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Vecteurs, matrices et nombres complexes

Vecteurs, matrices et nombres complexes - modulo (canada) - 9782896504664 -
Vecteurs, matrices et nombres complexes 
Livre Epuisé
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Les maths apprivoisées
Année : 12/2017 

Auteur : 

Editeur : Modulo (canada)

Date parution :  (2ème édition)

Ce manuel préserve les caractéristiques fondamentales qui ont fait le succès de la première édition.

Tout d'abord, l'ordre de présentation et le traitement des sujets y suivent toujours la voie naturelle d'une approche géométrique. Ensuite, on y retrouve les chapitres sur les transformations linéaires (dans le plan), sur les nombres complexes et sur l'introduction à la théorie des groupes. Cette deuxième édition propose par ailleurs de nombreuses nouveautés et améliorations, et ce, tant sur la forme que sur le fond. En effet, non seulement l'ouvrage bénéficie d'une nouvelle maquette, mais l'auteur y tient compte des développements technologiques récents en relation avec les sujets initialement à l'étude. Enfin, une annexe sur les coniques s'ajoute également au contenu.

C'est véritablement sur un choix d'exercices savamment dosés que repose l'édifice de cet ouvrage. Ainsi, si l'étudiant n'a parfois qu'à calculer, dans d'autres cas, il lui faudra illustrer, construire, analyser, généraliser, particulariser, montrer ou prouver. Pour stimuler la créativité et favoriser l'approfondissement des connaissances, les sections « Pour aller plus loin » proposent compléments théoriques, pistes de recherches, lectures complémentaires, liens sur le web et suggestions de travaux pratiques (infographie, géopositionnement, stéréogrammes, etc.).

Sur Modulo en ligne, le professeur trouvera les solutions détaillées des exercices du livre, des exemples d'examens avec leurs solutions ainsi que des diaporamas couvrant une session complète.

Vincent Papillon a enseigné les mathématiques pendant 35 ans au Collège Jean-de-Brébeuf. Titulaire d'une maîtrise en logique mathématique de l'Université de Montréal, il a toujours été actif au sein de l'Association mathématique du Québec, comme administrateur, comme animateur de nombreux ateliers et comme auteur de plusieurs articles. Il fait partie des pionniers qui ont popularisé les Ateliers du groupe Mathécrit dans les années 1970 et qui ont contribué à la naissance de la maison d'édition Modulo.

Dimitri Zuchowski enseigne les mathématiques au Cégep de Saint-Laurent depuis 2004. Il est titulaire d'une maîtrise en algèbre de l'Université de Montréal.

Auteurs :

Vincent Papillon a enseigné les mathématiques pendant 35 ans
au Collège Jean-de-Brébeuf. Titulaire d'une maîtrise en
logique mathématique de l'Université de Montréal, il a
toujours été actif au sein de l'Association mathématique du
Québec, comme administrateur, comme animateur de
nombreux ateliers et comme auteur de plusieurs articles. Il fait
partie des pionniers qui ont popularisé les Ateliers du groupe
Mathécrit dans les années 1970 et qui ont contribué à la
naissance de la maison d'édition Modulo. Dimitri Zuchowski
enseigne les mathématiques au Cégep de Saint-Laurent depuis
2004. Il est titulaire d'une maîtrise en algèbre de l'Université
de Montréal.


En suivant ce lien, retrouvez tous les livres dans la spécialité Mathématiques.

Descriptif : 

Reliure :
Broché
Nbr de pages :
408
Dimension :
20,2cm x 25,3cm x 1,5cm
Poids :
724 gr
ISBN 10 :
2896504664
ISBN 13 :
9782896504664
52,00 €
Epuisé
Cet ouvrage n'est plus commercialisé
par l'éditeur
 (en savoir+)

