Bible de Physique PC - PC*

Sommaire et contenu du livre "Bible de Physique PC - PC*"

TABLE DES MATIERES Pages Avant-propos 5 Les deux fois dix commandements pour apprenti physicien 7 PREMIERE PARTIE: RAPPELS DE PREMIERE ANNEE Présentation de la première partie 15 Chapitre 1 : De la signification concrète de certaines opérations mathématiques 1/ Dérivation I7 1.1) Définition 17 1.2) Développement au premier ordre 18 1.3) Développements de Taylor-Maclaurin 19 III Intégration 20 II. 1) Définition 20 II.2) Sonunations 20 11.3) Densités 21 Chapitre 2 : Unités et analyse dimensionnelle 1/ Systèmes d'unités 24 1.1) Grandeurs de base 24 1.2) Définition du Système International 24 1.2.a) Choix des grandeurs de base 24 1.2.b) Grandeurs dérivées -équations aux dimensions 25 11/ Etalons du Système International 26 II.1) Etalons de longueur et de temps 26 II.2) Autres étalons de base 27 111/ Unités S.I. dérivées 28 IVI Notions sur d'autres systèmes d'unités 28 VI Applications de l'analyse dimensionnelle 29 V.1) Principe d'homogénéité 29 V.2) Changements et recherches d'unités 30 V.3) Recherche de lois physiques 30 Annexe 1 : Multiplicateurs S.f. 31 Annexe 2 : Constantes universelles usuelles 32 Chapitre 3 : Cinématique du point matériel 1/ Paramétrages spatiaux 35 1.1) Paramétrage cartésien 35 1.2) Paramétrage cylindrique 36 1.3) Paramétrage sphérique 36 III Vitesse 37 II. 1) Définition 37 II.2) Composantes de la vitesse 38 1I.2.a) Composantes cartésiennes 38 lI.2.b) Composantes cylindriques 38 III! Accélération 39 ill.l) Définition 39 111.2) Composantes de l'accélération 39 Ill.2.a) Composantes cartésiennes 39 Ill.2.b) Composantes cylindriques 39 IV1 Mouvements particuliers 39 IV.l) Mouvements rectilignes 39 IV.2) Mouvements circulaires plans 40 lV.2.a) Définition 40 1V.2.b) Mouvement circulaire uniforme 40 lV.2.c) Vecteur rotation instantanée 41 IV.3) Mouvement hélicoïdal 41 IVA) Mouvement à accélération centrale 42 IV.4.a) Constante des aires 42 lVA.b) Formules de Binet 42 Chapitre 4 : Mécanique du point matériel I! Postulat fondamental de la dynamique (p.F.D.) 45 1.1) Définition du point matériel -Conséquences 45 1.2) Eléments cinétiques d'un point matériel 46 1.3) Postulat fondamental de la mécanique newtonienne 47 lA) Interprétation et conséquences immédiates du P.F.D. 48 lA.a) Loi du mouvement 48 lA.b) « Principe» d'inertie 49 1.5) Changement de référentiels 49 I.5.a) Lois de composition des vitesses et des accélérations 49 I.5.b) P.F.D. et référentiel quelconque 51 1.6) Théorème du moment cinétique 52 I.6.a) Expression générale 52 1.6.b) Expression scalaire 53 ID Approche énergétique 55 II.1) Puissance et travail d'une force 55 11.2) Force conservative et énergie potentielle 55 II.3) Théorème de la puissance cinétique 56 lIA) Théorème de l'énergie cinétique 57 11.5) Théorème de l'énergie mécanique 58 Chapitre 5 : Exemples de systèmes physiques linéaires du premier ordre I! De la linéarité 62 II! Systèmes linéaires d'ordre 1 65 II.1) Définitions 65 II.2) Réponse du système en régime libre 65 1111 Régime forcé 66 III. 1) Position du problème 66 III.2) Résolution par la méthode harmonique 67 Chapitre 6 : Exemples de systèmes physiques linéaires du second ordre Il Définitions 72 III Etude de l'oscillateur en régime libre 72 1111 Oscillations en regime forcé 74 DU) Résonance de position 74 III.2) Résonance en vitesse 76 IVI Aspect énergétique 78 IV. 1) Oscillateur harmonique en régime libre 78 IV.2) Oscillateur amorti en régime libre 78 IV.3) Oscillateur amorti en régime forcé 79 IVA) Signification énergétique du facteur de qualité 80 DEUXIEME PARTIE: MECANIQUES DES SOLIDES Présentation de la deuxième partie 83 Chapitre 7 : Mécanique des systèmes matériels discrets Il Système matériel discret 85 1.1) Eléments cinétiques d'un système de points matériels 85 1.2) Centre d'inertie 86 1.2.a) Définition 86 1.2.b) Autre expression de la résultante cinétique 86 1.2.c) Référentiel barycentrique (ou du centre de masse) 87 1.3) Théorèmes de Konig 88 1.3.a) Théorème de Konig pour le moment cinétique 88 1.3.b) Théorème de Konig pour l'énergie cinétique 90 III Théorèmes de la mécanique des systèmes matériels discrets 90 il. 1) Principe des actions réciproques 90 11.2) Théorème de la résultante cinétique et du centre d'inertie 91 il.3) Théorème du moment cinétique 92 IW Théorèmes énergétiques 93 Ill. 1) Puissances des actions mécaniques intérieures 93 III.2) Théorèmes de la puissance et de l'énergie cinétique 94 ID.3) Théorème de la puissance et de l'énergie mécanique 95 Chapitre 8 : Cinématique du solide Il Définition d'un solide matériel 97 LI) Système indéformable 97 1.2) Solide discret -Solide continu 98 1.3) Masse d'un solide 100 lA) Centre d'inertie d'un solide 101 III Eléments cinématiques d'un solide 102 Ill) Champ des vitesses d'un solide 102 112) Relation fondamentale de la cinématique des solides (R.F.C.S.) 103 