Commande numérique des systèmes
Approches fréquentielle et polynomiale

Sommaire et contenu du livre "Commande numérique des systèmes - Approches fréquentielle et polynomiale"

TABLE DES MATIERES Chapitre 1 ECHANTILLONNAGE D'UNSIGNAL -TRANSFORMA TION EN z 9 1 Echantillonnage d'un signal 9 1.1 Position du problème 9 l.2 Opérateur d'échantillonnage et expression dans le domaine temporel. 10 1.3 Propriétés spectrales d'un signal échantillonné II lA Reconstitution du signal continu 15 1.5 Approximation continue de l'échantillonnage-blocage 17 1.6 Aspects pratiques de l'échantillonnage 18 2 Transformée en z 20 2.1 Définition 20 2.2 Exemples : 21 2.3 Transformée en z inverse 23 204 Propriétés de la transformée en z 27 2.5 Relation entre les transformées de Laplace et en z 32 3 Transformée en z modifiée 37 4 Exercices 38 4.1 Exercices corrigés 38 4.2 Exercices non corrigés 40 5 Table de paires de transformées de Laplace et de transformées en z 43 Chapitre II REPRESENTATIONDES SYSTEMES DISCRETS 45 1 Définitions 45 2 Représentation par réponse impulsionnelle 46 3 Représentation par fonction de transfert 48 4 Représentation par équation aux différences 49 4.1 Cas général: première formulation 49 4.2 Deuxième formulation 50 4.3 Opérateurs de décalage 50 5 Systèmes à temps continu pilotés par calculateur 52 5.1 Modélisation 52 5.2 Application à des structures de commande 55 5.3 Cas des systèmes à retard 58 6 Pôles et zéros dans le plan « z» : relations avec les systèmes à temps continu 60 6.1 Emplacement des pôles dans le plan « z» 61 6.2 Emplacement des zéros dans le plan « z» 63 7 Exercices 64 7.1 Exercices corrigés 64 7.2 Exercices non corrigés 67 Chapitre IIIANALYSE DES SYSTEMES DISCRETS 69 1 Stabilité 69 1.1 Définition et propriétés 69 1.2 Conséquences de la stabilité sur la fonction de transfert 71 1.3 Méthodes algébriques d'étude de la stabilité 73 2 Réponse fréquentielle d'un système discret 75 3 Transformée en « w » 79 3.1 Définition et propriétés 79 3.2 Application à l'étude de la stabilité 80 3.3 Application à ['étude de la réponse fréquentielle 81 4 Comportement en régime transitoire 82 4.1 Influence des pôles sur le régime transitoire 82 4.2 Etude des systèmes du 2èmc ordre comportant un zéro 85 5 Exercices 91 Chapitre IVANALYSE DES SYSTEMES DISCRETS BOUCLES 95 1 Structure d'un système commandé par calculateur 95 2 Stabilité des systèmes discrets bouclés 96 2.1 Condition générale de stabilité « EB-SB » 96 2.2 Critère de Nyquist. 96 2.3 Marges de stabilité. Autres diagrammes harmoniques l03 2.4 Méthodes algébriques d'étude de la stabilité 107 2.5 Stabilité interne 108 3 Méthode du lieu des racines 108 3.) Définition 108 3.2 Construction pratique du lieu d'Evans 109 3.3 Exemple 114 3.4 Applications du lieu d'Evans 116 4 Précision des systèmes discrets asservis 117 4.1 Précision vis-à-vis de consignes polynomiales 117 4.2 Précision vis-à-vis d'une consigne harmonique 121 4.3 Ecart dû aux perturbations 122 4.4 Compléments 125 5 Exercices 126 5. 1 Exercices corrigés 126 5.2 Exercices non corrigés 132 6 Problème non corrigé 135 Chapitre V CALCUL DES CORRECTEURS NUMERIQUES PAR TRANSPOSITION .......................................................................................................................................... 