À la racine des nombres
Une Histoire du calcul numérique des origines à nos jours.

Sommaire et contenu du livre "À la racine des nombres - Une Histoire du calcul numérique des origines à nos jours."

TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION............................................. . 5 À LA RACINE DES NOMBRES 13 1. Les nombres entiers et rationnels positifs 14 2. Un héritage oriental: les nombres négatifs 15 3. Des nombresconnus depuisPythagore:lesirrationnels.. ...17 4. Irrationalité de .fi 18 5. Les nombres irrationnels à travers les âges 19 6. Les nombres complexes 22 7. Puissances et racines 26 LES MATHÉMATIQUES EN MÉSOPOTAMIE 31 1. Naissance d'une civilisation 31 2. Les Sumériens.......................................... ...32 3. Les Babyloniens 33 4. Les Assyriens............................................. ...34 5. Les Perses ' .34 6. Les premiers textes mathématiques 35 7. Système de numération babylonienne 37 7.1. Les deux signes: le clou et le chevron............... ...37 7.2. Unenotationderœitionpourdifférencierles ~de60... ...38 7.3. L'absence du zéro .40 7.4. Les expressions fractionnaires. ...................... ...41 7.5. La représentation du zéro .42 7.6. Le choix de deux bases sexagésimale et décimale .42 8. Représentation de la valeur .fi......................... ...44 9. Conclusion 45 ALGORITHME DE BAByLONE........................ ...47 1. Problème 47 2. Méthode 47 3. Représentation graphique de la méthode .49 4. Critère d'an·êt. 50 5. Estimation du nombre de boucles de calcul. 50 6. Algorithme de la méthode 54 7. Exemple de calcul: .fi 55 8. Conclusion 57 ORIGINE DES MATHÉMATIQUES GRECQUES 59 1. Situation géographique 59 2. Le néolithique 60 3. La civilisation minoenne 60 4. L'arrivée des Grecs 61 5. La civilisation mycénienne 62 6. Les âges obscurs 64 7. Les cités grecques 65 8. La colonisation grecque................................. .. .66 9. Les philosophes ioniens 68 10. Les guerres médiques 71 11. Les éléates................................................. ...73 12. La puissance grandissante d'Athènes 73 13. Les sophistes 74 14. Les philosophes 76 15. La guerre du Péloponnèse 79 16. Le déclin de Sparte 80 17. La suprématie de la Macédoine 81 18. Denombreuxparadoxes àl'originedesmathématiques... ...82 PYTHAGORE DE SAMOS............................ .... .. .85 1. Biographie de Pythagore de Samos.................... .. .85 2. Le pythagorisme 91 2.1. Arithmétique pythagoricienne 91 2.1.1. Nombres triangulaires.......................... ...93 2.1.2. Nombres carrés 94 2.1.3. Nombres pentagonaux............................. .. .95 2.1.4. Nombres hexagonaux.............................. ...96 2.1.5. Nombres polygonaux quelconques.............. ...97 2.1.6. Représentation des nombres dans l'espace 97 2.1.6.1. Nombres pyramidaux 98 2.1.6.2. Nombres cubiques.................................. ...98 2.1.7. Nombres parfaits................................. .. .99 2.1.8. Nombres amiables 102 2.2. Théorie des proportions 103 2.3. Les médiétés 104 2.4. La musique pythagoricienne............................ ..105 2.5. L'astronomie pythagoricienne 106 3. La découverte des grandeurs incommensurables..... ..108 4. La géométrie 110 5. Le théorème de Pythagore 112 CONSTRUCTIONS GRAPHIQUES 117 1. Problème 117 2. Méthode 117 3. Théorème de Pythagore.................................. .. 118 4. Théorème de la hauteur 118 5. Construction de x = .JO. = ~a2+b2 119 6. Construction de x = .JO. = ~c2-b2 ..120 7. Construction de .JO. = m.......................... ..121 7.1. Remarque sur la construction de .JO. = m 122 7.2. Autre construction de .JO. = m 123 8. Construction géométrique de la série Xn= .JO. ..125 9. Conclusion................................................ ..126 PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES 127 1. Problème 127 488 TABLE DES MATIÈRES 2. Arithmétique pythagoricienne etprogressions arithmétiques .. 127 3. Méthode 129 3.1. Soitnun carréparfaittelquen =;,avecxentier nonnul. 129 3.2. Soit n un nombre quelconque entier non nul.. .130 3.2.1. Domaines d'appartenance des coefficients i, j, k, ... correspondant aux poids 10°, 10'1, 10.2,••••• 134 4. Exemple: calculer -fi au millionième 137 5. Estimation du nombre de boucles de calcul et critère d'arrêt .. 