Transversalité, Courants et Théorie de Morse - ecole polytechnique - 9782730215855 -
Transversalité, Courants et Théorie de Morse  

Transversalité, Courants et Théorie de Morse
Un cours de topologie différentielle

Les trois premiers chapitres donnent une présentation classique et rapide des variétés et de leurs espaces tangents.Les formes différentielles et les champs de vecteurs sont introduits en insistant sur les formules de changement de coordonnées. La formule de Stokes en découle aisément. Le calcul dit de [...]
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Auteur : 

Editeur :  Ecole Polytechnique

Date parution :

Reliure :
Broché
Nbr de pages :
176
Dimension :
17 x 24 x 1.1 cm
Poids :
358 gr
ISBN 10 :
2730215859
ISBN 13 :
9782730215855
20,50 €
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Quel est le sujet du livre "Transversalité, Courants et Théorie de Morse"

Les trois premiers chapitres donnent une présentation classique et rapide des variétés et de leurs espaces tangents.

Les formes différentielles et les champs de vecteurs sont introduits en insistant sur les formules de changement de coordonnées. La formule de Stokes en découle aisément. Le calcul dit de Lie-Cartan relie les formes différentielles et les champs de vecteurs. La cohomologie des formes différentielles est mise en place mais, dans un premier temps, seule la cohomologie en degré maximal est complètement étudiée.

Le but du cours est d'introduire la théorie de Morse et de montrer qu'avec une fonction de Morse f sur une variété M, munie d'un gradient adapté, on peut obtenir des résultats forts de topologie algébrique, tels que le calcul de la cohomologie de M et la dualité de Poincaré. Les courants de de Rham, ou formes différentielles à coefficients distributions, offrent un bon outil pour atteindre le but fixé.

Le fait nouveau utilisé dans ce cours est que les variétés stables des points critiques de f pour le gradient sont des courants malgré leur complexité a priori comme sous-variétés ouvertes de M. Les théorèmes de transversalité de Thom, qui font l'objet d'un chapitre, ont de nombreuses applications en topologie différentielle, en particulier en théorie des singularités.

Ils donnent la densité des fonctions de Morse, mais surtout l'existence de champs de gradient Morse-Smale, qui justement permettent la construction du fameux complexe de rang fini, aujourd'hui appelé complexe de Morse, lequel calcule la cohomologie de M.

Auteurs :

François Laudenbach est professeur des universités. Il a enseigné successivement à l'université Paris-Sud, à l'École normale supérieure de Lyon et à l'École polytechnique. Il est actuellement professeur émérite de l'université de Nantes. François Labourie est professeur des universités. Il a enseigné à l'École polytechnique et à l'École normale supérieure. Il est actuellement professeur à l'université Paris-Sud.

Sommaire et contenu du livre "Transversalité, Courants et Théorie de Morse - Un cours de topologie différentielle"

