Analyse : concepts et contextes Vol 1
Fonctions d'une variable

Sommaire et contenu du livre "Analyse : concepts et contextes Vol 1 - Fonctions d'une variable"

Table des matières Avant-Propos VIII À l'étudiant xvii Tests diagnostiques xviii Un aperçu du calcul différentiel et intégral 3 Fonctions et modèles 11 1.1 Quatre manières de présenter une fonction 12 1.2 Modèles mathématiques: un catalogue de fonctions essentielles 25 1.3 De nouvelles fonctions avec des anciennes 37 1.4 Des graphiques par calculatrices et ordinateurs 46 1.5 Les fonctions exponentielles 52 1.6 Les fonctions réciproques et les logarithmes 61 1.7 Les courbes paramétrées 71 Sujet d'étude • Des cercles qui roulent sur des cercles 79 Révision 80 les principes de la résolution de problèmes 83 Limites et dérivées 89 2.1 Les problèmes de tangente et de vitesse 90 2.2 La limite d'une fonction 95 2.3 Calcul des limites par les lois algébriques des limites 104 2.4 La continuité 113 2.5 Les limites infinies et à l'infini J23 2.6 Dérivées et taux de variation 135 Sujet d'étude. Les premières méthodes de recherche de tangente 145 2.7 La dérivée comme fonction 146 2.8 Que dit f' à propos de f? 158 Révision 164 Priorité à la résolution de problème 169 TABLE DES MATIÈRES Les règles de dérivation 173 3.1 Les dérivées des fonctions polynomiales et exponentielles 174 Projet appliqué • Construire une aire de jeu bien vallonnée. 183 3.2 Les règles de dérivation du produit et du quotient 183 3.3 Les dérivées des fonctions trigonométriques 190 3.4 La dérivation des fonctions composées 197 SUjet à sécouvrir • Les courbes de Bézier 208 Projet appliqué. Où un pilote doit-il amorcer la descente? 21]9 3.5 La dérivation implicite 209 3.6 Les fonctions trigonométriques réciproques et leurs dérivées 216 3.7 Les dérivées des fonctions logarithmes 221 3.8 Les taux de variation en sciences naturelles et en sciences sociales 228 3.9 Les approximations affines et les différentielles 240 SUjet d'étude. Les polynômes de Taylor 247 Révision 248 Priorité à la résolution de problème 251 Des applications de la dérivée 255 4.1 Les vitesses liées 256 4.2 Valeurs maximales et minimales 262 Étude appliquée • Le calcul différentiel appliqué aux arcs-en-ciel 270 4.3 Les dérivées et les formes des courbes 271 4.4 Étude de fonctions à l'aide du calcul différentiel et des calculatrices 282 4.5 Les formes indéterminées et la règle de l'Hospital 290 Sujet de rédaction. Les origines de la règle de l'Hospital 299 4.6 Les problèmes d'optimisation 299 Projet appliqué. Le gabarit d'une boîte de conserve 311 4.7 La méthode de Newton 312 4.8 Les primitives 317 Révision 323 Priorité à la résolution de problème 327 Les intégrales 331 5.1 Des aires et des distances 332 5.2 L'intégrale définie 343 5.3 Le calcul des intégrales définies 356 SUjet à découvrir. Les fonctions d'aires 5.4 Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral 367 Sujet de rédaction • Newton, Leibniz et l'invention du calcul différentiel et intégral 374 5.5 La Règle d'intégration par substitution 375 5.6 L'intégration par parties 383 5.7 D'autres techniques d'intégration 389 5.8 L'intégration à partir des tables et de logiciels de calcul symbolique 394 Sujet à découvrir. Des familles d'intégrales 400 5.9 L'intégration approchée 401 5.10 Les intégrales impropres 413 Révision 423 Priorité à la résolution de problème 428 Des applications des intégrales 431 6.1 Du nouveau sur les aires 432 6.2 Les volumes 438 Sujet à découvrir. Rotation autour d'une droite inclinée 448 6.3 Les volumes par les tubes cylindriques 449 6.4 La longueur d'un arc de courbe 455 Sujet à découvrir. Concours de longueur d'arc 460 6.5 Valeur moyenne d'une fonction 460 Projet appliqué. Quelle est la meilleure place au cinéma 7 464 6.6 Applications en physique et en sciences appliquées 464 Sujet à découvrir. Des tasses complémentaires 475 6.7 Applications en économie et en biologie 476 6.8 Probabilité 480 Révision 487 Priorité à la résolution de problème 491 TABLE DES MATIÈRES Les équations différentielles 493 7.1 Modéliser avec des équations différentielles 494 7.2 Les champs de directions et la méthode d'Euler 499 7.3 Les équations différentielles à variables séparées 508 Projet appliqué. À quelle vitesse une citerne se vide-t-elle ? 517 Projet appliqué. Qu'est-ce qui est plus rapide, monter ou redescendre? 518 7.4 Croissance et décroissance exponentielle 519 Projet appliqué. Le calcul différentiel et intégral et le base-bail 529 7.5 L'équation logistique 530 7.6 Les systèmes proie-prédateur 540 Révision 547 Priorité à la résolution de problèmes 551 Les suites infinies et les séries 553 8.1 Les suites 554 SUjet d'étude. Les suites logistiques 564 8.2 Les séries 565 8.3 Le test de l'intégrale et le test de comparaison; le calcul des séries 575 8.4 D'autres tests de convergence 585 8.5 Les séries entières 592 8.6 Les développements des fonctions en séries entières 598 8.7 Les séries de Taylor et Mac Laurin 604 SUjet d'étude • Une limite insaisissable 618 Sujet de rédaction • Comment Newton découvrit la série du binôme 618 8.8 Les applications des polynômes de Taylor 619 Projet appliqué • Le rayonnement des étoiles 627 Révision 628 Priorité à la résolution de problème 631 TABLE DES MATIÈRES _Annexes A1 A Intervalles, inégalités et valeurs absolues A2 B Géométrie analytique A7 C Trigonométrie A17 o Les définitions formelles des limites A26 E Quelques démonstrations A35 F La notation ~ A37 G Intégration des fonctions rationnelles par décomposition en éléments simples A43 H Les coordonnées polaires A5l 1 Les nombres complexes A67 J Réponses aux exercices impairs A76