139 6. Algorithme de la méthode 140 7. Prolongement de la méthode 141 8. Conclusion 143 L'ÉCOLE D'ALEXANDRIE 145 1. Fondation de la ville d'Alexandrie 145 2. L'école de mathématiques du Musée 147 3. Déclin de la culture hellénique 148 4. Rétablissement de la vie culturelle à Alexandrie 150 5. Le dernier souffle de l'école d'Alexandrie 152 6. Fin des mathématiques grecques 154 7. Les commentateurs 155 8. Des ruines, de la poussière et des cendres 156 ALGORITHME DE HÉRON D'ALEXANDRIE 159 1. Problème 159 2. Méthode 159 3. Étude de la croissance et de la convergence..... ..160 3. 1. n est un carré parfait.................................................. ..160 3.2. n n'est pas un carré parfait... 160 4. Convergence de la suite 164 5. Conclusion sur la croissance et la convergence de la suite..... .. 164 6. Représentation graphique de la méthode.... ..165 7. Critère d'arrêt............................................................ ..165 8. Estimation du nombre de boucles de calcuL 166 2. Arithmétique pythagoricienne et progressions arithmétiques .. 127 3. Méthode 129 3.1. Soitnun carréparfaittelquen =-2,avecxentiernon nul 129 3.2. Soit n un nombre quelconque entier non nul.. 130 3.2.1. Domaines d'appartenance des coefficients i, j, k, ... correspondant aux poids 10°, 10-1, 10-2,... ..134 4. Exemple: calculer -fi au millionième 137 5. Estimation du nombre de boucles de calcul et critère d'arrêt. .. 139 6. Algorithme de la méthode 140 7. Prolongement de la méthode 141 8. Conclusion 143 L'ÉCOLE D'ALEXANDRIE 145 1. Fondation de la ville d'Alexandrie 145 2. L'école de mathématiques du Musée 147 3. Déclin de la culture hellénique 148 4. Rétablissement de la vie culturelle à Alexandrie 150 5. Le dernier souffle de l'école d'Alexandrie 152 6. Fin des mathématiques grecques 154 7. Les commentateurs 155 8. Des ruines, de la poussière et des cendres 156 ALGORITHME DE HÉRON D'ALEXANDRIE 159 1. Problème 159 2. Méthode 159 3. Étude de la croissance et de la convergence 160 3. 1. n est un carré parfait.................................................. ..160 3.2. n n'est pas un carré parfait........................................ ..160 4. Convergence de la suite 164 5. Conclusion sur la croissance et la convergence de la suite..... ..164 6. Représentation graphique de la méthode........... ..165 7. Critère d'arrêt.. 165 8. Estimation du nombre de boucles de calcuL 166 9. Algorithme de la méthode 169 10. Calcul de .fi : soit al = 1 170 Il. Conclusion 171 FRACTIONS CONTINUES 173 1. Problème 173 2. Fractions continues 173 3. Méthode ] 75 4. Étude de la croissance et de la convergence............. ..179 5. Représentation graphique de la méthode 183 6. Critère d'arrêt. 183 7. Estimation du nombre de boucles de calcuL 184 8. Algorithme de la méthode 185 9. Exemple de calcul: .fi 188 1O. Conclusion 189 L'EUROPE À LA RENAISSANCE 191 1. La Renaissance........................................... ..191 2. L'imprimerie 195 3. La diffusion du savoir. 198 3.1. Les petites Académies privées 198 3.2. Les Académies officielles .199 3.3. Les échanges épistolaires 200 3.4. Les périodiques 201 3.5. Les voyages 202 UNE DÉCOUVERTE POUR RATTRAPER LE TEMPS PERDU: LE LOGARITHME.................. ..203 1. Le calcul au XVIe siècle 203 2. Comment transformer une multiplication en une addition ? 204 3. À la recherche des logarithmes 206 4. La table de logarithmes de John Napier....... ..209 5. Logarithmes de Briggs, dits vulgaires 211 6. Baguettes de Napier...................................... ..212 7. Les logarithmes de Jobst Bürgi 213 8. Impact de la découverte des logarithmes 214 9. Du logarithme à la règle à calcul.................... ..216 CALCUL LOGARITHMIQUE 219 1. Problème 219 2. Propriétés fondamentales des logarithmes............ ..219 3. Logarithmes décimaux 222 4. Logarithmisation et potentialisation 225 4.1. Exemple: logaritmisation de 20,24374 225 4.2. Exemple: potentialisation de 2,303 1972 226 5. Méthode de calcul des racines carrées 228 6. Exemple: calculer -fi ..230 7. Précision des résultats.................................... ..231 7.1. Erreur due à la logarithmisation de n.................. ..231 7.1.1. Erreurs sur les logarithmes de a et b.............. ..231 7.1.2. Erreur due à l'interpolation 232 7.1.3. Erreur sur l'écriture du résultat.. 