Mathématiques BCPST - VETO 2e année
Mathématiques BCPST - VETO 2e annéeCours - Problèmes - Exercices - Informatique (MatLab, Maple) Reliure :
Broché
Nbr de pages :
788
Dimension :
16.5 x 24 x 4.3 cm
Poids :
1292 gr
ISBN 10 :
2729863486
ISBN 13 :
9782729863487
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Quel est le sujet du livre "Mathématiques BCPST - VETO 2e année" Cet ouvrage est la suite du livre de BCPST-VETO 1re année, paru aux éditions Ellipses en 2006 ; il correspond au programme 2003 des CPGE du type BCPST-VETO 2e année. Il peut être également utilisé par d'autres CPGE notamment celles du type EC et par les étudiants en licence scientifique, en institut universitaire technologique, ou dans le cadre d'une formation continue ou en alternance, ainsi que pour la préparation de certains concours du niveau Bac +2.Il correspond aux trois parties du programme:
Algèbre linéaire Géométrie Analyse et est composé de vingt chapitres. Quelques compléments et révisions indispensables sont donnés, notamment en trigonométrie et nombres complexes, ainsi qu'un complément de statistique descriptive à deux variables et d'estimation utile pour les TIPE.
Pour être au plus près des objectifs des CPGE, nous avons, après chaque définition et théorème essentiel, donné de nombreux exercices issus des concours. Nous rappelons que les épreuves des concours portent sur les deux années et que la maîtrise de la 1re année est essentielle, ce qui justifie les multiples références au cours de 1re année.
Les problèmes de révision proposés sont soit des sujets de concours, soit des sujets originaux dans l'esprit actuel des concours.
Plusieurs exercices comportent de l'algorithmique et de l'informatique. Ils correspondent à des questions classiques d'écrit ou d'oral.
Pour optimiser la rapidité et l'efficacité de la recherche des étudiants, nous avons donné une place importante à la table des matières et à l'index contenant plus de 500 entrées. Nous avons donné en annexe les programmes officiels de Mathématiques de 2003 de BCPST. En suivant ce lien, retrouvez tous les livres dans la spécialité Classes prépas.
Sommaire Sommaire et contenu du livre "Mathématiques BCPST - VETO 2e année - Cours - Problèmes - Exercices - Informatique (MatLab, Maple)" Table des matières
1 Algèbre Linéaire 1
1 Nombres complexes -Polynômes 3
1.1
Le corps des nombres complexes 3
1.La
Rappels et compléments 3
1.
Lb Le corps des complexes 4
1.1.c
Conjugué ........ 6
1.1.d
Définition géométrique . 10
1.Le
Racine nème d'un nombre complexe. 11
1.2
Polynômes .............. 19
1.2.a
Trigonométrie et polynôme 20
1.2.b
Zéros d'un polynôme .... 21
1.2.c
Factorisation dans C ou dans lR . 24
1.3
Compléments sur les angles ... 26
1.4
Pentagone -QCM ........ 29
1.5
Nombres complexes et polynôme 35
2 Calcul Matriciel -Suites 41
2.1
Matrice à coefficients dans OC ........... 41
2.1.a
Structure d'espace vectoriel des matrices. 41
2.1.b
Produit de deux matrices 41
2.1.c
Matrices qui commutent . 42
2.1.d
Puissance rème d'une matrice 46
2.2
Transposition .. 54
2.2.a
Définition 54
2.2.b
Transposée d'une somme 54
2.2.c
Transposée d'un produit. 55
2.2.d
Matrices symétriques et anti-symétriques 55
2.3
Carré magique ........ ........... 64
3 Systèmes d'équations linéaires 67
3.1
Technique du pivot de Gauss 67
3.2
Résolution des systèmes linéaires 70
3.3
Matrices inversibles. . 74
3.4
Méthode du simplexe 86
VI Table des matières
4 Espaces vectoriels 97
4.1
Introduction.......... 97
4.1.a
Définition et exemples 97