11.3) Interprétation de la RFCS 104 II.3.a) Exemples de mouvements d'un solide 104 II.3.b) Mouvement général d'un solide 104 II.4) Champ des accélérations d'un solide 105 nIl Application aux changements de réferentiels 106 m.l) Vitesse et accélération d'entraînement 106 m.2) Référentiel barycentrique 107 Chapitre 9 : Cinétique du solide Il Eléments cinétiques d'un solide 109 1.1) Définitions 109 1.2) Autre expression de la résultante cinétique 110 1.3) Théorèmes de Konig 110 III Solide à un seul degré de rotation 112 II.1) Expression du moment cinétique scalaire 112 II.2) Moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe 113 II.3) Energie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe 114 nIlThéorèmes de Konig pour un solide Ils IVI Eléments dynamiques d'un solide 117 IV.l) Définitions 117 IV.2) Théorème de Konig pour le moment dynamique 117 IV.3) Autre expression du moment dynamique 118 Chapitre 10 : Dynamique du solide Il Loi fondamentale de la dynamique (L.F.D.) 123 1.1) Questionnement préalable 123 1.2) Enoncé de la L.F.D. des solides 124 1.3) Théorèmes d'application 125 1.4) Cas particuliers importants 126 IA.a) Solide en translation 126 IA.b) Solide en rotation autour d'un axe fixe 126 IA.c) Solide ne présentant qu'un degré de rotation 127 IA.d) Mouvement inertiel d'un solide matériel 127 III Approche énergétique 128 11.1) Théorème de la puissance cinétique 128 II.2) Théorème de l'énergie cinétique 130 II.3) Théorème de l'énergie mécanique 130 II.4) Analogie formelle translation-rotation 131 nIl Equilibre d'un solide matériel 132 111.1) Définition de l'équilibre d'un solide matériel 132 1112) Détermination dynamique d'un équilibre 133 111.3) Détermination énergétique d'un équilibre 134 Chapitre Il : Exemples de rotation d'un solide autour d'un axe fixe Il Pendule de torsion 137 U) Définition et conséquences 137 1.2) Etude du mouvement du pendule 139 IIJ Pendule pesant 140 Chapitre 12 : Liaisons entre solides Il Généralités 143 III Approche cinématique 145 II. 1) Vitesse de glissement 145 II.2) Roulement et pivotement 147 IIIl Lois du frottement solide 148 m.l) Modélisation des actions de contact 148 III.2) Lois de Coulomb 149 IlI.2.a) Première loi de Coulomb 149 IlI.2.b) Lois de Coulomb sans glissement 150 IlI.2.c) Lois de Coulomb avec glissement 151 IlI.2.d) Cône de frottement 151 IVI Puissance des actions de contact 152 VI Procédure raisonnée de résolution d'un problème de mécanique 153 V.l) Organigranune méthodologique 153 V.2) Mise en œuvre de la méthode 155 Correction des A. I.D.E. de la deuxième partie 157 TROISIEME PARTIE: CINEMATIQUE DES FLUIDES Présentation de la troisième partie 173 Chapitre 13 : Notions de cinématique des milieux continus Il Ecoulement fluide 175 1.1) Critère de continuité 175 1.2) Définitions 177 1.3) Méthodes d'étude d'un écoulement 177 I.3.a) Méthode lagrangienne 178 1.3.b) Méthode eulérienne 180 104) Généralisation: champs scalaires et vectoriels 182 1.5) Trajectoires -Lignes de courant -Lignes de champ 183 1.5.a) Trajectoires 183 I.5.b) Lignes de courants 184 l.5.c) Lignes et tubes de champ 185 IIJ Dérivation totale 186 lU) Dérivée totale d'un champ scalaire 186 II.2) Généralisation et interprétation 188 n.3) Opérateur nabla 189 II.3.a) Définition 189 II.3.b) Gradient 190 III! Champ des accélérations d'un écoulement 191 IIU) Définition 191 III.2) Décomposition de Lamb 192 111.3) Rotationnel 193 Chapitre 14 : Débit et flux I! Définitions 195 U) Débit volumique d'un écoulement 195 1.2) Première condition aux limites sur les vitesses 196 1.3) Flux d'un champ vectoriel 197 III Théorème d'Ostrogradski 198 II.1) Surface de contrôle et volume particulaire 198 II.2) Expression du débit volumique sortant d'une surface fennée 199 II.2.a) Débit volumique sortant d'un volume mésoscopique 199 II.2.b) Divergence du champ des vitesses 200 II.2.c) Débit volumique sortant d'une surface fermée 200 11.3) Enoncé du théorème d'Ostrogradski 202 II.3.a) Enoncé local et divergence d'un champ vectoriel 202 II.3.b) Enoncé intégral 202 III! Quelques remarques sur les opérateurs 203 111.1) Expression de la divergence en paramétrage cylindrique 203 m.2) Retour sur l'opérateur nabla 204 m.3) Deux ou trois fonnules d'analyse vectorielle 205 Chapitre 15 : Ecoulements incompressibles I! Incompressibilité d'un écoulement 207 1.1) Définition 207 1.2) Ecoulement à débit volumique conservatif 207 1.3) Condition cinématique d'incompressibilité 210 III Champ à flux conservatif (C.F.C.) 210 II.1) Définition et propriétés 210 II.2) Potentiel vecteur 211 Chapitre 16 : Ecoulements rotationnels I! Lois de Curie 213 II! Rotationnalité d'un écoulement 215 II.!) Cinématique du solide et analyse vectorielle 215 II.2) Vorticité et champ tourbillon 216 II.3) Modèle du tourbillon cylindrique 218 III! Circulation d'un champ vectoriel 219 III. 1) Définition 219 III.2) Théorème de STOKES 220 m.3) Applications du