip-Kittel............ 143 3.3 Hamiltonien avec couplage spin-orbite . . . . . . . . . . . . .. 148 3.3.1 Cequi estsuppos?nnu . . . . . . . . . . . . . . . .. 148 3.3.2 L'hamiltonien ?'int?eur de {f6 ; fa ; f 7} ou hamil­ toniende Kane..................... .. 151 3.3.3 Hamiltonien ?'int?eur de {fac ; f7C ; f 6 ; fa j f 7} 154 3.3.4 L'hamiltonien projet?ur {f6; fa ; f 7} : l'hamiltonien HadePidgeon-Brown ................. .. 162 3.3.5 L'hamiltonien projet?ur fa: l'hamiltonien H4 de Luttinger- Kohn 174 3.3.6 L'hamiltonien projet?ur {fa; f7} : l'hamiltonien 6 x 6 de Luttinger-Kohn ou hamiltonien H6 . . .. . . . . .. 178 3.A Appendice: Les coefficients P, C, Hl, H2 de Dresselhaus-Kip- Kittel 183 3.B Appendice: Relations entre les param?es de Luttinger et de Dresselhaus-Kip-Kittel..................... .. 188 3.C Appendice: Relations entre les param?es de Luttinger et les param?esdePidgeon-Brown................. 190 3.D Appendice: Couplage spin-orbite dans les semi-conducteurs 190 3.D.1 Enth?iedes groupes. . . . . . . . . . . 190 3.D.2 Calculdes?mentsdematrice . . . . . . . . . . . . 191 3.E Appendice: L'hamiltonien de Kane ?rand Ilkll 193 3.F Appendice: Passage d'une matrice sans spin ?ne matrice avec spin ............................... .. 193 4 Structure de bande: II 197 4.1 Bande de valence et effet Zeeman (l'article de Luttinger) 198 4.1.1 Hamiltonien relatif au niveau f s dit "L"= 1.. 198 4.1.2 Hamiltonien relatif au niveau fa dit "J"= 3/2 199 4.2 D?mposition de l'hamiltonien de Luttinger 203 4.2.1 Id??rale ................... 203 4.2.2 Matricesutiles .................. 206 4.2.3 Liens entre les param?es de Luttinger et les param?es de Dresselhaus-Kip-Kittel: l'approximation sph?que 207 4.3 Fonctions d'onde de l'hamiltonien de Luttinger-Kohn . 207 4.4 Influence de l'absence de centre d'inversion 211 4.4.1 L'hamiltonien de Kane. . . . . . . . . . 211 4.4.2 Perturbations venant des autres bandes 214 4.5 Les semi-conducteurs ?ande interdite nulle. 220 4.6 Hamiltonien de contrainte 222 4.6.1 Nomenclature. 222 4.6.2 G?ralit?. . . . 222 4.6.3 Notations..... 224 4.6.4 L'hamiltonien de Bir-Pikus 227 4.6.5 L'hamiltonien de Bir-Pikus-Pidgeon-Brown 229 4.6.6 Casdesellipso?s .............. 232 4.6.7 Influence d'une contrainte uniaxiale sur les dispersions en ?rgieen ra ...................... .. 232 4.6.8 Cas o?= (0, 0, kz ) .•.......... •.... .. 234 4.6.9 Influence d'une contrainte biaxiale sur les dispersions en ?rgieen ra ............. 235 4.7 Description en masse effective d'un donneur 237 4.7.1 Bande interdite directe. . . . . . . . 237 4.7.2 Bande interdite indirecte 243 4.8 Description en masse effective d'un accepteur 244 4.9 Hamiltonien effectif. . . . . . . . 245 4.10 La wurtzite (GaN, CdS, CdSe) . 251 4.10.1 Description quasi-cubique 251 4.10.2 La wurtzite (Groupe C6v ) 254 4.11 Onde?nescente . . . . . . . . . 259 4.11.1 "Hamiltonien" k· p non hermitique 259 4.11.2 Une description simple. . . . . . . . 260 4.11.3 Utilisation de la matrice Pidgeon-Brown 261 4.A Appendice: Termes impairs en k ........ 