Commande des procédés

Sommaire et contenu du livre "Commande des procédés"

Table des matières 1 Commande en temps continu 1 1 Modélisation dynamique des procédés 3 1.1 Références . .. 3 1.2 Intérêt de la commande des procédés . 3 1.3 Description d'un procédé du point de vue de l'automaticien 4 1.4 Classification des modèles 7 1.5 Représentation d'état 8 1.6 Exemples de modèles en génie des procédés 9 1.6.1 Systèmes à paramètres localisés . 9 1.6.2 Procédés à paramètres distribués 17 1.6.3 Degrés de liberté 25 1.7 Stabilité des procédés 26 1.8 Ordre d'un procédé. 26 1.9 Transformation de Laplace. 27 1.9.1 Linéarisation et variables d'écart 28 1.9.2 Quelques propriétés de la transformation de Laplace 29 1.9.3 Fonctions de transfert 32 1.9.4 Pôles et zéros d'une fonction de transfert 40 1.9.5 Analyse qualitative de la réponse d'un système 40 1.10 Systèmes linéaires dans l'espace d'état 43 1.10.1 Cas général 43 1.10.2 Représentation analogique. 45 1.11 Comportement dynamique de procédés simples 47 1.11.1 Systèmes de premier ordre . 47 1.11.2 Systèmes intégrateurs 48 1.11.3 Systèmes de second ordre 50 1.11.4 Systèmes d'ordre supérieur 54 1.11.5 Identification de modèles continus de procédés 61 2 Commande linéaire à contre réaction 69 2.1 Conception d'une boucle de contre réaction 69 2.1.1 Diagramme de blocs de la boucle de contre réaction 69 2.1.2 Types généraux de régulateurs 71 2.1.3 Organes de mesures: capteurs 73 2.1.4 Lignes de transmission . 74 2.1.5 Actionneurs . 74 2.2 Diagramme de blocs, graphes de fiuence, règles de calcul 76 2.3 Dynamique des procédés commandés par contre réaction . 84 2.3.1 Etude des différentes actions .... 88 2.3.2 Influence de l'action proportionnelle 88 2.3.3 Influence de l'action intégrale . . . . 92 2.3.4 Influence de l'action dérivée ..... 95 2.3.5 Résumé des caractéristiques des régulateurs 99 3 Analyse de stabilité 105 3.1 Cas d'un système défini par sa fonction de transfert 105 3.2 Analysedansl'espaced'état. . . . . . . . . . . . . . 106 3.2.1 Analyse d'un système linéaire dans l'espace d'état 106 3.2.2 Analyse générale pour un système continu non linéaire 107 3.2.3 Cas d'un système continu linéaire. . . . . . . . . . . . 112 3.2.4 Cas d'un système continu non linéaire: le réacteur de polyméri­sation ................... 114 3.3 Analyse de stabilité des systèmes à rétroaction 119 3.3.1 Critère de Routh-Hurwitz . 120 3.3.2 Analyse du lieu des racines 122 3.3.3 Méthode fréquentielle . . . 126 4 Synthèse des régulateurs par bouclage 129 4.1 Critèresdeperformance .................... 129 4.2 Caractéristiques de la réponse transitoire 130 4.3 Critères d'intégrale d'erreur et conception de la commande 132 4.4 Choix du régulateur PID. . 133 4.4.1 Remarques générales. 133 4.4.2 Recommandations . . 134 4.5 Réglage des régulateurs PID . 136 4.5.1 Réglage par essai-erreur 136 4.5.2 Méthode d'oscillation entretenue 136 4.5.3 Méthode d'oscillation par relais. 137 4.5.4 Méthode de la courbe de réaction du procédé 142 4.5.5 Réglage de Tavakoli et Fleming pour les régulateurs PI 145 4.5.6 Réglage robuste pour régulateurs PID . . . . . . . . . . 145 4.6 Améliorationdes PID....................... 146 4.6.1 Régulateur PID avec action dérivée sur la sortie mesurée 146 4.6.2 Utilisation d'une trajectoire de référence. 147 4.6.3 Régulateur PID discrétisé . . . . . . . . . . 148 4.6.4 Anti-emballement du régulateur 149 4.6.5 Régulation PID par commande tout ou rien 150 4.6.6 Régulation de pH . . . . 152 4.7 Méthode de synthèse directe. . 158 4.8 Commande par modèle interne 158 4.9 Placementdepôles . . . . . . . 164 4.9.1 Robustesse de la commande par placement de pôles 170 4.9.2 Régulateur à retour de sortie unitaire 172 4.10 Commande linéaire quadratique. . . 