théorème de Stokes 221 III.3.a) Circulation d'un champ des vitesses sur un contour fermé 221 III.3.b) C.F.C et théorème de Stokes 222 Annexe: Démonstration abrégée du théorème de Stokes 223 Chapitre 17 : Ecoulements irrotationnels Il Ecoulement irrotationnel 225 1.1) Définition et propriétés 225 1.2) Potentiel scalaire d'écoulement 226 1.2.a) Définition 226 1.2.b) Circulation et potentiel scalaire 227 1.2.c) Potentiel et ligne de champ 227 1.3) Champ à circulation conservative (CCC) 228 III Etude cinématique d'un écoulement quelconque 229 II.1) Position du problème 229 II.2) Ecoulement incompressible et irrotationnel 229 1l.2.a) Mise en équation 229 1l.2.b) Equation de Laplace et laplacien 230 II.3) Ecoulement compressible et irrotationnel 231 II.4) Ecoulement incompressible et rotationnel 231 llA.a) Troisième identité de l'analyse vectorielle 231 llA.b) Détermination du champ des vitesses 232 11.5) Ecoulement compressible et rotationnel 233 IIIl Déformations d'un fluide en écoulement 233 m.l) Dilatation 233 m.2) Cisaillement 234 Formulaire d'analyse vectorielle 235 Correction des A. I. D. E. de la troisième partie 237 QUATRIEMEPARTIE: ELEMENTS DE MECANIQUE DES FLUIDES Présentation de la quatrième partie 247 Chapitre 18 : Approche phénoménologique des écoulements fluides Il Régimes d'écoulement 249 1.1) Observations 249 1.2) Pression et cisaillement 251 III Pression dans un fluide 253 II. 1) Distribution surfacique de forces pressantes 253 II.2) Distribution volumique des forces pressantes 254 1l.2.a) Densité volumique de forces pressantes 254 1l.2.b) Applications immédiates 256 11.3) Puissance des forces pressantes 257 IIIl Viscosité dans un fluide 257 m.l) Distribution surfacique de forces de viscosité 257 lll.l.a) Formalisation 257 lll.1.b) Coefficient de viscosité 259 III.2) Distribution volumique des forces de viscosité 260 Ill. 2.a) Approche unidirectionnelle 260 ll/.2.b) Généralisation 262 III.3) Puissance des forces de viscosité 262 IVI Nombre de Reynolds 264 IV.I) Traînée d'une sphère 264 IV.2) Rôle du nombre de Reynolds 266 IV.3) Généralisation 268 Chapitre 19 : Bilans mécaniques macroscopiques I! Généralités 273 1.1) Convection et écoulements parfaits 273 1.2) Nombre de bilans mécaniques nécessaires 274 1.3) Anna-Lou et sa tirelire 275 III Bilan massique 276 II.1) Débit massique 276 II.2) Champ densité de courant massique 277 II.3) Sources et puits 278 II.4) Bilan massique eulérien 278 lIA.a) Expression générale 278 II.4.b) Bilan massique tubulaire 279 II.5) Bilan massique lagrangien 280 II.6) Conservation de la matière 281 II.7) Cas des écoulements parfaits homogènes incompressibles 282 III! Bilans cinétiques en régime permanent 283 III. 1) Bilan de résultante cinétique 283 III.2) Bilan de moment cinétique scalaire 284 IVI Bilan énergetique en régime permanent 285 VI Applications 287 V.I) Canalisation coudée 287 V.2) Aéromoteur 287 VI! Expression générale d'un bilan 289 VI.1) Grandeurs extensives et grandeurs massiques 289 V1.2) Bilan sur une grandeur extensive 290 Chapitre 20 : Lois locales des écoulements parfaits I! Loi locale de conservation de la matière 293 1.1) Réécriture du bilan massique 293 1.2) Conservation locale et continuité massiques 294 1.3) Conséquences 295 [.J.a) Autre expression de la conservation locale de la matière 295 [.J.b) Ecoulement à débit massique conservatif 295 III Equation d'Euler 296 II.1) Expression eulérienne du P.F.D. 296 11.2) Commentaires 297 III! Bilan énergétique local 298 IVI Compressibilité 299 IV.I) Problématique 299 IV.2) Définition 300 IV.3) Théorème de Hugoniot 301 Chapitre 21 : Rappels de statique des fluides Il Loi locale de la statique des fluides 303 1.1) Enoncé 303 1.2) Conséquences 304 I.2.a) Isobares 304 l.2.b) Influence de la compressibilité 304 III Actions pressantes sur une paroi 305 II.l) Résultante et moment de forces pressantes 305 II.2) Exemples 306 1l.2.a) Forces pressantes sur une paroi plane 306 1l.2.b) Forces pressantes en milieu isobare 307 IIIl Théorème d'Archimède 308 Annexe : Eléments de mano-barométrie 310 Chapitre 22 : Ecoulements parfaits homogènes incompressibles Il Lois générales des écoulements P.R.!. 311 1.1) Critère de quasi incompressibilité d'un écoulement parfait 311 1.2) Lois locales des écoulements P.H.I. 312 /.2.a) Bilan massique local et loi de compressibilité 312 /.2.b) Equation d'Euler et énergie mécanique massique totale 312 I.2.c) Intégrale première d'un écoulement P.H.I.C. 313 1.3) Applications 314 /.3.a) Oscillations d'un liquide dans un tube en U 314 /.3.b) Théorème dit de Lagrange 314 IIJ Théorème de Bernoulli 315 11.1) Enoncé strict 315 II.2) Enoncé élargi 316 11.3) Conséquences et applications du théorème de Bernoulli 317 ll.3.a) Théorème de Torricelli 317 ll.3.b) Tubes de Pitot 317 ll.3.c) Effet Venturi 319 ll.3.d) Effet Magnus 321 Correction des A.I.D.E. de la quatrième partie 323 CINQUIEME PARTIE : THERMODYNAMIQUE