139 1 Principe des méthodes de transposition à partir du continu 139 2 Méthodes usuelles de transposition 140 2.1 Transformation d'Euler 140 2.2 Transformation homographique (ou bilinéaire) 141 2.3 Comparaison des transformations d'Euler et homographique 142 2.4 Autres méthodes d'approximation 144 2.5 Exemples 147 2.6 Tableau récapitulatif 149 3 Cas du régulateur PID 149 3.1 Correcteur PlO continu (PlO idéal) 149 3.2 Discrétisation 150 3.3 Dispositifd'anti-emballement du terme intégral (version améliorée du précédent) 152 3.4 Réponses fréquentielles. Influence de la période d'échantillonnage 155 4 Aspects pratiques 157 4.1 Choix de la période d'échantillonnage l57 4.2 Compléments sur la structure du régulateur PlO 158 5 Exercices 159 Chapitre VI SYNTHESE DES CORRECTEURS NUMERIQUES 165 1 Synthèse d'un correcteur numérique série par méthodes fréquentielles 165 1.1 Structure d'un asservissement échantillonné 165 1.2 Synthèse par méthodes fréquentielles 166 2 Correction par placement de pôles: le régulateur RST.............•..................•............. 167 2.1 Formulation du problème l67 2.2 Equations du système bouclé 168 2.3 Synthèse de la loi de commande RST 169 .. . F (-1) Bm(z-I)2.4 ChOIX de la fonchon de transfert modele: m z = 1 176 Am(z-) 2.5 Cas particuliers de la structure RST 180 2.6 Version RST du correcteur PlO numérique 181 3 Exemples 183 3.1 Exemple 1 : commande à temps d'établissement fini d'un double intégrateur 183 3.2 Exemple 2 : régulation d'un onduleur à découpage 187 4 Problème corrigé: étude d'un pilotage automatique de bateau (énoncé) 194 4.1 Architecture de la loi de commande 195 4.2 Étude de l'asservissement de l'angle du gouvernail 196 4.3 Modélisation de la boucle externe 197 4.4 Synthèse du correcteur de la boucle de cap 198 4.5 Correction par anticipation 198 5 Problème corrigé : solution 199 5.1 Architecture de la loi de commande 199 5.2 Étude de l'asservissement de l'angle du gouvernail 200 5.3 Modélisation de la boucle externe 203 5.4 Synthèse du correcteur de la boucle de cap 207 5.5 Correction par anticipation 211 5.6 Compléments sur la correction 213 6 Problèmes non corrigés 216 Chapitre VII REALISATION PRATIQUE DES CORRECTEURS NUMERIQUES. 223 1 Effets de la quantification d'amplitude 223 1.1 Effet d'arrondi d'un C.A.N 223 1.2 Analyse stochastique 224 1.3 Analyse déterministe (non linéaire) 227 2 Sensibilité aux paramètres ..........................................•.................................................. 231 2.1 Sensibilité des pôles aux coefficients de l'équation caractéristique 231 2.2 Généralisation: fonction de sensibilité 232 3 Programmation des correcteurs numériques :. 233 3.1 Obtention d'un algorithme récursif à partir de C (z) 233 3.2 Cas particulier du correcteur PID numérique 234 AnnexeA COMPLEMENTS DEMATHEMATIQUES:DISTRIBUTIONS­TRANSFORMEE DE FOURIER 235 1 Distributions. Impulsion de Dirac 235 1.1 Concept de distribution 235 1.2 Principales propriétés des distributions 236 1.3 Impulsion de Dirac 237 1.4 Produits de convolution 239 2 Transformée de Fourier des signaux à temps continu: rappels 240 2.1 Définitions et symboles 240 2.2 Propriétés principales 240 2.3 Théorèmes de convolution 241 2.4 Exemples de base 241 2.5 Fonctions périodiques 241 2.6 Relation entre transformée de Fourier et transformée de Laplace bilatérale 243 3 Transformée de Fourier des signaux à temps discret 244 3.1 Définition 244 3.2 Autre expression de la transformée 245 3.3 Quelques exemples 246 3.4 Relation entre transformée de Fourier des signaux à temps discret et transformée en z bilatérale 246 Annexe B PROPRIETES DES EQUA TIONS DIOPHANTIENNES 247