Table des matières Introduction 1 Variétés différentiables 1 1.1 Structure différentiable. 1 1.1.1 Modèle ..... 1 1.1.2 Atlas différentiable 1 1.1.3 Anneau des fonctions différentiables 3 1.1.4 Structures identiques, structures isomorphes. 4 1.1.5 Rôle de la régularité Ck . 5 1.2 Exemples de variétés . 5 1.2.1 Sous-variétés (sans bord) 5 1.2.2 Plongements .. 6 1.2.3 Variété quotient 6 1.2.4 Atlas abstrait .. 7 1.3 Le fibré tangent (cao) . 8 1.3.1 Construction de l'espace tangent 8 1.3.2 Application tangente. 10 1.3.3 Transversalité. 10 1.4 Le bord d'une variété ... 11 1.4.1 Cas de JR.~ 11 1.4.2 Cas d'une variété . 12 1.5 Partitions de l'unité ... 12 1.5.1 Paracompacité .. 12 1.5.2 Métriques riemanniennes 13 1.6 Voisinages tubulaires . 14 1.6.1 Fibré normal d'une sous-variété de JR.n 14 1.6.2 Voisinage tubulaire pour une sous-variété de JR.n 14 1.6.3 Cas général . 16 1.7 Aperçu sur la théorie des fibrés . 16 1.7.1 Fibré de fibre type F et de groupe structural G. 17 1.7.2 Fibré vectoriel (réel) de rang n .......... 18 1.7.3 Fibré induit 10 1.7.4 Sous-fibré............... 19 1.7.5 Fibré quotient 20 1.7.6 Le théorème fondamental des fibrés. 21 1.7.7 Basecontractile............ 22 Appendice sur les variét és comme espaces annalés 22 2 Formes différentielles 25 2.1 Algèbre des formes k-linéaires alternées sur ]Rn 25 2.1.1 Base des formes k-linéaires alternées 25 2.1.2 Produit extérieur .... . . . . . . . . 26 2.1.3 Produit intérieur par un vecteur . . . . 26 2.1.4 Composition avec une application linéaire 27 2.2 Formes différentielles sur un ouvert de]Rn . . . . 28 2.2.1 Définition.................. 28 2.2.2 Produit extérieur, composition avec une application 29 2.2.3 Opérateur cobord . . . . . . 29 2.2.4 Cocycles et cobords . . . . . 30 2.3 Formes différentielles sur une variété 31 2.3.1 Cohomologie de De Rham. . 31 2.3.2 Forme volume et orientation. 32 2.3.3 Forme d'aire riemannienne sur une surface orientée de !R3 34 2.3.4 Autre approche pour l'aire riemannienne. . . . . . 35 2.4 Intégration des formes différentielles et formule de Stokes 35 2.4.1 Intégration sur un ouvert de!R~ 35 2.4.2 Intégration sur une variété. . . . . . . . . . . 36 2.4.3 Orientation canonique du bord d'une variété 37 2.4.4 FormuledeStokes ............... 38 2.4.5 La formule de Stokes appliquée aux sous-variétés de !R3 40 2.5 Formulesd'homotopie ................. 41 2.5.1 Formes différentielles sur un produit par [0,1] 41 2.5.2 Opérateur cobord sur un produit par [0,1] . . 42 2.5.3 Formule d'homotopie des images réciproques 42 2.5.4 Lelemme ditdePoincaré ........... 43 2.5.5 Exercices d'application: cohomologie de De Rham en degré maximum.......... 44 2.5.6 Lemme de Poincaré relatif. 45 3 Calcul de Lie -Cartan 47 3.1 Champsdevecteurs .......................... 47 3.1.1 Champs de vecteurs sur un ouvert de !Rn image par un difféomorphisme 47 3.1.2 Champs de vecteurs sur une variété . 47 3.1.3 Flot d'un champ de vecteurs sur une variété sans bord 48 3.1.4 Champs de vecteurs comme dérivation. . . . . . . . . 48 3.1.5 Structure d'algèbre de Lie 50 3.1.6 Crochetetflot . . . . . . 50 3.1.7 Compléments........ 51 3.1.8 Relation entre le crochet des champs de vecteurs et le cobord 53 3.2 Dérivée de Lie des formes différentielles 54 3.2.1 Définition de la dérivée de Lie. 54 3.2.2 Formule de Cartan. . 54 3.2.3 Formules importantes .. . . . 55 3.2.4 Casd'unvolume . . . . . . . . 55 3.2.5 Dérivée de Lie par rapport à un champ dépendant du temps 56 3.3 Un exemple d'application: le lemme MJ2 et le lemme de Morse 57 3.3.1 Le lemme MJ2 ......... 57 3.3.2 Lemmede Morse............... 57 3.3.3 Démonstration du lemme MJ2 ....... 58 3.4 Le lemme de Darboux sur les formes symplectiques 59 3.4.1 Définition................. 59 3.4.2 Lemme de Darboux 59 3.5 Aperçu sur l'intégrabilité des formes de degré 1 61 3.5.1 Le problème du facteur intégrant.. . . . 61 3.5.2 La condition d'intégrabilité de Frobenius. 62 3.5.3 Feuilletage d'un point de vue global 63 3.5.4 LefeuilletagedeReeb . . . . . . . . . . . 64 3.5.5 Exercice: la classe de Godbillon-Vey . . . 65 3.5.6 A l'opposé des formes intégrables, les formes de contact 65 AppendicesurlesgroupesdeLie .................... 67 4 Courants de de Rham 71 4.1 Définitiondes courants............... 