Présentation de la cinquième partie 337 Chapitre 23 : Retour sur le premier principe de la thermodynamique Il Processus et éequilibres thermodynaDÙques 339 1.1) Systèmes thermodynamiques 339 1.2) Equilibres et processus thermodynamiques 340 1.3) Principe zéro de la thermodynamique 341 III Grandeurs d'état 343 11.1) Equation d'état 343 112) Phases 344 II.3) Grandeurs extensives 344 lIA) Grandeurs intensives 344 1111 Premier principe de la thermodynamique 345 m.1) Premier énoncé 345 m.2) Energie totale -énergie interne 346 m.3) Enoncé actualisé du premier principe de la thermodynamique 347 mA) Premières conséquences du premier principe 348 IV! Expression différentielle du premier principe 349 IV.1) Différentielle énergétique et transferts élémentaires 349 IV.2) Expression de quelques travaux élémentaires 349 IV.2.a) Travail des forces de pression 349 IV.2.b) Travail d'uneforce de traction 350 IV.2.c) Travail électrique 350 IV.3) Représentation extensive 351 IV.3.a) Définition 351 N.3.b) Variables conjuguées par rapport à l'énergie interne 351 IVA) Entropie 352 NA.a) Définition 352 IV.4.b) Première identité de la thermodynamique 353 N.4.d) Premier groupe des relations de Maxwell 353 VI Quelques applications du premier principe 355 V.1) Capacité thermique isochore 355 V.2) Détente de Joule -Gay Lussac 357 Chapitre 24 : Retour sur le second principe de la thermodynamique Il Evolution d'un système et entropie 359 1.1) Processus irréversibles 359 1.2) Création entropique 359 1.3) Création et échange entropiques 360 III Second principe de la thermodynamique 363 II.1) Enoncé 363 II.2) Conséquences immédiates 364 II.2.a) Différentielle entropique et processus élémentaires 364 II.2.b) Cas des systèmes isolés 364 II.2.c) Processus et réversibilité 365 II.2.d) Décharge d'un condensateur 365 II.3) Calcul de variations entropiques 366 II.3.a) Généralités 366 II.3.b) Entropie massique d'un système homogène condensé 366 II. 3.c) Entropie massique d'un gaz parfait 367 1111 Troisième principe de la thermodynamique 368 Chapitre 25 : Bilans thermodynamiques Il Bilan enthalpique en régime permanent 371 1.1) Energies massiques 371 1.2) Bilan lagrangien d'énergie totale 372 1.3) Enthalpie 373 lA) Bilan enthalpique 374 IA.a) Expression globale 374 IA.b) Expression locale 374 1.5) Applications 375 1.5.a) Détente de Joule-Thomson 375 1.5.b) Echangeurs thermiques 376 1.5.c) Compresseur 376 1.6) Deuxième identité de la thermodynamique 377 1.6.a) Cas des systèmes thermoélastiques 377 1.6.b) Généralisation 378 III Bilan entropique en régime permanent 378 II.1) Enoncé 378 II.2) Cas des écoulements parfaits 379 1111 Capacité thermique isobare 380 III. 1) Définition 380 III.2) Relation de von Mayer et loi de Laplace 381 Chapitre 26 : Potentiels thermodynamiques Il Généralités 383 III Potentiel des processus adiabatiques 385 lU) Néguentropie 385 II.2) Applications 385 II.2.a) Transferts thermiques spontanés 385 II.2.b) Cycles dithermes 386 II.2.c) Théorème de Carnot 387 1111 Potentiel des processus monothermes 389 III. 1) Potentiel de Helmholtz 389 IIU.a) Définition 389 /ll.l.b) Conséquences immédiates 390 III.2) Energie libre (ou énergie de Helmholtz) 391 III.3) Applications 392 /l/.3.a) Troisième identité de la thermodynamique 392 III.3.b) Relation de Helmholtz 393 lITA) L'énergie libre comme fonction caractéristique 393 IV! Potentiel des processus monothermes-monobares 395 IV.l) Potentiel de Gibbs 395 IV.I.a) Définition 395 IV.I.b) Conséquences immédiates 396 IV . 2) Enthalpie libre (ou énergie de Gibbs) 397 IV.3) Applications 398 IV.3.a) Quatrième identité de la thermodynamique 398 /V.3.b) Relation de Gibbs 399 IVA) L'enthalpie libre comme fonction caractéristique 399 Annexe: Machines dithermes 402 Chapitre 27 : Transition de phase d'un corps pur Il Généralités sur les transitions de phase 409 I.l) Phases d'un corps pur 409 1.2) Variance d'un corps pur sous plusieurs phases 410 III Approche théorique des transitions de phase 411 II.I) Critère d'évolution phasique d'un corps pur 411 II.2) Représentation graphique d'une transition de phase 412 HIl Transfert thermique de changement d'état 414 ID.I) Bilans entropique et enthalpique d'un changement d'état 414 ID.2) Formule de Clapeyron 415 III.3) Cas de la vaporisation 416 IV! Diagrammes de changement d'état 417 IV.I) Diagramme (T,p) 417 IV.2) Diagramme (v,p) de Clapeyron 421 N.2.a) Réseau d'isothermes d'Andrews 421 IV.2.b) Rappel de la règle des moments 424 IV.2.c) Surfaces caractéristiques d'un corps pur 424 IV.3) Diagrammes (s, 1) 425 Fonnulaire de thennodynamique 427 Correction des A.l.D.E. de la cinquième partie 429 SIXIEME PARTIE: PHENOMENES DIFFUSIFS Présentation de la sixième partie 443 Chapitre 28 : Diffusion de particules Il Approche qualitative 445 III Loi de Fick 446 II. 1) Champ densité de flux de particules diffusées 446 II.2) Enoncé de la loi de Fick 447 II.3) Commentaires 