234 7.1A. Erreur totale sur la logarithmisation de n 234 7.2. Erreur sur le demi-logarithme de n 235 7.3. Erreur due à la potentialisation de log x 236 7.3.1. Erreur d'interpolation 236 7.3.2. Erreur due à J'incertitude sur les valeurs de log x, log a et log b...................................... ..239 7.3.3. Erreur totale sur x 239 8. Conclusion 240 LA RÈGLE À CALCUL.................................... ..241 1. Problème 241 2. Règlesàcalcul........................................ ..241 3. Principe des règles à calcul.. 243 3.1. Construction des échelles 243 3.2. Graduation des échelles 247 4. Utilisation pratique de la règle 248 4.1. La multiplication 249 4.2. La division 250 4.3. Remarques importantes 251 4.4. Opérations en chaîne 253 5. Recherche des racines carrées 253 6. Exemple: recherche de -fi ..254 7. Précision des résultats 255 8. Conclusion................................................ ..255 LE COMPAS DE PROPORTION 257 1. Introduction .257 2. Le compas de proportion 258 3. Méthode................................................... ..259 3.1. La ligne des parties égales 261 3.1.1. Partage d'un segment en n parties égales 262 3.1.2. Partage d'un segment dans une raison donnée 263 3.1.3. Multiplication 264 3.1.4. Division 265 3.2. La ligne des plans 265 3.2.1. Construction de la ligne des plans 266 3.2.1.1. Construction des carrés parfaits.................. ..266 3.2.1.2. Construction des valeurs Jn = Jab 267 3.2.1.3. Construction des valeurs Jn tel que n = a2+ b2ou n= a2-b2........................... ..268 3.2.1.4. Construction des valeurs Jn = ~a2x 269 3.2.2. Construction d'un triangle A'B'C' d'aire n fois celle du triangle ABC et semblable au triangle ABC 269 3.2.3. Recherche d'une moyenne géométrique 270 3.2.4. Recherche d'une racine carrée 270 4. Conclusion 271 492 TABLE DES MATIÈRES DE LA QUADRATURE À LA DÉRIVÉE 273 1. Les Grecs.................................................. ..273 2. La méthode d'exhaustion 274 3. Les Arabes 277 4. Le Moyen-âge............................................ ..281 5. Le calcul infinitésimal aux XVIe et xvue s 284 6. Les problèmes de tangentes............................. ..292 7. Isaac Newton et sa méthode des fluxions 295 7.1. Isaac Newton 295 7.2. La méthode des fluxions 297 8. Leibniz et les différences 301 8.1. Gottfried Wilhelm Leibniz 301 8.2. Le calcul différentiel de Leibniz 302 MÉTHODE DE LA TANGENTE 311 1. Problème 311 2. Méthode 311 3. Description de la méthode de la tangente 312 4. Convergence.............................................. ..314 4.1. Théorème 1................................................ ..314 4.2. Conditions de convergence.............................. ..315 4.2.1. Hypothèses de Fourier. 315 4.3. Théorème 2 315 5. Vitesse de convergence 315 6. Critère d'arrêt. 317 7. Algorithme de Newton 321 8. Awlication de lamédxxie de Newton Jnlf la recherche de -fi.. ..322 9. Conclusion 323 DÉVELOPPEMENTS DE FONCTIONS EN SÉRIES DE TAYLOR. 327 1. Problème 327 2. Théorème de Rolle....................................... ..327 3. Théorème des accroissements finis 328 4. Formule de Taylor. 329 5. Application au calcul de racines carrées 331 6. Exemple: Calcul de x = -fi 334 7. Calcul d'erreur et estimation de l'ordre du développement en série de Taylor. 336 8. Algorithme de la méthode 340 9. Conclusion 345 LES TABLES NUMÉRIQUES 347 1. Problème 347 2. Tables numériques 347 3. Domaine d'utilisation des tables 348 4. Interpolation proportionnelle 349 5. Précision des tables 350 5.1. La lecture du résultat est directe........................ 350 5.2. Une interpolation permet de trouver le résultat.. 