172 4.10.1 Comportement en régulation 173 4.10.2 Comportement en poursuite. 173 5 Analyse fréquentielle 181 5.1 Réponse d'un système linéaire à une entrée sinusoïdale 181 5.1.1 Cas d'un procédé de premier ordre . . 181 5.1.2 Note sur les nombres complexes. . . . 183 5.1.3 Cas d'un procédé linéaire quelconque. 184 5.1.4 Cas de systèmes linéaires en série. 185 5.2 Représentation graphique 185 5.2.1 Diagramme de Bode . . 185 5.2.2 Système d'ordre n ... 187 5.2.3 Diagramme de Nyquist 189 5.2.4 Système d'ordre n .. 191 5.2.5 Diagramme de Black. . 192 5.3 Caractérisation d'un système par analyse fréquentielle 192 5.4 Réponse fréquentielle des régulateurs à rétroaction 193 5.4.1 Régulateur proportionnel . . . . . . . 193' 5.4.2 Régulateur proportionnel-intégral. . . . . 193 5.4.3 Régulateur proportionnel-dérivé idéal ' 194 5.4.4 Régulateur proportionnel-intégral-dérivé . 196 5.5 Critère de stabilité de Bode . . 198 5.6 Marge de gain et marge de phase 203 5.6.1 Marge de gain .... 203 5.6.2 Marge de phase. . . . . 204 5.7 Critère de stabilité de Nyquist 208 5.8 Réponse fréquentielle en boucle fermée 211 5.9 Principe de modèle interne 217 5.10 Robustesse 217 5.11 Résumé pour la conception 232 6 Amélioration des systèmes de commande 235 6.1 Compensation du retard pur 235 6.2 Compensation du phénomène de réponse inverse 237 6.3 Commande en cascade 239 6.4 Commandesélective ............. 245 6.5 Commandepartagée ............ 246 6.6 Commande par anticipation ('feedforward') 246 6.6.1 Généralités ............. 246 6.6.2 Application en distillation . . . . . 247 6.6.3 Synthèse d'un régulateur par anticipation 248 6.6.4 Réalisation d'un régulateur par anticipation 250 6.6.5 Commande par anticipation et rétroaction. 252 6.7 Commandeparrapport ............... 253 7 Représentation d'état, commandabilité, observabilité 257 7.1 Représentation d'état 257 7.1.1 Système monovariable 257 7.1.2 Système multivariable 258 7.2 Commandabilité 259 7.3 Observabilité ......... 263 7.4 Réalisations.......... 266 7.5 Remarque sur la commandabilité et l'observabilité en discret 271 II Commande multivariable 273 8 Commande multivariable par matrice de fonctions de transfert 275 8.1 Représentation d'un procédé multivariable par matrice de fonctions detransfert ............. 275 8.2 Etudedestabilité......................... 277 8.2.1 FormedeSmith-McMillan ................ 278 8.2.2 Pôles et zéros d'une matrice de fonctions de transfert. 278 8.2.3 Critère de Nyquist généralisé 278 8.2.4 Lieux caractéristiques 279 8.2.5 Cercles de Gershgorin 280 8.2.6 Indice de Niederlinski 281 8.3 Interaction et découplage . . 281 8.3.1 Découplage pour un système 2 x 2 282 8.3.2 Rejet de perturbations. . . . . . . 283 8.3.3 Décomposition en valeurs singulières 283 8.3.4 Matrice de gain relatif . . . . . . . . 284 8.3.5 Cercles de Gershgorin et interaction 290 8.4 Robustesse multivariable . . . . . . . . . . . 290 8.5 Etude de robustesse d'une colonne de distillation 2 x 2 294 8.5.1 Analyse du découplage simplifié. 294 8.5.2 Analyse du découplage idéal. . . . . . . . . . . 295 8.5.3 Analyse du découplage unilatéral . . . . . . . . 296 8.5.4 Comparaison des trois découplages précédents. 296 8.6 Synthèse d'une commande multivariable . . . . . . . . 296 8.6.1 Réglagedescorrecteurs . . . . . . . . . . . . . 297 8.7 Commande multivariable discrète par modèle interne. 298 III Identification en temps discret 303 9 Généralités sur les signaux 305 9.1 Transformation de Fourier et traitement du signal 305 9.1.1 Transformée de Fourier continue 306 9.1.2 Transformée de Fourier discrète. 311 9.1.3 Signaux aléatoires . . . . . . . . 315 9.1.4 Signaux aléatoires stationnaires. 316 9.1.5 Résumé......... 