448 IIA) Compléments sur le coefficient de diffusion 449 II.4.a) Libre parcours moyen 449 II.4.b) Expression générale du coefficient de diffusion 450 HIl Bilan diffusü de particules 451 ID.I) Bilan local diffusif de type lagrangien 451 m.2) Bilan diffusif de type eulérien 452 IV! Equation de diffusion 454 IV.l) Enoncé 454 IV.2) Commentaires et interprétation 455 IV.3) Longueur et durée de diffusion 456 Chapitre 29 : Viscosité et diffusion Il Couche limite 461 1.1) Paradoxe des écoulements parfaits 461 1.2) Conditions aux linùtes d'un écoulement 462 1.3) Décomposition de Prandtl 463 III Lois locales des écoulements H.!. 465 II.1) Loi locale de la dynamique 465 II.I.a) Viscosité cinématique 465 II.I.b) Equation de Navier-Stokes 465 II.2) Dynamique de la vorticité d'un écoulement 466 II.3) Notions sur la similitude 467 IIIl Ecoulements réels unidirectionnels 468 IV1Diffusion cinétique 472 N.l) Mise en évidence 472 N.2) Diffusion de quantité de mouvement 473 N.3) Interprétations du nombre de Reynolds 473 IV.3.a) Quantités de mouvement convective et diffusive 473 IV.3.b) Durées de convection et de diffusion 475 NA) Epaisseur de la couche limite 475 VI Eléments de viscosimétrie 477 V.1) Viscosimètre à bille 477 V.2) Viscosimètres à oscillations 478 V.3) Viscosimètre de Couette 479 Chapitre 30 : Rappels sur la conduction électrique Il Conservation de l'électricité 481 1.1) Charge électrique 481 1.2) Courant électrique 482 1.3) Principe de Franklin 483 104) Courant continu 484 III Courant ohmique 485 II.1) Vitesse de diffusion électrique 485 II.2) Définitions 486 II.3) Modèle de Drude et loi d'Ohm locale 486 1104) Conductance et résistance électriques 489 II.5) Loi de Joule 490 II.5.a) Enoncé 490 II.5.b) Lois d'association des conductances-résistances 492 Il.5.c) Méthode de calcul direct de conductance-résistance 493 Chapitre 31 : Diffusion thermique Il Loi de Fourier 495 1.1) Flux thermique 495 1.2) Champ densité de flux thermique 496 1.3) Enoncé de la loi de Fourier 496 IIJ Bilans thermiques 498 II.1) Bilan thermique local de type lagrangien 498 II.2) Bilan de diffusion thermique de type eulérien 500 IIIJ « Equation de la chaleur» 502 III. 1) Equation de diffusion theffiÙque 502 III.2) Commentaires et interprétation 503 III.3) Conductivité thermique d'un gaz parfait 504 IVI Diffusion thermique en régime stationnaire 505 IV.I) Conséquences générales de la stationnarité 505 IV.2) Analogie électro-theffiÙque 506 lV.2.a) Mise en lumière 506 N.2.b) Conductance et résistance thermiques 507 lV.2.c) Lois d'association des conductances et résistances thermiques 508 N.2.d) Méthodes de calcul de conductance ou résistance thermique 508 IV.3) Phénomènes theffiÙques superficiels 509 Correction des A.I.D.E. de la sixième partie 519 SEPTIEME PARTIE: ONDES DE D'ALEMBERT Présentation de la septième partie 539 Chapitre 32 : Eléments d'analyse de Fourier Il Série de Fourier 541 1.1) Théorème de Fourier 541 1.2) Calcul des coefficients de Fourier 541 l.2.a) Fonctions spatio-temporelles 541 l.2.b) Préliminaires aux calculs des coefficients 542 l.2.c) Expression des coefficients de Fourier 543 1.3) Applications 544 1.3.a) Fonction en créneaux 544 l.J.b) Fonction en triangles 544 1.4) Formule de Parseval 546 III Notions sur la transformée de Fourier 546 II.I) Expression complexe d'une série de Fourier 546 II.2) Décomposition de Fourier continue 547 lI.2.a) Transformée de Fourier 547 l/.2.b) Propriétés 548 1l.2.c) Spectre fréquentiel 548 II.3) Transformée de Fourier d'un créneau 549 Chapitre 33 : Phénomènes de propagation unidirectionnelle Il Propagation d'une onde longitudinale 551 l.l) Loi de Hooke 551 1.2) Méthode de Bernoulli 552 l.2.a) Modélisation 552 l.2.b) Equation de propagation longitudinale 554 l.2.c) Commentaires 555 III Propagation d'une onde transversale 556 II.I) Rappel: tension le long d'une corde 556 Il.2) Méthode de d'Alembert 557 II.2.a) Propagation d'ébranlements transversaux le long d'une corde 557 II.2.b) Equations couplées et équation de propagation 558 II.2.c) Commentaires 559 1111 Propagation le long d'une ligne électrique 561 Chapitre 34 : Equation de d'Alembert Il Equation unidirectionnelle de d'Alembert 565 III Solution générale de l'équation de d'Alembert 566 II.l) Ondes planes progressives 566 II.i.a) Approche empirique 566 II.1.b) Approche analytique 568 II.2) Ondes planes progressives hannoniques 569 II.3) Représentation complexe d'une O.P.P.H. 570 IIA) Phénomène de dispersion 570 II.5) Importance des O.P.P.H. 571 1111 Ondes stationnaires 573 111.1) Définition et interprétation 573 m.2) Décompositions d'une onde de d'Alembert 574 III.2.a) Décomposition mutuelle d'O.P.P.H. en O.P.s. 574 llI.2.b) Détermination des solutions de l'équation de d'Alembert 575 IV! Cordes vibrantes 576 IV.l) Vibrations d'une corde d'un instrument de musique 577 IV.2) Corde de Melde 579 Chapitre 35 : Propagation acoustique Il