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Sommaire

TABLE DES MATIÈRES

REMERCIEMENTS III

AVANT·PROPOS v

CHAPITRE 1 POINTS ET VECTEURS 1

Quelques conventions de dessin 1

Les points, les vecteurs et les scalaires dans les espaces euclidiens 3

1.1.1
Les espaces euclidiens 4

1.1.2
Les points, les vecteurs et les translations 5

1.1.3
Les opérations sur les vecteurs 6

1.1.4
Les propriétés des opérations sur les vecteurs 9

1.1.5
Opération des vecteurs sur les points la
Exercices LI 12


Les composantes des vecteurs 15

1.2.1
Les combinaisons linéaires de vecteurs 15

1.2.2
La dépendance et l'indépendance linéaires 16

1.2.3
Une base d'un espace 19

Exercices 1.2 25


Les coordonnées des points 27

1.3.1
Les repères dans un espace 27

1.3.2
Les opérations sur les coordonnées et les composantes 28

1.3.3
Les repères orthonormés dans IR2, IR] et IR' 33

Exercices 1.3 35

Pour aller plus loin 39

1.4.1
L'axiomatisation de la géométrie 39

1.4.2
Les espaces vectoriels et les espaces affines 40

1.4.3
La démonstration du théorème de la dimension 41

CHAPITRE 2 LONGUEURS, DISTANCES ET ANGLES 45

Les longueurs et les distances 45

2.1.1
La longueur (norme) d'un vecteur 45

2.1.2
La distance entre deux points 47

2.1.3
Les vecteurs unitaires 47

2.1.4
Les lieux géométriques 48

Exercices 2.1 50

fJt Le produit scalaire et le calcul d'angles 52

2.2.1
Le produit scalaire de deux vecteurs 52

2.2.2
L'angle entre deux vecteurs 56

2.2.3
La loi des cosinus et le produit scalaire 61

2.2.4
Les projections orthogonales 61

2.2.5
Les coordonnées sphériques 64

Exercices 2.2 67

~l§ Pour aller plus loin 72

2.3.1
Les cinq solides de Platon 73

2.3.2
Un peu de latitude 75

CHAPITRE 3 AIRES ET VOLUMES 79

fi Les déterminants 2 x 2 et 3 x 3 79

3.1.1
L'orientation dans IR2 79

3.1.2
Les déterminants 2 x 2 80

3.1.3
L'orientation dans IRJ 88

3.1.4
Les déterminants 3 x 3 89

3.1.5
Quelques applications des déterminants 3 x 3 97

Exercices 3.1 101

ΠLe produit vectoriel et le produit mixte dans IRJ 105

3.2.1
Le produit vectoriel dans IRJ: Ü / li 105

3.2.2
Les propriétés du produit vectoriel ' 108

3.2.3
Le produit mixte de trois vecteurs dans IRJ 112

Exercices 3.2 113

fJt Pour aller plus loin 116

3.3.1
Le modèle vectoriel du dessin en perspective centrale 116

3.3.2
Les stéréogrammes 122

3.3.3
La distributivité du produit vectoriel sur la somme vectorielle 125

CHAPITRE 4 DROITES ET PLANS 129


Les droites ~ 129

4.1.1
Les équations vectorielles et paramétriques des droites dans IR2
et dans IRJ 129

4.1.2
Les équations non paramétriques des droites dans IR2 132

4.1.3
Les équations non paramétriques des droites dans IRJ 134

4.1.4
La distance d'un point à une droite 135

4.1.5
La position relative de deux droites 137

4.1.6
La distance entre deux droites '' 139

Exercices 4.1 140

~
_ Les plans 144

4.2.1
Les équations vectorielles et paramétriques des plans dans IR} 144

4.2.2
Les équations non paramétriques des plans dans IR} 145

4.2.3
Un vecteur normal à un plan 146

4.2.4
La distance d'un point à un plan 147

4.2.5
La position relative de deux plans dans IR} 149

4.2.6
L'angle dièdre entre deux plans 150

Exercices 4.2 152

~ftë _ _ Pour aller plus loin 155

CHAPITRE 5 SYSTÈMES D'ÉQUATIONS UNÉAIRES 159

i'1IIJi
Les systèmes d'équations linéaires et les matrices 159

5.1.1
Définitions 160

5.1.2
La méthode d'élimination 161

5.1.3
La matrice des coefficients et la matrice augmentée d'un système 162

5.1.4
Les matrices ERL 164

5.1.5
Les matrices L-équivalentes 165

5.1.6
L'algorithme de réduction de Gauss-Jordan 167

5.1.7
La méthode de résolution de Gauss-Jordan 170

Exercices 5.1 173

Pff ,_ Les positions relatives de deux droites dans IR2 ou de trois plans dans IR} .... 177