4.1.b
Sous espaces vectoriels 99
4.1.c
Sous espaces vectoriels supplémentaires 102
4.2
Familles de vecteurs. Bases 104
4.2.a
Equation fondamentale 104
4.2.b
Bases d'un espace vectoriel . . . . . . . 105
4.2.c
Matrice d'une famille. Rang d'une famille 111
4.2.d
Caractérisation des bases 115
4.3
Changementdebase . . . . . . . . . . 119
4.3.a
Introduction 119
4.3.b
Matrice de changement de base 119
4.3.c
Réduite de Gauss -Jordan 133
4.4
PolynômesdeGrégory . . . . . . . . . 139
4.5
Somme directe de sous espaces vectoriels. 143
5 Applications linéaires 155
5.1
Définitions...................... 155
5.1.a
Applications linéaires 155
5.1.b
Espace vectoriel des applications linéaires 157
5.1.c
Imageetnoyau............ 157
5.1.d
Injectivité, surjectivité, bijectivité . 162
5.1.e
Composition d'applications linéaires 164
5.U Projecteur et symétrie. . . 170
5.1.g
Groupe linéaire. . . . . . . 173
5.2
Matrice d'une application linéaire. 174
5.2.a
Définition.......... 174
5.2.b
Espace vectoriel des matrices 175
5.2.c
Equation de lm tp et de ker tp. 175
5.2.d
Produit de deux matrices 183
5.3
Endomorphismes . . . . . . . 184
5.3.a
Inverse d'une matrice .. 186
5.3.b
Matrices semblables . . . 187
5.3.c
Application à la puissance nème d'une matrice. 191
6 Réduction des matrices 197
6.1
Valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme 199
6.1.a
Définitions 199
6.1.b
Propriétés.............. 203
6.2
Valeurs et vecteurs propres d'une matrice 206
6.2.a
Définitions 206
6.2.b
Valeurs propres d'une matrice d'ordre 2 ou 3 207
6.2.c
Valeurs propres d'une matrice d'ordre n 210
6.2.d
Propriétés................. 215
6.3
Réduction d'une matrice ou d'un endomorphisme 230
6.3.a
Diagonalisation............ 233
6.3.b
Trigonalisation ou triangulation. . . 245
6.3.c
Propriétés de la trace d'une matrice 253
6.3.d
Utilisation des hyperplans stables. 255
6.4
Puissance nème d'une matrice . . . . . 263
6.5
Matrices stochastiques . . . . . . . . . 273
6.6
Parties stables par un endomorphisme 288
7 Espaces euclidiens 301
7.1
Définitions . 301
7.1.a
Produit scalaire .. 301
7.1.b
Base orthonormale 304
7.1.c
Orthogonalisation de Gram -Schmidt 304
7.2
Plan euclidien orienté .... 313
7.2.a
Déterminant d'ordre 2 313
7.2.b
Base orthonormale .. 313
7.3
Espace usuel euclidien orienté 320
7.3.a
Produits scalaire et vectoriel 320
7.3.b
Base orthonormale directe .. 321
7.3.c
Matrices symétriques réelles et diagonalisation 334
7.3.d
Matrices orthogonales . . . . 337
7.3.e
Changement de repère affine 342
7.4
Leloran ................ 358
II Analyse 365
8 Fonctions d'une variable réelle 367
8.1
Polynômes . 367
8.1.a
Arithmétique des polynômes 367
8.1.b
Zéros d'un polynôme ..... 368
8.1.c
Espace vectoriel des polynômes 371
8.2
Suites . 373
8.2.a
Suite itérée . . . 373
8.2.b
Suites adjacentes 378
8.2.c
Suites linéaires 381
8.2.d
Compléments 390
8.3
Fonctions . . . . 392
8.3.a
Limites .. 392
8.3.b
Coniques . 393
8.3.c
Continuité. 397
VIn Table des matières
8.3.d
Formule des accroissements finis ... 400
8.3.e
Fonctions trigonométriques et inverses 401
8.4
Développements limités ... 404
8.5
Logarithmes et exponentielles 406
8.6
Méthodes numériques .... 416
8.7
Dl de tangente hyperbolique. 423
9 Calcul intégral 429
9.1
Intégrale impropre . 429
9.1.a
Fonction définie presque partout . 429
9.1.b
Convergence ou divergence d'une intégrale impropre 430
9.1.c
Quelques critères de convergence 442
9.1.d
Convergence absolue . 445
9.1.e
Compléments d'oral . 447
9.2
Valeurs approchées d'une intégrale 454
Il!.