71 4.1.1 Première définition et premiers exemples. 71 4.1.2 Définition locale ... 72 4.1.3 Exemple........... 73 4.1.4 Remarque importante . . . 73 4.1.5 Image directe d'un courant 73 4.2 Le complexe des courants . . . . 75 4.2.1 L'opérateur bord. . . . . . 75 4.2.2 Le complexe des courants . 76 4.2.3 Intérêt du complexe des courants 77 4.3 Régularisation des courants . . . . . . . 78 4.3.1 Le théorème de régularisation. . 78 4.3.2 Régularisation d'une distribution dans une boule 79 4.3.3 Régularisation d'un courant dans une boule 80 4.3.4 Régularisation dans la variété . . . . . . . . . . . 81 4.3.5 Compléments.................... 82 4.3.6 Régularisation d'une sous-variété vue comme courant 82 4.3.7 Bilan provisoire . Tranversalité 5.1 Le théorème de Sard 5.1.1 Définitions . 5.1.2 Théorème de Sard 5.1.3 Démonstration du théorème de Sard 5.2 Existence de fonctions de Morse. 5.2.1 Définition . 5.2.2 Le théorème d'existence . 5.3 De Sard à Thom . 5.3.1 Transversalité dans une famille 5.3.2 Topologie de COO(M, N) .... 5.3.3 Le théorème de transversalité (version locale) 5.3.4 Le théorème de transversalité (version globale) 5.4 Transversalité sous contraintes . 5.4.1 Transversalité locale d'une famille 5.4.2 Passage au global. . . . 5.5 Théorèmes de Whitney . 5.5.1 Théorème d'immersion . . 5.5.2 Théorème de plongement. 5.6 La transversalité et les fonctions de Morse Théorie de Morse 6.1 Fonctions de Morse, gradients adaptés 6.1.1 Rappels et définitions . . . . . 6.1.2 Gradient . 6.1.3 Gradient adapté à une fonction de Morse 6.2 Questions de complétude, condition de Palais -Smale 6.2.1 Métrique riemannienne complète 6.2.2 La condition de Palais-Smale 6.2.3 Sous-niveaux d'une fonction. 6.2.4 Contrôle de la dynamique . 6.2.5 Fonction sans point critique 6.3 Principe du mini-max . 6.3.1 L'idée sur un exemple . . . 6.3.2 Principe du mini-max sur les formes fermées 6.3.3 Mini-max sur les formes de degré 0 ..... 6.3.4 Mini-max sur les formes de degré maximal. 6.3.5 Continuité par rapport à un paramètre .. 6.4 Le modèle de Morse et ses premières applications 6.4.1 Description du modèle M (n = 2, k = 1) 6.4.2 Description du modèle dans le cas général 6.4.3 Globalisation du lemme homotopique .. 87 87 87 88 89 90 90 91 92 92 94 94 96 97 97 98 98 98 100 102 105 106 106 107 107 108 108 109 110 110 111 112 112 112 113 114 114 114 115 116 117 6.4.4 Application au mini-max 117 6.4.5 L'inégalité de Ljusternik-Snirel'man 118 6.5 Le complexe de Thom-Smale 119 6.5.1 Variétés stables et instables des points critiques. 119 6.5.2 Transversalité des variétés stables et instables. 120 6.5.3 Description de l'adhérence des variétés stables. 121 6.5.4 Définition de n(x, y). ............... 122 6.5.5 Les variétés stables comme courant. . . . . . . 122 6.5.6 La formule de Stokes, bord des variétés stables 123 6.5.7 Le complexe de Thom-Smale algébrique . . . . 124 6.5.8 Inégalités de Morse pour le complexe de Thom-Smale 124 6.5.9 Cas particulier, dit lacunaire. . . . . . . . . . 125 6.5.10 Polynôme de Poincaré et polynôme de Morse 126 6.6 Homologie du complexe de Thom-Smale . 126 6.6.1 Un premier critère d'exactitude. . . . . . . . 126 6.6.2 Le complexe de Thom-Smale dual 128 6.6.3 Régularisation des variétés stables ou instables 129 6.6.4 Des formes différentielles aux courants de Thom-Smale . 129 6.6.5 Théorème fondamental. . . . . . . . . . 131 6.7 Éléments de topologie algébrique des variétés . 132 6.7.1 Finitude de la cohomologie de de Rham 133 6.7.2 Nombre de Betti . . . . . . 133 6.7.3 La cohomologie des sphères 133 6.7.4 La dualité de Poincaré. 133 6.7.5 Inégalités de Morse. . . .. 134 6.7.6 Théorème de de Rham. . . 136 6.7.7 Formule de Künneth ou formule du produit 137 6.8 Décomposition de Heegaard 138 6.8.1 Anse,corps enanses ............ 138 6.8.2 SurfacedeHeegaard . . . . . . . . . . . . 140 Appendice : Adhérence générique des variétés stables . 142 Exercices 151 E.l Variétés ....... 151 E.2 Fibrés ........ 153 E.3 Algèbre multilinéaire 155 E.4 formes différentielles 156 E.5 Champ de vecteurs 162 E.6 Transversalité. 164 E.7 Courants 168 E.8 Mini-max . . . 169 E.9 Théorie de Morse 170 Index 173

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