Les mathématiques du mieux faire Volume 1
Premiers pas en optimisation

Sommaire et contenu du livre "Les mathématiques du mieux faire Volume 1 - Premiers pas en optimisation"

Table des matières 1 Introduction à ce qu'est un problème d'optimisation 1 1.1. L'optimisation : enjeux et problèmes. 1 1.1.1. Fixons le paysage. 1 1.1.2. Les objectifs. Que cherche-t'on? . 2 1.1.3. Les divers aspects. Analogie entre un pro­ blème d'optimisation et un problème poli­ cier. 4 1.1.4. Aspect existence et unicité des solutions 4 1.1.5. Aspects conditions nécessaires d'optimalité 7 1.1.6. Aspects conditions suffisantes d'optimalité 7 1.l.7. Aspects algorithmes 9 1.1.8. 0'autres aspects qualitatifs 10 1.2. Une classification des problèmes d'optimisation II 1.2.1. Programmation linéaire . Il 1.2.2. Optimisation (minimisation) convexe 12 1.2.3. Optimisation différentiable (ou lisse) 12 1.2.4. Optimisation SOP 12 1.2.5. Optimisation non-différentiable (ou optimi­sation non lisse) 14 1.2.6. Optimisation multicritère (ou multiobjectif) 15 1.2.7. Optimisation en dimension infinie 19 2 Minimisation sans contraintes: conditions de minimalité 22 2.1. Existence d'un minimum, unicité 23 4 Minimisation avec contraintes: points-selles de lagrangiens; premiers pas dans la théorie de la dualité . . . . . . . . 98 4.1. Les points-selles dans leur généralité . . . . . .. 98 4.1.1. Ce qu'est un point-selle. . . . . 98 4.1.2. Problèmes de mini-maximisation 100 4.1.3. Sur l'existence de points-selles . lOI 4.2. Points-selles de lagrangiens. . . . . . . lOI 4.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité 104 4.3.1. Dualisons, dualisons... . . . . . . . .. 104 4.3.2. Exemples de dualisation . . . . . . .. 106 4.4. Les multiplicateurs comme paramètres de sensibilité aux perturbations des contraintes . . . . . . . .. 113 5 Annexe A. Notations et rappels. . . . . . . . . . . .. 116 5.1. Algèbre linéaire 116 5.2. Calcul différentiel 116 5.3. Convexité .. J 18 Notices biographiques .. 119 Éléments de bibliographie 123 Index . 127 Liste des noms cités. 131 2.1.1. Un résultat d'existence 23 2.1.2. Une condition suffisante d'unicité. 24 2.2. Conditions de minimalité du premier ordre 25 2.2.l. Conditions nécessaires de minimalité locale 25 2.2.2. Conditions de minimalité globale . 31 2.2.3. Conditions nécessaires de minimalité à € près 34 2.2.4. Conditions nécessaires de minimalité locale pour une classe de fonctions-objectifs non­ différentiables 38 2.3. Conditions de minimalité du second ordre 45 2.4. Un mot des conditions de minimalité d'ordre supé­ rieur 49 3 Minimisation avec contraintes: conditions de minimalité 54 3.l. Conditions nécessaires du premier ordre : contrain­ tes sous forme d'égalités 54 3.2. Conditions nécessaires du premier ordre: contrain­ tes sous forme d'inégalités 62 3.3. Conditions nécessaires du premier ordre : contrain­ tes sous formes d'égalités et d'inégalités 68 3.4. Conditions nécessaires du premier ordre: cas d'un ensemble-contrainte non représenté sous forme d'éga­ lités ou d'inégalités. 77 3.4.1. Les privilèges du monde linéaire (ou affine) 80 3.4.2. Le confort du monde convexe. 80 3.4.3. Retour au monde différentiable 82 3.5. Conditions de minimalité du second ordre 86 3.5.1. Conditions nécessaires 86 3.5.2. Conditions suffisantes 89 3.6. Analyse de la sensibilité aux perturbations des con­ traintes 92