263 4.A.1 Notations li? au couplage spin-orbite. 263 4.A.2 Termes lin?res en k dans la bande de valence ra 264 4.A.3 Absence de termes lin?res en k dans la bande de conduc­ tion r 6delablendedezinc .......... 265 4.A.4 Termes en k3 .................. 266 4.B Appendice: La matrice 14 x 14 ou hamiltonien H14 269 4.C Appendice: Remarque sur la fonction enveloppe .. 276 4.D Appendice: Th?ie k . p au point L du germanium 276 4.E Appendice: Transformation de Broido-Sham 279 5 Land?t Landau 283 5.1 EffetZeeman etfacteurdeLand?.............. .. 284 5.1.1 Hamiltonien de conduction en pr?nce d'un champ ma­gn?que....................... 284 5.1.2 Facteur de Land?es ?ctrons de conduction. . 286 5.1.3 Effet Zeeman de la bande de valence: un aper?287 5.2 Niveauxde Landau....................... .. 288 5.2.1 Niveaux de Landau d'une particule de charge ±e et de massem ........ 289 5.2.2 Bande de conduction. 290 5.2.3 Bande de valence . 291 6 H?rostructures 299 6.1 La probl?tique Harrison-BenDaniel-Duke 301 6.1.1 L'article de Harrison . . . 301 6.1.2 L'article BenDaniel-Duke 302 6.2 Puits carr?303 6.2.1 D?nition......... 303 6.2.2 Puits fini ?asse constante 303 6.3 L'approximation clef . . . 305 6.4 Bande de conduction . . . 305 6.4.1 Cas du puits infini 305 6.4.2 Cas du puits fini . 307 6.4.3 Cas o? masse est anisotrope 309 6.5 Bande de valence . . . . . 310 6.5.1 Cas du puits infini 310 6.5.2 Cas du puits fini . 316 6.6 Densit?'?ts . . . . . . 318 6.A Appendice: L'hamiltonien de Burt-Foreman . 320 6.A.1 Rappel.......... . . . . . . . . 320 6.A.2 Pointde d?rt............. 321 6.A.3 Hamiltonien sans couplage spin-orbite 323 6.A.4 Hamiltonien tenant compte du couplage spin-orbite 327 6.B Appendice: Bande de valence dans un puits infini 332 6.B.1 Calculspr?minaires.................. 332 6.B.2 Calculdesmassesplanaires . . . . . . . . . . . . . . 334 6.C Appendice: Au del?e la masse effective et du puits infini 335 6.C.1 Un puits fini peut-il ?e consid? comme infini? . . 335 6.C.2 Variation de l'?rgie en fonction de la largeur du puits 336 6.C.3 Remarque sur la fonction d'onde dans un puits infini.. 336 II Optique et excitons 337 7 Quelques propri?s optiques des solides 339 7.1 Syst? d'unit?. 340 7.2 Origine de l'indice optique . 340 7.2.1 Cas d'une fr?ence de couplage . 342 7.2.2 Cas de plusieurs fr?ences de couplage 349 7.2.3 Influence du champ local . 353 7.2.4 Courbe de dispersion des phonons . 356 7.2.5 Loi de Snell-Descartes . 359 7.3 Constante di?ctrique et indice complexes . 359 7.4 Absorption, dispersion et r?ectivit?.. 363 7.A Appendice: Relations de Kramers-Kronig . 370 8 Mol?le d'hydrog? & ?rgie d'?ange ?ctron-?ctron 373 8.1 L'atome d'hydrog?. . . . 374 8.2 Autres atomes 378 8.2.1 Les fonctions d'onde 378 8.2.2 Transitions optiques 381 8.3 La mol?le d'hydrog? ionis?Ht 387 8.3.1 Hamiltonien.......... 387 8.3.2 Approximation des combinaisons lin?res d'orbitales ato­miques ou approximation CLOA 388 8.3.3 Approximation des liaisons fortes . . . . . . 