Modélisation de la propagation acoustique 583 1.1) Hypothèses de modélisation 583 1.2) Grandeurs acoustiques 584 1.3) Mise en équation 585 I.3.a) Equation de conservation massique linéarisée 585 I.3.b) Equation d'Euler linéarisée 585 I.3.c) Equation de compressibilité linéarisée 586 III Equations fondamentales de l'acoustique 586 II.1) Couplage acoustique 586 II.2) Equations de propagation acoustique 587 II.2.a) Irrotationnalité de la propagation acoustique 587 II.2.b) Equation d'onde acoustique 588 II.2.c) Longitudinalité des ondes acoustiques 588 II.2.d) Célérité des ondes acoustiques 589 1111 Solution générale de l'équation de d'Alembert 590 III.1) Solutions progressives de l'équation de d'Alembert 590 m.2) Solutions stationnaires de l'équation de d'Alembert 593 ID.3) Surfaces d'ondes 593 Ill.3.a) Définitions 593 III.3.b) Ondes sphériques et ondes planes 594 Chapitre 36 : Impédance et énergie ondulatoires Il Analogies ondulatoires 599 III Impédance ondulatoire 600 11.1) Cas d'une ligne électrique 600 II.2) Autres impédances caractéristiques 602 1111 Interface de deux milieux de propagation 604 m.l) Interface acoustique 604 l/l.l.a) Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude 604 ll/.l.b) Commentaires 606 m.2) Connexion de lignes électriques 609 IVI Aspect énergétique de la propagation 610 IV.I) Cas d'une ligne électrique 610 IV.J.a) Conservation de l'énergie électromagnétique 610 IV.I.b) Cas d'une D.P.P.H. 611 IV. I.e) Cas d'une D.P.S. 612 IV.2) Cas des ondes acoustiques 612 IV.2.a) Champ densité surfacique de puissance acoustique 612 IV.2.b) Conservation de l'énergie acoustique 613 1v'2.c) Cas d'une D.P.P.H. acoustique 614 IV.2.d) Coefficients de réflexion et de transmission énergétiques 616 IV.2.e) Cas d'une D.P.S. acoustique 617 IV.2.j) Notion d'intensité acoustique 617 Chapitre 37 : Dispersion et absorption Il Exemple de dispersion-absorption 619 1.1) Cas d'une ligne électrique 619 1.2) Relation de dispersion-absorption 620 1.3) Interprétation 621 II) Vitesse de groupe 624 II. 1) Propagation de battements ondulatoires 624 II.2) Paquet d'ondes 625 Correction des A.I.D.E. de la septième partie 629 HUITIEME PARTIE: EQUATIONS DE MAXWELL Présentation de la huitième partie 653 Chapitre 38 : Equations fondamentales de l'électromagnétisme Il Grandeurs électromagnétiques fondamentales 655 1.1) Charges et courants électriques 656 l.l.a) Définitions 656 I./.b) Elément de courant 658 1.2) Champ électromagnétique 659 Table des matières III Equations (dites) de Maxwell 660 II. 1) Enoncé des équations de Maxwell 661 II.2) Eléments d'interprétation 663 Il.2.a) Conservation du flux magnétique 663 II.2.b) Théorème de Gauss 664 II.2.c) Sources élémentaires du champ électromagnétique 664 II.2.d) Circulation du champ électrique 665 Il.2.e) Circulation du champ magnétique 665 1111 Conséquences fondamentales immédiates 666 III.1) Existence de potentiels électromagnétiques 666 III.2) « Principe» de Franklin 667 I1I.3) Existence d'ondes électromagnétiques 668 IVI Champ électromagnétique sur une interface 669 Chapitre 39 : Electromagnétisme stationnaire Il Régime stationnaire 675 1.1) Conséquences fondamentales de la stationnarité 675 1.2) Equations de Poisson 675 I.2.a) Cas de l'électrostatique 675 I.2.b) Cas de la magnétostatique 676 W Rappels d'électrostatique 677 lU) Lois locales de l'électrostatique 677 II.2) Conséquence de l'irrotationnalité du champ électrostatique 677 Il.2.a) Champ à circulation conservative 677 II.2.b) Surfaces équipotentielles électriques 678 II.2.c) Relation circulation électrique -potentiel 678 Il.2.d) Orientation des lignes de champ 678 II.2.e) Analogies 678 II.3) Théorème de Gauss 678 liA) Expression générale du champ électrostatique 679 lIA.a) Principes généraux 679 II.4.b) Champ électrostatique d'une charge ponctuelle 680 lIA.c) Généralisation 680 li.5) Aspect énergétique 681 1111 Magnétostatique 682 III.1) Lois locales de la magnétostatique 682 I1I.2) Conséquences de la non divergence du champ magnétique 682 Il/.2.a) Champ àflux conservatif 682 Il/.2.b) Propriété fondamentale du potentiel vecteur 682 III.3) Théorème d'Ampère 683 IlIA) Expression générale du champ magnétostatique 683 I1IA.a) Potentiel vecteur dit de Biot et Savart 683 I1IA.b) Loi de Biot et Savart 684 llIA.c) Principes généraux de calcul de champs magnétiques 686 Ill.5) Aspect énergétique 687 Chapitre 40 : Rappels sur l'effet Hall et les forces de Laplace Il Origine de l'effet Hall 689 III Théorie simplifiée de l'effet Hall 690 II.1) Champ de Hall 690 II.2) Tension de Hall 692 lU) Applications 693 1111 Forces de Laplace 694 m.l) Cas d'un courant quasi filiforme 694 III.2) Cas d'une distribution quelconque de courants 694 1II.3) Résultante et moment de Laplace 695 mA) Application: expériences d'Ampère 695 /lIA.a) Force exercée sur un conducteur rectiligne 695 lIIA.b) Définition de l'Ampère 696 Chapitre 41 : Rappels sur