Suites et séries numériques - Suites et séries de fonctions
Les suites et les séries jouent un rôle fondamental en Analyse mathématique. Avec la notion de convergence qui leur est intimement liée, les suites et les séries numériques sont au coeur de la construction d'objets mathématiques essentiels comme les nombres réels ou les intégrales. Par ailleurs, plusieurs fonctions fondamentales, telles [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Suites et séries numériques - Suites et séries de fonctions"
Les suites et les séries jouent un rôle fondamental en Analyse mathématique.
Avec la notion de convergence qui leur est intimement liée, les suites et les séries numériques sont au coeur de la construction d'objets mathématiques essentiels comme les nombres réels ou les intégrales. Par ailleurs, plusieurs fonctions fondamentales, telles que la fonction gamma d'Euler ou la fonction zêta de Riemann, sont obtenues comme limite de suites de fonctions ou comme somme d'une série de fonctions. L'étude de la continuité et de la dérivabilité de telles fonctions conduit très naturellement à la notion cruciale de convergence uniforme.
Ce livre propose un cours détaillé sur tous ces sujets avec un éclairage tout particulier sur les séries entières et les séries de Fourier qui constituent la base de l'Analyse complexe et de l'Analyse de Fourier. L'ensemble est rédigé de manière à être adapté à différents parcours et à différents niveaux, et l'auteur a systématiquement privilégié l'équilibre nécessaire entre les approches abstraites et pratiques.
De nombreux exemples et contre-exemples sont disséminés afin de motiver l'introduction des concepts et techniques. À la fin de chaque chapitre, un grand choix d'exercices rédigés de manière progressive et détaillée permet au lecteur de se familiariser avec les nouvelles notions et de contrôler l'assimilation correcte des points essentiels. En vue des examens et des concours, un chapitre entier propose un grand choix de problèmes d'approfondissement et de synthèse, tous entièrement corrigés.
Cet ouvrage se destine aux étudiants de LI, L2 et L3, et aux candidats au CAPES et à l'Agrégation interne. Mohammed El Amrani est enseignant-chercheur à l'université d'Angers et responsable pédagogique du Master 1 Mathématiques Fondamentales et Appliquées.
Auteurs :
Mohammed El Amrani est enseignant-chercheur à l'université d'Angers et responsable pédagogique du Master 1 Mathématiques Fondamentales et Appliquées.
Sommaire et contenu du livre "Suites et séries numériques - Suites et séries de fonctions"
Table des matières
Avant-propos vii
1 Suites réelles ou complexes 1
1
Exemples de suites définies par récurrence 1
2
Limites de suites o......... 11
3
Suites monotones, suites adjacentes . . . 32
4
SuitesdeCauchy ............. 34
5
Suites récurrentes de type Un+l = f(un ) 38
6
Convergence: vitesse et accélération 39
7
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1 47
2 Séries réelles ou complexes 79
1
Généralités . 79
2
Séries à termespositifs . . . . . . . 85
3
Règles de Cauchy et de D'Alembert 93
4
Séries semi-convergentes . . . . . . 97
5
Produit de Cauchy de deux séries 101
6
Groupement et permutation des termes 103
7
Calcul approché de la somme d'une série 107
8
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2 110
3 Suites de fonctions 139
1
Convergence simple et convergence uniforme 139
2
Convergence uniforme et continuité ..... 145
3
Convergence uniforme et dérivation . . . . . 148
4
Convergence uniforme et intégrale de Riemann 151
5
Convergence uniforme et intégrales impropres 153
6
Théorème d'approximation de Weierstrass .. 156
7
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3 159
4 Séries de fonctions 189
1
Différents modes de convergence 189
2
Convergence uniforme et limite 195
3
Convergence uniforme et continuité 196
4
Dérivation terme à terme...... 197
5
Intégration terme à terme sur un segment 199
6
Intégration terme à terme sur un intervalle 200
7
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4 201
5 Séries entières réelles ou complexes 229
1
Rayon de convergence . 229
2
Opérations sur les séries entières. . 235
3
Convergence uniforme et séries entières 238
4
Propriétés de la fonction somme . . . . 239
5
Fonctions développables en série entière . 241
6
Séries entières classiques . . . . . . . . . 248
7
Fonctions usuelles de variable complexe . 251
8
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5 256
6 Séries de Fourier 287
1
L'espace préhilbertien e27r (lR, C) . 287
2
Séries trigonométriques 295
3
Séries de Fourier . 298
4
Formule de Parseval . 307
5
Noyau et théorème de Dirichlet 311
6
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6 316
7 Problèmes de révision corrigés 343
1
Problèmes sur les suites et les séries numériques 343
2
Problèmes sur les suites et les séries de fonctions . 374
3
Problèmes sur les séries entières . . 390
4
Problèmes sur les séries de Fourier. 399
Bibliographie 431
Index 433
Avis clients
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