389 8.3.4 L'?rgie 389 8.3.5 Fonction d'onde et probabilit?e pr?nce. 392 8.4 La mol?le d'hydrog? H2. . . . . . . . . . . . . 394 8.4.1 L'approximation des combinaisons lin?res d'orbitales atomiques........................ " 394 8.4.2 Orbitales atomiques et mol?laires dans l'approxima­tiondeHartree............ 396 8.4.3 Notations............... 397 8.4.4 ?ergie directe et ?rgie d'?ange 398 8.4.5 Approximation de Heitler-London : orbitales atomiques avec?ange ...................... .. 399 8.4.6 Approximation de Hund-Milliken : orbitales mol?laires avec?ange ....... 402 8.4.7 Critiques et am?orations . . . 402 8.5 Extension aux autres mol?les . . . . 403 8.A Appendice: Hamiltonien d'Heisenberg 405 9 Exciton 407 9.1 Correspondance trou-?ctron 408 9.1.1 D?nition....... 408 9.1.2 ?ergie du trou. . . . 409 9.1.3 Vecteur d'onde du trou 410 9.2 1'exciton dans un mod? simple 412 9.2.1 ?atsli?......... 414 9.2.2 ?ats non li? . . . . . . 419 9.3 1'exciton dans les semi-conducteurs r?s. 419 9.4 Exciton ?eux dimensions. 421 9.A Appendice: Exciton pi? . . . . . . . . . 422 10 Absorption 425 10.1 G?ralit?. 425 10.1.1 Optique . 425 10.1.2 Hamiltonien. 426 10.1.3 Probabilit?e transition. 427 10.1.4 D?nition du coefficient d'absorption. 428 10.2 Semi-conducteur massif: absorption bande ?ande. 429 10.2.1 ??nt de matrice..... 429 10.2.2 Coefficient d'absorption .. 430 10.2.3 Transition directe interdite 438 10.2.4 Transition indirecte .... 439 10.2.5 Transition pseudo-directe . 442 10.3 Semi-conducteur massif: absorption des excitons 442 10.3.1 Description des excitons 442 10.3.2 ??nt de matrice ... 443 10.3.3 Cas des excitons libres . 445 10.3.4 Cas des excitons pi?s 448 10.4 Semi-conducteur ?eux dimensions (plan quantique) . 449 10.4.1 Description du plan quantique 449 10.4.2 Absorption 450 10.5 Forces d'oscillateur . 451 11 ?ergie d'?ange ?ctron-trou et polariton excitonique 455 11.1 L'origine de l'interaction d'?ange ?ctron-trou . . . . . . 457 11.2 ?ergie d'?ange dans les excitons de Wannier . . . . . . . 461 11.2.1 ?ergie d'?ange d'exciton et ?rgie d'?ange atomique461 11.2.2 Cas o? n'y pas de couplage spin-orbite. . . . . 463 11.2.3 Cas o? couplage spin-orbite joue un r?463 11.3 Compl?nt sur les fonctions d'onde des excitons libres 467 11.4 La s?ration longitudinal-transverse des excitons. 468 11.4.1 Sommes dipolaires . . . . . . . . 468 11.4.2 Aper?sur la th?ie d'Hopfield 471 11.5 Forcesd'oscillateur . . . . . . . . . . . . 472 11.5.1 Exemples ............. 472 11.5.2 Semi-conducteur sous contrainte 473 11.5.3 Polariton avec une seule masse de trou. 476 11.5.4 Polaritons lourds et l?rs . . . . . . . . 481 III Transport 485 12 La "Loi de Newton" des solides cristallins 487 12.1 Ondes planes et fonctions de Bloch 487 12.2 Moment cristallin . 488 12.3 Vitesse . 488 12.4 Acc?ration: "loi de Newton" 489 12.5 Bande pleine et trou . . . . . . 491 12.6 Masses effectives . 493 12.6.1 Masse effective de densit?'?ts 493 12.6.2 Masse effective de mobilit?96 13 Influence d'un champ magn?que 503 13.1EffetHall ................... 504 13.1.1 Principe de l'effet Hall. . . . . . . . 