5.2.1
L'interprétation géométrique des systèmes de deux équations linéaires

à deux inconnues dans IR2 178

5.2.2
L'interprétation géométrique des systèmes de trois équations linéaires

à trois inconnues dans IR} 179

Exercices 5.2 180

rif Pour aller plus loin 181

5.3.1
Qu'est-ce que la programmation linéaire? 182

5.3.2
L'unicité de la forme ERL d'une matrice 184

5.3.3
Le GPS et les équations linéaires 185

CHAPITRE 6 MATRiCES 187

(il Le langage matriciel 187

6.1.1
Les matrices: définitions et notations 188

6.1.2
Les matrices particulières 190

6.1.3
Les opérations sur les matrices 192

6.1.4
Le produit matriciel. 194

6.1.5
Quelques interprétations du produit matriciel 197

Exercices 6.1 204

'1t
Les matrices élémentaires et les matrices inversibles 208

6.2.1
Les matrices élémentaires 208

6.2.2
Les matrices carrées inversibles 209

Exercices 6.2 215


Le déterminant d'une matrice carrée 217

6.3.1
Les déterminants n x n : définition et propriétés intrinsèques 217

6.3.2
Les propriétés des déterminants relatives aux opérations sur
les matrices 220

6.3.3
La méthode d'inversion par la matrice adjointe 222

Exercices 6.3 225


Économie et matrices: le modèle de Leontief 227

6.4.1
Un cas d'analyse intersectorielle 227

Exercices 6.4 230


Pour aller plus loin 231

6.5.1
L'associativité du produit matriciel. 231

6.5.2
L'étude des matrices de transition 232

6.5.3
L'algorithme simplifié de PageRank 233

6.5.4
Quelques démonstrations pour les déterminants 237

CHAPITRE 7 'rRANSFORMATIONS LINÉAIRES DANS IR2 239

Les transformations dans IR2 240

7.1.1
Des définitions et des exemples .· 240

7.1.2
Les matrices et les transformations linéaires 246

7.1.3
Comment trouver la matrice d'une transformation linéaire 249

Exercices 7.1 251

Les homothéties, les rotations et les réflexions 254

7.2.1
Les étirements et les homothéties 254

7.2.2
Les rotations autour de l'origine 257

7.2.3
Les réflexions autour de droites passant par l'origine 259

7.2.4
Les matrices orthogonales 262

7.2.5
Le facteur de changement d'aire 263

Exercices 7.2 265


D'autres transformations linéaires 268

7.3.1
Les cisaillements 268

7.3.2
Les projections 270

Exercices 7.3 272

Ut
__ Les points fixes et les directions invariantes, les valeurs propres

et les vecteurs propres 273

7.4.1
Les points fixes d'une transformation linéaire 274

7.4.2
Les directions invariantes ou les vecteurs propres 274

Exercices 7.4 277

tlf Pour aller plus loin 278

7.5.1
Les transformations affines dans IR2 278

7.5.2
Les rotations et les réflexions dans IR3 280

CHAPITRE 8 NOMBRES COMPLEXES 285

[:15• _ L'ensemble C des nombres complexes 286

8.1.1
Le produit complexe dans IR2 286

8.1.2
La définition des nombres complexes 291

8.1.3
L'arithmétique complexe 292

Exercices 8.1 294

GJf _ Les puissances et les racines des nombres complexes 296

8.2.1
La notation polaire des nombres complexes 296

8.2.2
La formule de Moivre et la formule d'Euler 298

8.2.3
Les racines de nombres complexes 300

8.2.4
Les équations quadratiques à coefficients complexes 302

Exercices 8.2 303

Le théorème fondamental de l'algèbre 304

8.3.1
Le théorème fondamental 305

8.3.2
Les polynômes à coefficients réels 306

Exercices 8.3 307

[7'
Les transformations affines avec les nombres complexes 307

8.4.1
L'interprétation géométrique de la multiplication
et de l'addition 308

8.4.2
L'interprétation géométrique de la conjugaison 310

Exercices 8.4 312

E:Υ _ Pour aller plus loin 313

8.5.1
Les formules de résolution par radicaux des équations algébriques
de degrés 3 et 4 314

8.5.2
L'heuristique de la preuve du théorème fondamental de l'algèbre 314



8.5.3 Les nombres complexes animés 316
8.5.4 Les quaternions 317
CHAPITRE 9 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES 319
Les entiers modulo n 319
9.1.1 La congruence modulo n 319
9.1.2 L'arithmétique modulo n 320 Exercices 9.1 323
La structure de groupe 323
9.2.1 Les axiomes de la structure de groupe 323
9.2.2 Les sous-groupes d'un groupe 326 Exercices 9.2 327
Pour aller plus loin 328
9.3.1 Des suggestions de lecture 328
9.3.2 Un critère d'inversibilité dans 7L. n relativement à la multiplication modulo n 329
ANNEXE CONIqUES 331
Les équations canoniques des trois formes 331
A.I.I Le type parabole 332
A.1.2 Le type ellipse 333
A.1.3 Le type hyperbole 335
L'équation générale d'une conique 335
A.2.1 Le problème 337
Forme quadratique 337
A.3.1 Le changement de variable 339
A.3.2 Diagonalisation 340
A.3.3 Rotation et translation de coniques 343 Exercices 345
CORRIGÉ .................................................................. 349


Exercices 1.1 349
Exercices 1.2 350
Exercices 1.3 352

Exercices 2.1 354
Exercices 2.2 355


[;rN.,iJ·

Exercices 3.1 356
Exercices 3.2 358


Exercices 4.1 359
Exercices 4.2 362
Questionnaire sur la perception spatiale 364
r;iP;J,ii1:J:
Exercices 5.1 364
Exercices 5.2 366


Exercices 6.1 366
Exercices 6.2 368
Exercices 6.3 369
Exercices 6.4 370


Exercices 7.1 Exercices 7.2 Exercices 7.3 Exercices 7.4 - 371 373 376 378
[:r;q.,iiJ:J:
Exercices 8.1 Exercices 8.2 Exercices 8.3 Exercices 8.4 380 381 382 383
(:Ii,±,;J).;l:fi
Exercices 9.1 Exercices 9.2 384 385


Exercices 387
INDEX 389