317 9.2 Echantillonnage.............. 318 9.2.1 Conversions AN et NA. . . . . . 318 9.2.2 Choix de la période d'échantillonnage 319 9.3 Filtrage .............. 325 9.3.1 Filtre de premier ordre. . 326 9.3.2 Filtre de deuxième ordre. 327 9.3.3 Filtre à moyenne mobile . 327 9.3.4 Filtre ébarbeur . . . . . . 328 9.4 Temps discret et modèles de différences finies 329 9.5 Différentes représentations discrètes d'un système. 330 9.5.1 Représentation discrète: Transformation en z 330 9.5.2 Conversion d'une description continue en temps discret 349 9.5.3 Opérateurs . . . . 10 Principes de l'identification 359 10.1 Description du système .... . 359 10.1.1 Système sans perturbation . 359 10.1.2 Représentation d'une perturbation 360 10.2 Identification non paramétrique . . . . . . 361 10.2.1 Identification fréquentielle ..... 361 10.2.2 Identification par analyse de corrélation 362 10.2.3 Identification spectrale. 363 10.3 Identification paramétrique .. 367 10.3.1 Principes de prédiction 367 10.3.2 Prédiction à un pas 367 10.3.3 Prédiction à p pas ... 372 11 Modèles et méthodes pour l'identification paramétrique 375 11.1 Structure des modèles pour l'identification paramétrique ....................... 375 11.1.1 Modèles linéaires de fonctions de transfert . . . 375 11.1.2 Modèles pour l'estimation dans l'espace d'état 385 11.2 Modèles de systèmes linéaires dépendant du temps . . 393 11.3 Linéarisation de modèles non linéaires dépendant du temps 393 11.4 Principes de l'estimation paramétrique. . . . . 394 11.4.1 Minimisation des erreurs de prédiction . . 394 11.4.2 Régressions linéaires et moindres carrés . 395 11.4.3 Méthode du maximum de vraisemblance. 398 11.4.4 Corrélation des erreurs de prédiction avec les données passées401 11.4.5 Méthode de la variable instrumentale 402 12 Algorithmes d'estimation paramétrique 407 12.1 Régression linéaire et moindres carrés 407 12.2 Méthodes de gradient 409 12.2.1 Méthode de gradient basée sur l'erreur a priori 409 12.2.2 Méthode de gradient basée sur l'erreur a posteriori 413 12.3 Algorithmes récursifs. . . . . . . . . . . . . 415 12.3.1 Moindres Carrés Récursifs Simples . . 415 12.3.2 Moindres Carrés Récursifs Etendus. . 423 12.3.3 Moindres Carrés Récursifs Généralisés 423 12.3.4 Maximum de Vraisemblance Récursif. 424 12.3.5 Méthode d'Erreur de Prédiction Récursive. 425 12.3.6 Méthode de la Variable Instrumentale 428 12.3.7 Méthode d'erreur de sortie 428 12.4 Robustification des algorithmes . . 429 12.5Validation .............. 431 12.6 Suites d'entrée pour l'identification 432 12.6.1 Suite binaire pseudo aléatoire 432 12.6.2 Autres suites pour l'identification. 434 12.7 Exemples d'identification 440 12.7.1 Exemple académique d'un système de second ordre. 440 12.7.2 Identification d'un réacteur chimique simulé. . . . . 445 IV Commande en temps discret 451 13 Commande numérique 453 13.1 Commandeparplacementdepôles . . . . . . . . . . . . . 453 13.1.1 Influence de la position des pôles . . . . . . . . . . 453 13.1.2 Synthèse de la commande par placement des pôles 453 13.1.3 Relation entre le placement de pôles et le retour d'état. 460 13.1.4 Synthèse générale du placement de pôles. 463 13.1.5 Régulateur PID numérique . . . 470 13.2 Commande par modèle interne discrète. 472 13.3 Généralités sur la commande adaptative 479 14 Commande optimale 483 14.1Introduction............................ 483 14.2Positiondu problème....................... 484 14.3 Méthode variationnelle classique dans le cadre mathématique 486 14.3.1 Variation du critère 487 14.3.2 Problème variationnel sans contraintes, à limites fixes 488 14.3.3 Problème variationnel avec contraintes, cas général 489 14.3.4 Equation de Hamilton-Jacobi 491 14.4 Commande optimale . . . . . . . 