Equations différentielles 461
10.1
Compléments . 461
10.1.a
Equations différentielles linéaires . 461
10.1.b
Equations différentielles non linéaires. 471
lü.1.c
Boucle respiratoire ... 473
10.2
Noyau et équation différentielle 479
10.3
Système différentiel linéaire 483
11 Séries numériques 493
11.1
Définitions et propriétés générales. 493
l1.1.a
Série numérique . 493
Il.1.b
Série géométrique. . . . . . 495
l1.1.c
Propriétés des séries numériques 496
11.2
Séries à termes positifs . 497
11.3
Séries à termes réels . 504
Il.4
Développement limité et série 516
11.4.a
Introduction ..... 516
11.4.b
Exemples fondamentaux 516
12 Fonctions de plusieurs variables 519
12.1
Domaines de lR.n . 519
12.1.a
Distance dans lR.n . 519
12.1.b
Boules et pavés de lR.n 520
12.1.c
Domaine simple de lR.n 521
12.1.d
Changement de variable dans un domaine 524
12.2
Fonctions de lR.n dans lR.P• 525
12.3
Continuité . . . . . 526
12.4
Dérivées partielles .... 528
12.4.a
Définitions ..... 529
12.4.b
Interversion . . . . . 531
12.4.c
Fonctions composées 533
12.4.d
Fonctions homogènes. 537
12.5
Différentiation 539
12.5.a
Accroissement total 539
12.5.b
Formule de Taylor . 539
12.5.c
Différentielles . . . . 540
12.5.d
Forme différentielle de degré 1 541
12.5.e
Changement de variable dans une différentielle 544
12.6Analysevectorielle
............. 546
12.6.a
Champ scalaire et champ vectoriel 546
12.6.b
Gradient. . 549
12.6.c
Rotationnel ............ 549
12.6.d
Divergence 550
12.6.e
Circulation d'un champ vectoriel 551
13 Calcul d'aires et de volumes 553
13.1
Intégralesdoubles. . . . . . . . . . . . . 553
13.l.a
Définition d'une intégrale double 553
13.l.b
Propriétés . 557
13.2
Calcul d'aires et de volumes . 558
13.2.a
Aire d'une surface plane . 558
13.2.b
Changement de variable dans une intégrale double 561
13.2.c
Formule de Green -Riemann 564
13.2.d
Intégrale double impropre 566
13.3
Intégrales triples . 568
III Probabilités 571
14 Variables aléatoires discrètes finies 573
14.1
Fonction de transfert . 573
14.2
Ensemble -Analyse combinatoire 573
14.3
Introduction aux probabilités 575
14.4
Loi binomiale . 592
14.5
Couple de variables aléatoires 594
14.6
Loi hypergéométrique 601
14.7
Fonction génératrice 602
14.7.a
Définition . 602
14.7.b
Propriétés . 603
14.7.c
Fonction génératrice des lois usuelles 605
14.7.d
Cas particulier 607
14.8
Problème de révision . 610
Table des matières
15 Variables aléatoires discrètes dénombrables
15.1 Introduction ....
15.2 Loi géométrique. .
15.2.a Définitions
15.2.b Moments .
15.2.c Fonction génératrice
15.3 Loi de Pascal et loi binomiale négative
15.3.a Loi de Pascal .
15.3.b Loi binomiale négative.
15.4 Loi de Poisson .
15.4.a Processus de Poisson. .