504 13.1.2 Effet Hall ?eux types de porteurs. 507 13.1.3 R?du temps de relaxation de la quantit?e mouvement et magn?-r?stance . 509 13.1.4 Tenseur de conductivit?12 13.2 R?nance cyclotron . . . . . . 513 13.2.1 Principe......... 513 13.2.2 Cas d'une masse anisotrope 513 13.2.3 R?du temps de collision. 519 13.A Appendice: Masse cyclotron de la bande de valence 522 14 ?uation de Boltzmann 525 14.1 Pr?minaire: section efficace, temps de relaxation, libre parcours moyen. ................ 525 14.2 ?uation de Boltzmann monobande 528 14.2.1 Pr?ntation g?rale 528 14.2.2 Calcul du temps de relaxation dans le cas ?stique. 536 14.2.3 Exemple: ensemble de potentiels d?rr?s d'impuret? ionis? ......................... .. 537 14.3 ?uation de Boltzmann multibande (Th?ie de Siggia-Kwok). 540 14.3.1 Exemple:casde2bandes ........... 544 14.3.2 Mobilit?es ?ctrons de conduction . . . . . 544 14.3.3 Mobilit?es trous de la bande de valence r s 545 14.A Appendice: R?ltats utiles . . . . . . . . 547 14.A.l Quelques r?ltats math?tiques 547 14.A.2 Quelques valeurs num?ques 548 15 Interaction ?ctron-phonon 549 15.1 Pr?minaires . . . . . . . . 549 15.1.1 L'oscillateur harmonique. 549 15.1.2 Sommes .......... 550 15.2 Hamiltonien des phonons acoustiques. 551 15.3 Potentiel de d?rmation. . . . . . . . 557 15.4 Tempsderelaxation . . . . . . . . . . 559 15.4.1 Semi-conducteur massif (?rois dimensions) . 559 15.4.2 Semi-conducteur ?eux dimensions 560 15.5 Semi-conducteur polaire . . . . . . . . . . . 562 16 Transport dans les semi-conducteurs ?eux dimensions 565 16.1Pr?minaire................ 565 16.1.1 Notations ...................... 565 16.1.2 Transfouri? ?eux dimensions . . . . . . . . . 565 16.1.3 Une autre ?iture de la fonction de Fermi-Dirac 566 16.1.4 Densit?'?ctrons en fonction de la temp?ture. 567 16.1.5 Coefficients de transmission . . . . . 568 16.2 ?rantage et constante di?ctrique . . . . . 571 16.2.1 Semi-conducteur ?rois dimensions. 571 16.2.2 Semi-conducteur ?eux dimensions 572 16.2.3 Constante di?ctrique ?emp?ture finie . 575 16.3 Transport "horizontal" : diffusion par des impuret?ionis?. 576 16.4 Transport "vertical" : courant tunnel. 578 16.4.1 Courant ?ravers une barri? ..... 578 16.4.2 Courant "?rois dimensions" . . . . . . 582 16.4.3 Transport ?ravers une double barri? 583 IV Annexes 587 A Notations et relations utiles 589 A.1 Notations g?rales . 589 A.2 Atome d'hydrog? . 591 A.3 Hamiltoniens dans les semi-conducteurs 591 A.4 Repr?ntations irr?ctibles 592 A.5 Fonctions de base ... 592 A.6 ??nts de matrice . 593 A.7 Hamiltonien sans spin 593 A.8 Hamiltonien avec spin 594 A.9 Relations entre les param?es de Luttinger et les param?es de Pidgeon-Brown ........................... 595 A.lO Liens entre les param?es de Luttinger et les param?es de Dresselhaus-Kip-Kittel . 596 A.11 Relations li? au spin . . . . . . . . 598 A.12 L'interaction d'?ange ?ctron-trou 599 A.13 Conjugu?de Kramers . 600 A.14 Optique B Seconde quantification B.1 Notations . . . . . 604 B.2 Cas des fermions . . 