493 14.4.1 Méthodes variationnelles. 493 14.4.2 Variation du critère .. . 494 14.4.3 Equations d'Euler .... 496 14.4.4 Condition de Weierstrass et maximisation du hamiltonien 498 14.4.5 Equation de Hamilton-Jacobi 498 14.4.6 Principe du maximum 501 14.4.7 Arcs singuliers . . . . 503 14.4.8 Problèmes numériques 510 14.5 Programmation dynamique . 515 14.5.1 Programmation dynamique classique. 515 14.5.2 Equation de Hamilton-Jacobi-Bellman 520 14.6 Commande linéaire quadratique. . . . . . . . 521 14.6.1 Commande linéaire quadratique en temps continu 521 14.6.2 Commande linéaire quadratique gaussienne . . . 528 14.6.3 Commande linéaire quadratique en temps discret 535 15 Commande prédictive 547 15.1 Intérêt de la commande prédictive généralisée. . . . . 547 15.2 Bref aperçu de l'évolution de la commande prédictive. 548 15.3 Commande prédictive généralisée simple . . . . . . . . 549 15.3.1 Présentation théorique. . . . . . . . . . . . . . 549 15.3.2 Exemple numérique: Commande prédictive généralisée d'un réacteur chimique 552 15.3.3 La CPG vue comme un placement de pôles . . . . . . . .. 554 15.4 Commande prédictive généralisée avec modèle de référence multiple 555 15.4.1 Présentationthéorique. .................. .. 555 15.4.2 Exemple numérique: Commande prédictive généralisée avec modèle de performance d'un réacteur chimique 558 15.5 Commande avec modèle de référence sur l'état partiel ... . . .. 559 15.6 Commande prédictive généralisée d'un réacteur chimique. 560 16 Commande prédictive basée sur le modèle 567 16.1 Une vue générale de la commande prédictive basée sur le modèle 567 16.2 Commande prédictive linéaire basée sur le modèle 573 16.2.1 En absence de contraintes. . 573 16.2.2 En présence de contraintes 573 16.2.3 Brève description de IDCOM . . . . . . . . 573 16.2.4 Commande dynamique matricielle (Dynamic Matrix Control DMC) 574 16.2.5 Commande matricielle dynamique quadratique: Quadratic Dynamic Matrix Control (QDMC) , 580 16.2.6 Formulation dans l'espace d'état de DMC . . . . . . . . .. 585 16.2.7 Commande prédictive linéaire dans l'espace d'état: OBMPC 587 16.2.8 Commande prédictive linéaire basée sur le modèle en tant qu'optimisationgénérale. ................. .. 590 16.3 Commandeprédictivenonlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . .. 591 16.3.1 Commande dynamique matricielle non linéaire: Nonlinear Quadratic Dynamic Matrix Control (NLQDMC)........................ .. 591 16.3.2 Autres approches de la commande prédictive non linéaire 593 16.4 Commande prédictive basée sur le modèle d'un FCC 596 16.4.1 ModélisationduFCC .................. .. 596 V Commande non linéaire 611 17 Commande géométrique non linéaire 613 17.1 Quelques notions de linéaire utiles en non linéaire. .............................. 614 17.1.1 Influence d'un changement de coordonnées en linéaire 614 17.1.2 Degré relatif .... . . . . . . 615 17.1.3 Forme normale et degré relatif 616 17.1.4 Dynamique des zéros. . . . . . 618 17.1.5 Retour d'état-statique . . . . . 618 17.1.6 Placement de pôles par retour d'état statique 619 17.1.7 Placement de pôles entrée-sortie .. . . . . 621 17.2 Commande non linéaire monovariable .... . . . . 621 17.2.1 Quelques notions de géométrie différentielle . 621 17.2.2 Degré relatif d'un système non linéaire monovariable 623 17.2.3 Théorême de Frobenius . . . 624 17.2.4 Changement de coordonnées .. 625 17.2.5 Formenormale .......... 626 17.2.6 Commandabilité et observabilité 627 17.2.7 Principe de la linéarisation par bouclage 628 17.2.8 Linéarisation exacte entrée-états pour un système de degré relatif égal à n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. 