15.4.b Définition et représentation
15.4.c Moments. . .
15.4.d Valeurs modales .
15.4.e Somme de deux lois de Poisson
15.4.f Fonction génératrice de Poisson .
15.5 Résumé des v.a.d .
16 Densités de probabilités
16.1 Généralités .
16.1.a Variable aléatoire absolument continues
16.1.b Représentation
16.1.c Moments
16.2 Loi uniforme .
16.2.a Définition .
16.2.b Représentation de la loi uniforme.
16.2.c Moments
16.3 Loi exponentielle .
16.3.a Définition .
16.3.b Représentation de la loi exponentielle
16.3.c Moments .
16.4 Loi normale .
16.4.a Calcul de l'intégrale de Laplace -Gauss
16.4.b Définitions et propriétés .....
16.4.c Représentation de la loi normale
16.4.d Loi normale centrée réduite
16.4.e Calculs pratiques .....
16.5 Changement de variable aléatoire
16.6 Compléments .
16.6.a Loi log -normale .
16.6.b Loi du t de Student -Fisher.
16.6.c Informatique
16.7 Résumé des v.a.c .
623
623
625
625
626
627
633
633
637
646
646
646
648
648
648
653
654
655
655
655
659
660
662
662
663
663
664
666
666
667
668
669
674
675
675
677
679
687
687
689
692
694
17.1Introduction........... 695
17.2 Densité de probabilité dans]Rn 695
17.2.a Fonction de répartition 695
17.2.b Fonction densité . . . . 695
17.3 Couple de variables aléatoires à densité 697
17.3.a Densité d'un couple 697
17.3.b Moments 697
17.3.c Lois de probabilités marginales . 698
17.3.d Variables aléatoires indépendantes 700
17.3.e Fonction de répartition 705
17.3.f Produit de convolution. . . . . . . 710
17.3.g Somme de variables aléatoires normales 713
18 Théorèmes limites 721
18.1 Convergence en probabilité . 721
18.1.a Inégalités de Markov et de Bienaymé -Tchebichev 721
18.1.b Loi faible des grands nombres. 722
18.2 Convergence en loi . 732
18.2.a Définitions . 732
18.2.b Propriété caractéristique. 733
18.3 Théorème de la limite centrale 733
18.3.a Correction de continuité 733
18.3.b Théorèmes limites ... 734
18.4 Exemples de convergence en loi 736
18.4.a Convergence en loi de fi (N, n, p) vers B (n, p) 736
18.4.b Convergence en loi de B (n, p) vers P (À) 737
18.4.c Convergence en loi de B (n, p) vers N (/-L, a) . 738
18.4.d Convergence en loi de P (À) vers N (/-L, a) 739
18.4.e Exercice complémentaires 741
18.5 Résumé des convergence . . . . . . . . . 750
19 Statistique descriptive à deux variables 751
19.1 Etude et propriétés . . . 751
19.1.a Définition . 751
19.1.b Représentation graphique 753
19.1.c Paramètres d'une v.s.d . 753
19.1.d Droites de régression 754
19.2 Informatique . 756
20 Estimation 761
20.1 Distributions d'échantillonnages . 761 2Ü.1.a Distribution d'échantillonnage des moyennes . 761
Table des matières
20.l.b Distribution d'échantillonnage des fréquences 763
20.l.c Distribution d'échantillonnage des variances. 764
20.2Estimationponctuelle ................. 765
20.2.a Estimation sans biais . 765
20.2.b Théorèmes fondamentaux de l'estimation ponctuelle 765
20.3 Estimation par intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . 767
20.3.a Estimationdelamoyenne . . . . . . . . . . . . . . . 767
20.3.b Estimation d'une fréquence par intervalle de confiance 770
20.4 Comparaison de deux échantillons . 771
20.4.a Principe pour deux moyennes . 771
20.4.b Cas où les échantillons sont indépendants 772
20.4.c Cas où les échantillons sont dépendants 774
20.4.d Table de la loi du t de Student -Fisher . 776
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