les dipôles électromagnétiques Il Modèle du doublet électrique 697 1.1) Potentiel électrostatique créé en un point éloigné 697 1.2) Expression du champ électrique dipolaire 698 III Actions d'un champ électrique sur un dipôle 701 II.1) Energie potentielle d'un dipôle dans un champ électrique 701 II.2) Actions mécaniques s'exerçant sur dipôle électrique 702 /l.2.a) Dipôle dans un champ électrique unifonne 702 II.2.b) Dipôle de direction constante dans un champ hétérogène 702 1111 Dipôle magnétique 703 m.l) Analogie dipolaire 703 III.2) Moment dipolaire magnétique 704 m.3) Actions mécaniques subies par un dipôle magnétique 705 Chapitre 42 : Induction magnéto-électrique Il Approximation du régime quasi-stationnaire 707 LI) Domaine d'application de l'approximation 707 1.2) Conséquences de 1'A.R.Q.S. 709 I.2.a) Conséquences sur le champ magnétique 709 I.2.b) Conséquences sur le champ électrique 709 I.2.c) Conséquences sur l'électrocinétique 710 III Approche expérimentale de l'induction 710 II.1) Expériences de Faraday 710 1I.2) Loi de Lenz 713 1111 Théorie de l'induction magnéto-électrique 713 m.l) Modélisation du problème 713 m.2) Puissance électromagnétique fournie au circuit 715 m.3) Puissance de Laplace -Puissance électrique induite 716 mA) Force électromotrice induite -Champ électromoteur 716 m.5) Loi de Faraday-Maxwell 717 IV! Eléments d'interprétation 718 IV.1) Champs électromoteurs de Neumann et de Lorentz 718 IV.I.a) Champ électromoteur de Neumann 718 IV.l.b) Champ électromoteur de Lorentz 718 IV.2) Modélisation électrocinétique d'un circuit filiforme 719 IV.2.a) Schéma équivalent du circuit 719 IV.2.b) Compléments 719 IV.3) Localisation de la f.e.m. induite 720 IVA) Puissance de Laplace 720 IV.5) Méthodologie concernant l'étude du phénomène d'induction 721 Annexe : Démonstration d'une formule d'analyse vectorielle méconnue 723 Chapitre 43 : Conséquences de l'induction magnéto-électrique Il Auto-induction 725 1.1) Inductance propre 725 1.2) Force électromotrice auto-induite 726 1.3) Modélisation d'une bobine indéformable 727 III Induction mutuelle 728 Ill) Inductance mutuelle 728 ll.2) F.e.m. d'induction mutuelle 731 1111 Energie magnétique 732 m.l) Définition 732 m.2) Energie magnétique de deux courants électriques 733 IV/Notions sur les courants de Foucault 734 IV.I) Définition 734 IV.2) Chauffage par induction 734 IV.3) Ralentisseurs à courants de Foucault 735 Chapitre 44 : Deux applications de l'induction magnéto-électrique Il Haut-parleur électrodynamique 737 III Effet de peau 739 Il.1) Conductivité complexe 739 ll.2) Etude théorique de l'effet de peau 741 Correction des A.I.D.E. de la huitième partie 743 NEUVIEME PARTIE : ONDES ELECTROMAGNETIQUES Présentation de la neuvième partie 769 Chapitre 45 : Propagation électromagnétique dans le vide Il Onde électromagnétique dans le vide 771 III Ondes électromagnétiques planes progressives 773 II. 1) Structure des ondes électromagnétiques dans le vide 773 //.i.a) Transversalité 773 II.1.b) Equations couplées 773 //.i.c) Relation champ électrique -champ magnétique 774 II.2) O.P.P.M. 776 Chapitre 46 : Champ de Poynting Il Conservation de l'énergie électromagnétique 779 1.1) Puissance électromagnétique reçue par les porteurs de charge 779 1.2) Interprétation 780 IIJ Applications 782 II. 1) Définition énergétique de la résistance électrique 782 II.2) Définition énergétique de l'inductance d'un circuit électrique 784 II.3) Définition énergétique de la capacité électrique 785 IIIl Champ de Poynting d'une O.P.P.M. 787 Chapitre 47 : Modèle classique d'émission électromagnétique Il Dipôle électrique rayonnant 791 1.1) Modélisation 791 1.2) Potentiel vecteur rayonné 791 IIJ Champ rayonné lointain 793 II.I) Approximation du rayonnement lointain 793 II.2) Expression du champ électromagnétique lointain 794 II.3) Commentaires sur le champ lointain 795 IIIl Puissance rayonnée 796 III. 1) Champ de Poynting 796 I1I.2) Cas du rayonnement monochromatique 797 III.2.a) Champ de Poynting moyen 797 III.2.b) Diffusion Rayleigh 799 III.3) Généralisation -Fonnule de Larmor 800 Chapitre 48 : Propagation électromagnétique en milieu matériel Il Polarisation électrique d'un milieu matériel 803 1.1) Approche qualitative 803 1.2) Courant et charges de polarisation 805 IIJ Modèle de l'électron élastiquement lié 807 II.I) Susceptivité électrique complexe 807 II.2) Généralisation 810 IIIl Onde électromagnétique dans un diélectrique 811 III.l) Equations de Maxwell dans un diélectrique 811 III.2) Cas des ondes monochromatiques 812 III.3) Indice complexe 813 III.3.a) Définition 813 III.3.b) Influence de l'indice d'extinction K 814 III.3. c) Influence de l'indice de réfraction n 815 IlIA) Absorption énergétique 816 III.5) Relation de Rayleigh 817 IV1Dioptre électromagnétique 818 IV.l) Lois de passage sur un dioptre électromagnétique 818 IV.2) Lois de Snel-Descartes 819 IV.3) Réflexion et réfraction