629 17.2.9 Linéarisation entrée-sortie d'un système de degré relatif r inférieur ou égal à n . 631 17.2.lODynarnique des zéros ' 632 17.2.11 Stabilité asymptotique. . . . . . . . . . . . 634 17.2.12 Poursuite d'une trajectoire de référence . . 636 17.2.13 Découplage par rapport à une perturbation 637 17.2.14Cas de systèmes à non-minimum de phase. 638 17.2.15 Commande globalement linéarisante 638 17.3 Commande non linéaire multivariable 639 17.3.1 Degré relatif 640 17.3.2 Changement de coordonnées 641 17.3.3 Formenormale . . . . . . . . 641 17.3.4 Dynamique des zéros. . . . . 642 17.3.5 Linéarisation exacte par retour d'état et difféomorphisme 642 17.3.6 Commande non linéaire parfaitement découplée par retour d'étatstatique ........... 643 17.3.7 Obtention d'un degré relatif par extension dynamique 644 17.3.8 Commande adaptative non linéaire. . . . . . . . . . . 645 17.4 Applications de commande non linéaire géométrique............................. .. 646 18 Observateurs d'état 651 18.1Introduction............ 651 18.1.1 Capteurs indirects . . . . 652 18.1.2 Principe d'un observateur 652 18.2 Estimation paramétrique. . . 653 18.3 Estimation statistique . . . . . . 653 18.3.1 A propos des données . . 654 18.3.2 Analyse en Composantes Principales 654 18.3.3 Moindres Carrés Partiels (Partial Least Squares) 656 18.4Observateurs ............ 658 18.4.1 Observateur de Luenberger . . . . . . . . . . . . 658 18.4.2 FiltredeKalmanlinéaire . . . . . . . . . . . . . 661 18.4.3 Filtre de Kalman étendu (EKF) sous forme continue-discrète 663 18.4.4 Filtre de Kalman inodore . . 665 18.4.5 Filtres à particules . . . . . . . . . . 668 18.4.6 Filtre d'ensemble de Kalman . . . . 673 18.4.7 Observateur globalement linéarisant 675 18.4.8 Observateur à grand gain . . 676 18.4.9 Estimation à horizon glissant 679 18.5 Conclusion 683 VI Applications aux procédés 691 19 Commande non linéaire de réacteurs avec estimation d'état 693 19.1Introduction. ............. 693 19.2Réacteurchimique .............. 693 19.2.1 Modèle du réacteur chimique . . . . 694 19.2.2 Position du problème de commande 695 19.2.3 Obtention de la loi de commande . 697 19.2.4 Estimations des états . 698 19.2.5 Résultats de simulation . . . . . . 700 19.3 Réacteur biologique . 704 19.3.1 Introduction . 704 19.3.2 Modèle dynamique du réacteur biologique 705 19.3.3 Synthèse de la loi de commande non linéaire 706 19.3.4 Conditions de simulation 709 19.3.5 Résultats de simulation 710 19.3.6 Conclusion . 710 20 Commande de colonnes de distillation 715 20.1 Généralités sur le fonctionnement des colonnes de distillation 715 20.2 Modèle dynamique de la colonne de distillation . . . . . . 718 20.3 Généralités sur la conduite des colonnes de distillation . . 722 20.4 Différents types de commande des colonnes de distillation 723 20.4.1 Commande monovariable . . . . . . . . 723 20.4.2 Commande duale par découplage . . . . 724 20.4.3 La colonne vue comme un système 5 x 5 728 20.4.4 Commande numérique linéaire .. . . . 732 20.4.5 Commande prédictive basée sur le modèle 734 20.4.6 Modèles bilinéaires . . . 734 20.4.7 Commande non linéaire 737 20.5 Conclusion 740 21 Exemples et problème-tests de procédés typiques 745 21.1 Procédés simple entrée-simple sortie . . . . . . . . 745 21.1.1 Description par fonctions de transfert .. . . 745 21.1.2 Description par un modèle de connaissance . 746 21.1.3 Description par un modèle linéaire dans l'espace d'état. 751 21.2Procédésmultivariables ...................... 752 21.2.1 Matrices de fonctions de transfert continues. . . . . . . 752 21.2.2 Description par un modèle linéaire dans l'espace d'état. 754 21.2.3 Description par un modèle de connaissance dans l'espace d'état 755 21.2.4 Modèles continus dans l'espace d'état 756