606 B.2.1 D?nitions . 606 B.2.2 Op?teur ?ne particule 607 B.2.3 Op?teurs de destruction et de cr?ion. 608 B.2A Op?teurs ?eux particules . . . . . 611 B.2.5 Hamiltonien en seconde quantification 612 B.2.6 Op?teurs de champ 612 B.3 Casdesbosons ................. 614 B.3.1 D?nitions 614 B.3.2 Op?teurs de destruction et de cr?ion. 615 B.3.3 Op?teurs de champ 616 BA Enbref .................. 616 B.5 Exemples ................. 617 B.5.1 Op?teur nombre de particules. 617 B.5.2 Op?teur densit?e particules 617 B.5.3 Potentiel de Coulomb . . . . . . 617 B.5.4 Op?teur courant . . . . . . . . 618 B.5.5 ?olution du nombre d'occupation et du moment total. 620 C Transform?de Fourier en physique du solide 625 C.1 Nomenclature. . . . . 625 C.2 Casg?ral . . . . . . 625 C.3 En physique du solide 626 CA Cas particuliers . . . . 628 C.5 Transfouri?temporelle 628 D Constante di?ctrique de Thomas-Fermi et Debye-H?l 629 E Relaxation de spin 633 E.1 G?ralit?sur la relaxation de spin 634 E.1.1 Les deux types de collision . 634 E.1.2 Les diff?nts types d'interaction 635 E.2 Processus de relaxation 636 E.2.1 Relaxation due ?a collision. . . 636 E.2.2 Relaxation entre les collisions . . 639 E.2.3 Relaxation dans la bande de valence 640 F R?stance tunnel 641 F.1 D?nition de la r?stance tunnel 641 F.2 Tempstunnel ........... 643 F.2.1 Introduction 643 F.2.2 Fonction d'onde d'un puits quantique 644 Fo203 Calcul de 8E 646 Fo2.4 Temps tunnel 647 F.3 R?stance tunnel 0 0 648 Fo301 Densit?'?ts ?ne dimension 0 648 Fo3.2 Lien entre le temps tunnel et la diff?nce de potentiel 648 Fo303 Transmission quantique 0 0 0 0 650 Fo3.4 Explicitation du temps tunnel. 650 F.305 Calcul de la r?stance tunnel . 651 G Fonction d'autocorr?tion et approximation de Born 653 Gol D?utsdesurface 0. 0.. 0. 00000. 0.. 0.. 0 654 Go2 Fonction d'autocorr?tion et approximation de Born 0 654 Go2.1 Fonction d'autocorr?tion. 0 0 0 . 0 0 . 654 Go2.2 Relation avec l'approximation de Born 0 655 Go3 Surfacerugueuse 0.. 00000. 0. 0. 00. . 656 Go301 Description de la surface. 0 . 0 . 0 0 . . 656 G.302 Temps de relaxation de la quantit?e mouvement 657 H Courant de probabilit?t masse effective 661 Hol Fonction de conduction sans spin .. 0 . . 662 Ho1.1 Masse effective et fonction d'onde 0 662 Ho1.2 Courant de probabilit? 0 . . . 0 . 662 Ho2 Fonction de conduction avec spin 0 . 0 . . 663 Ho201 Masse effective et fonction d'onde. 663 H.2.2 Courant de probabilit? 664 Ho3 Conclusion . . 00. 0000 665 1 La matrice 30 x 30 667 1.1 Fonctions de base 0. 00. . 000 667 1.2 ??nts de matrice et notations 668 1.3 Lamatrice30x30 00000. 0. 668 J Quelques coefficients de Clebsch-Gordan 681 Jo! Table de compatibilit? 682 Jo2 Table de multiplication 0 0 0 0 0 ..... 0 684 Jo3 Mode d'emploi 00 .. 00. 0.. 0. 00. 685 J.4 Tables de coefficients de Clebsch-Gordan . 686 K Constantes 693 K.l Origine .. 00000000. 000000. 00 693 K.2 Constantes de base 00. 0. . 00. 0. 000 693 K.3 Constantes utiles dans les semi-conducteurs 694 K.4 Equations aux dimensions 0 . . . 0 . 0 . . 0 695 Bibliographie 697