351 5.2.1. Appréciation de l'erreur due à la méthode 351 5.2.2. Appréciation de l'erreur sur bh (f(b)-f(a)] 352 -a 6. Dispositions des tables................................... ..354 7. Exemple: recherche de-fi............................. ..356 8. Précision des résultats.................................... ..357 8.1. Appréciation de l'erreur sur f(a) 357 8.2. Appréciation de l'erreur due à l'interpolation 358 8.3. Appréciation de l'erreur sur bh (f(b)-f(a)] 358 -a 9. Conclusion 359 MÉTHODES GRAPHIQUES 361 1. Problème 361 2. Courbe représentative de la fonction y = Jn ..361 3. Recherche de x = Jn 362 494 TABLE DES MATIÈRES 3.1. Deux graduations représentent respectivement n, carré parfait, sur l'axe des abscisses et sa racine carrée sur l'axe des ordonnées .362 3.2. Une graduation représente n, carré non parfait, sur l'axe des abscisses mais sa racine carrée n'est pas représentée sur l'axe des ordonnées 362 3.3. Sur l'axe des abscisses et des ordonnées, aucune graduation ne correspond à n, carré non parfait, et à sa racine carrée 364 3.4. Remarque sur le choix des valeurs d'encadrement. 365 3.5. Remarque sur la précision des résultats 365 4. Représentation de x = Jn dans un système d'axes logarithmiques 366 5. Application au calcul de x = -fi sur un système d'axes logarithmiques 370 6. Erreur sur le résultat.. 371 6.1. Erreur absolue sur la valeur y.......................... ..371 6.1.1. Erreur relative sur le premier terme............. ..372 6.1.2. Erreur relative sur le second terme.............. ..372 6.1.3. Erreur absolue sur le premier terme............. ..373 6.1.4. Erreur absolue sur le second terme.............. ..373 6.1.5. Erreur absolue globale sur y...................... ..373 6.2. Erreur sur la valeur x 374 6.2.1. Erreur absolue sur x................................ ..375 6.2.2. Erreur relative sur x................................ ..375 7. Application numérique pour x = -fi 375 8. Abaques 376 9. Conclusion 379 EXTRACTION DE RACINES CARRÉES AVEC UN BOULIER................................................ ..381 1. Introduction............................................... ..381 2. Méthode 383 3. Racine carrée par défaut d'un nombre 385 4. Pratique de l'extraction d'une racine carrée 387 4.1. Premier cas: n < 100 387 4.2. Deuxième cas: n > 100 , ..387 5. Recherche de .fi au millième 393 6. Conclusion sur l'extraction de racines carrées au boulier. . ..397 EXTRACTION DE RACINES CARRÉES AVEC UNE CALCULATRICE MÉCANIQUE: LA CURTA 399 1. Introduction 399 2. Méthode 401 3. Racine carrée par défaut d'un nombre .403 4. Pratique de l'extraction d'une racine carrée .404 5. Recherche de .fi au millième 405 6. Conclusion sur l'extraction de racines carrées avec une machine mécanique .406 EXTRACTION DE RACINES CARRÉES À LA PLUME 409 1. Introduction .409 2. Introduction à la méthode .410 3. Racine carrée approchée à une unité près d'un nombre n quelconque.................................... ..411 4. Racine carrée approchée au dixième .412 5. Pratique de l'extraction d'une racine carrée .413 5.1. Premier cas: n < 100 .413 5.2. Deuxième cas: n >100 .413 5.3. Exemple: recherche de la racine carrée de n =54756 .415 6. Recherche de .fi au millionième .415 7. Conclusion sur l'extraction de racines carrées .417 496 TABLE DES MATIÈRES ÉVOLUTION DU CALCUL DE L'ANTIQUITÉ AU XXle SIÈCLE................................................. ..419 1. Introduction .419 2. Les doigts............................................... ..420 3. Les tables numériques .421 4. Des calculi aux tables à calcul puis aux abaques .424 5. Les bouliers .429 5.1. Le suanpan .429 5.2. Le soroban .432 5.3. Le stchoty .433 6. Les chiffres arabes et le calcul à la plume .435 7. Le compas de proportion .445 8. Les logarithmes........................................... ..449 9. Les baguettes de Neper. .451 10. Du logarithme à la règle à calcul. .452 Il. Les machines à calcul mécaniques .454 11.1. L' horloge à calcul... ..454 11.2. La Pascaline.. ..455 11.2.1. L'addition de deux nombres .458 11.2.2. La soustraction .458 Il.2.3. La multiplication .459 11.2.4. La division .459 Il.3. La machine à additionner .460 Il.4. La première calculatrice mécanique de poche: la Curta 461 12. Les calculatrices électroniques .468 ÉPILOGUE 475 BIBLIOGRAPHIE........................................ .... ..481 Achevé d'imprimer en novembre 2006 par Normandie Roto Impression 5.8.5' 61250 Lonrai N° d'impression; 063058 -Dépôt légal: décembre 2006 -Imprimé en France