nonnale sur une surface dioptrique 821 N.3.a) Impédance caractéristique d'un milieu diélectrique 821 IV.3.b) Relations de Fresnel 822 IV.3.c) Aspect énergétique 824 VI Propagation KM. dans divers milieux 825 V.1) Interprétation directe de l'indice complexe 825 V.2) Propagation dans un milieu polaire 826 V.3) Propagation dans un plasma 827 Correction des A.I.D.E. de la neuvième partie 829 DIXIEME PARTIE: ONDES LUMINEUSES Présentation de la dixième partie 845 Chapitre 49 : Modèle scalaire de la propagation lumineuse Il Théorie ondulatoire de la lumière 847 LI) Hypothèses préalables 847 1.2) Amplitude lumineuse et éclairement 847 III Ondes lumineuses monochromatiques 848 II.I) Définitions 848 II.2) Propagation en milieu L.H.I. 849 II.2.a) Indice de réfraction 849 II.2.b) Onde lumineuse sphérique 850 Il.2.c) Ondes lumineuses (localement) planes 851 II.3) Interprétation électromagnétique 852 IIIl Chemin optique 853 Ill. 1) Définition 853 m.2) Interprétation et conséquences 854 Ill.3) Surfaces d'onde monochromatique 855 mA) Propriété fondamentale du chemin optique 856 Annexe: Equation des rayons lumineux 857 Chapitre 50 : Interférences Il Superposition de deux ondes monochromatiques 859 1.1) Modèle classique d'émission et de propagation lumineuse 859 1.2) Eclairement résultant d'une superposition d'ondes lumineuses 861 III Conditions d'interférence 862 II. 1) Condition de synchronisme 862 II.2) Condition de division d'onde 863 II.3) Condition de retard entre trains d'ondes 864 IIIl Interférence entre deux ondes 866 m.l) Source primaire idéale 866 Ill.2) Différence de marche et ordre d'interférence 867 IIl.2.a) Différence de marche 867 III.2.b) Ordre d'interférence 867 m.3) Franges d'interférence 867 mA) Contraste des franges 870 IVI Exemples de dispositifs interférentiels 871 IV.I) Miroirs de Fresnel 871 IV.2) Franges d'Haidinger 874 Chapitre 51 : Polarisation des ondes électromagnétiques Il Approche empirique de la polarisation 877 1.1) Expériences de Malus 877 1.2) Polarisation des ondes hertziennes 878 1.3) Quelques modes de polarisation de la lumière 878 1.J.a) Polarisation par diffusion Rayleigh 878 1.J.b) Polarisation par réflexion 880 l.3.c) Polarisation par polaroïds 881 III Etude de la polarisation électromagnétique 882 II.1) Définitions 882 II.2) Polarisation rectiligne 882 II.3) Polarisation elliptique 883 lIA) Aspect énergétique -Loi de Malus 885 II.5) Polarisation et interférence 887 HII Biréfringence 888 ilL 1) Définition 888 m.2) Lames à retard de phase 889 111.3) Biréfringence et interférence 890 IlIA) Lame quart d'onde 892 111.5) Lame demi-onde 892 Chapitre 52 : Interféromètre de Michelson Il Présentation du dispositif 893 1.1) Description 893 1.2) « Repliement» du michelson 895 1.2.a) Séparatrice équivalente 895 I.2.b) Tracé des rayons lumineux dans un michelson 896 III Michelson en lame d'air 898 II.1) Conditions pour qu'un michelson soit réglé en «lame d'air» 898 II.2) Franges d'égale inclinaison 899 II.2.a) Différence de marche et ordre d'interférence 899 II.2.b) Eclairement et rayon des anneaux 901 II.3) Une utilisation du michelson en lame d'air parmi d'autres 902 HII Michelson en coin d'air 903 III. 1) Condition pour qu'un michelson soit réglé en «coin d'air» 903 m.2) Franges d'égale épaisseur 904 III.3) Une utilisation du michelson en coin d'air parmi d'autres 906 Chapitre 53 : Cohérence d'une source lumineuse Il Interférences en lumière polychromatique 909 1.1) Cas d'un doublet spectral 909 1.2) Cas d'une distribution spectrale 911 I.2.a) Densité spectrale 911 1.2.b) Condition de cohérence temporelle d'une source 912 1.2.c) Interférence en lumière blanche 913 III Cohérence spatiale 914 Chapitre 54 : Diffraction Il Principe de Huygens-Fresnel 917 1.1) Diffraction mécanique 917 1.2) Application à la lumière 918 III Diffraction de Fraunhofer 920 Ill) Conditions de Fraunhofer 920 II.2) Expression générale de l'éclairement diffracté 921 II.3) Diffraction de Fraunhofer par une ouverture rectangulaire 922 JI.3.a) Expression de l'éclairement 922 Il.3.b) Tache centrale de diffraction 924 Il.3.c) Fentefine 925 lill Autres exemples de diffraction 926 111.1) Diffraction par une ouverture circulaire 926 III.2) Trous et fentes d'Young 927 IV1 Conséquences de la diffraction 930 IV.I) Résolution des appareils optiques 930 IV.2) Diaphragme de transparence variable 931 IV.3) Omniprésence du phénomène de diffraction 931 Chapitre 55 : Réseaux optiques à transmission Il Généralités théoriques 935 1.1) Définitions 935 1.2) Différence de marche entre deux rayons diffractés parallèles 936 1.3) Commentaires 936 104) Calcul de l'éclairement diffracté par un réseau 937 III Spectroscope à réseau 939 II.1) Déviation d'un réseau 939 II.2) Dispersion d'un réseau 941 Annexe 1 : Pouvoir de résolution 942 Annexe 2 : Rappels sur le prisme 943 Correction des A.I.D.E. de la dixième partie 951 FIN DE LA TABLE DES MATIERES