Tenseurs, variations et milieux continus
Calcul scientifique - Formulations locale et variationnelle de la mécanique des milieux continus élastiques.

Sommaire et contenu du livre "Tenseurs, variations et milieux continus - Calcul scientifique - Formulations locale et variationnelle de la mécanique des milieux continus élastiques."

Table des matières


Préface et Introduction 3

Légende des abréviations -Notations 12

Première Partie
Outils mathématiques pour la mécanique 15

Chapitre 1. Algèbre tensorielle 16

1.
Algèbre vectorielle 16

1.1.
Changement de base 17

2.
Les tenseurs 20

2.1.
Transformation d'une matrice par changement de repère 21

2.2.
Définition d'un tenseur . 21

2.3.
Exemple de changement de repère: les angles d'Euler 23

2.4.
Construction des tenseurs à partir du produit cartésien 24

3.
Espace vectoriel des tenseurs du second ordre 26

4.
Algèbre tensorielle dans un espace non euclidien 28

4.1.
Changement de la variance d'un tenseur 28

4.2.
Critère de tensorialité . 29

4.3.
Opérations sur les tenseurs 30

5.
Exemples de tenseurs utiles dans les calculs 31

6.
Directions principales et valeurs propres d'un tenseur d'ordre deux 33

6.1.
Cas des tenseurs symétriques (ou dits autoadjoints) 35

6.2.
Décomposition canonique d'un tenseur en parties symétrique et antisymétrique 37

6.3.
Décomposition d'un tenseur en partie sphérique et déviateur 37

Chapitre Il. Éléments de calcul différentiel sur les variétés 38

1.
Rappels de topologie 38

2.
Calcul différentiel 41

2.1.
Applications différentiables 41

2.2.
Différentielle et dérivée directionnelle 43

2.3.
Différentiabilité et dérivées partielles 44

3.
Application: changement de variables dans les intégrales 45

3.1.
Théorème d'inversion locale 45

3.2.
Approximation linéaire et quadratique 46

3.3.
Différentielles d'ordre supérieur 47

3.4.
Formules de Taylor 48

4.
Géométrie différentielle sur les variétés 48

4.1.
Variétés différentiables .. 48

4.2.
Applications différentiables 53

4.3.
Formes différentielles 55

4.4.
Application: la mécanique symplectique 56

4.5.
Généralisation des I-formes : algèbre de Grassmann 57

4.6.
Applications; opérateurs différentiels 60

5.
Intégration des formes différentielles et applications 61

5.1.
Calcul pratique 61

5.2.
Théorème de Stokes 63

5.3.
Application: formules de Green-Riemann, Ostrogradski et Stokes 64

5.4.
Éléments de la théorie de l'homologie -Applications 65

5.5.
Potentiel scalaire et potentiel vecteur 67

Chapitre III.
Analyse tensorielle
1.
Repère naturel 69

2.
Champs de tenseurs dans un espace non euclidien 70

2.1.
Dérivation covariante 71

2.2.
Transport parallèle. connexion et dérivation covariante 72

2.3.
Géodésiques 75

2.4.
Dérivée covariante de champs de tenseurs 76

2.5.
Transformation des coefficients de Christoffel . .. 77

2.6.
Espaces à connexion métrique 77

2.7.
Interprétation géométrique des tenseurs de courbure et de torsion 78

2.8.
Connexion de Lévi-Civita '' 82

3.
Opérateurs différentiels en coordonnées curvilignes: définition intrinsèque 84

3.1.
Application: opérateurs différentiels en coordonnées sphériques 85

3.2.
Signification des opérateurs divergence. rotationnel 87

4.
Exemples d'utilisation des tenseurs 88

4.1.
Tenseur des contraintes de Cauchy 88

4.2.
Effet piézo-électrique 89

4.3.
Thermique 90

4.4.
Électromagnétisme 90

4.5.
Relativité générale 91

Références bibliographiques 93

Deuxième partie
Mécanique des milieux continus
: fonnulation locale 95

Préface
: 96

Chapitre IV.
Cinématique et statique 97

1.
Notion de milieu continu déformable 97

2.
Cinématique et tenseur des déformations 98

2.1.
Définition du mouvement: représentation eulérienne 1 lagrangienne 98

2.2.
Gradient de déformation 100

2.3.
Déformations -variations de longueur et d'angle 102

2.4.
Tenseurs vitesses de déformation 107

3.
Lois de conservation 108

3.1.
Dérivées particulaires d'intégrales de surface et de volume 108

3.2.
Conservation de la masse. de la quantité de mouvement. de l'énergie 109

3.3.
Statique (étude des efforts) 110

3.4.
Principe des puissances virtuelles III

4.
Premier principe: conservation de l'énergie 114

4.1.
Forme globale de la conservation de l'énergie 115

4.2.
Conservation de ['énergie : forme locale 116

Chapitre V.
Lois de comportement 118

1.
Forme locale du second principe: inégalité de Clausius 118

2.
Principes de l'écriture des lois de comportement 119

2.1.
Objectivité des grandeurs physiques et universalité des lois de comportement 120

2.2.
Objectivité des grandeurs physiques 124

2.3.
Construction des densités d'énergie -lois hyperélastiques 127

2.4.
Quelques lois hyperélastiques fréquemment utilisées 129

3.
Exemple de cinématique en transformations finies: le cisaillement simple 131

4.
Thermoélasticité 132

5.
Comportement des milieux fluides: une brève esquisse ,..,..,
6.
Le schéma linéaire élastique classique: loi de Hooke 135

6.1.
Élasticité linéarisée: déformations en petites transformations 135

6.2.
Tenseur des petites déformations 136

6.3.
Axiomes du schéma élastique classique 137

6.4.
Module d'Young et coefficient de Poisson 138

6.5.
Comparaison avec l'élasticité linéarisée 139

6.6.
Thermoélasticité linéaire 140

Chapitre VI.
Résolution d'un problème d'élasticité 143

1.
Méthode des déplacements: équations de Navier (en statique) 143

2.
Méthode des contraintes: équations de compatibilité de Beltrami 145

2.1.
Théorème de compatibilité cinématique 145

2.2.
Compatibilité cinématique en grandes transformations 147

2.3.
Conditions de Beltrami 151

Annexe 1
: Dérivée matérielle d'intégrales de volume, de surface et de ligne 153

Annexe 2
: Mesures de déformation, vitesses de déformation, et de contraintes 156

Annexe 3
: Problème d'élasticité traité: sphère creuse sous pression 158

Références bibliographiques 160

Chapitre VIL Problèmes de contact plan et tridimensionnel 161

l.
Solution de Michel! d'un problème d'élasticité plane 161

2.
Application: cavité soumise à une tension à l'infini 168

3.
Solution de Flamant du problème de contact plan 169

3.1.
Plan semi-infini soumis à une force ponctuelle l71
3.2.
Problèmes de contact sans frottement 172

3.3.
Cas particuliers: poinçon plan et problème de Hertz 174

4.
Problèmes de contact 3D 176

4.1.
Indentation d'un plan semi-infini par un poinçon rigide 178

4.2.
Exemple: le problème de Hertz 180

Références bibliographiques , , 182

Troisième partie
Homogénéisation et formulations variationnelles en mécanique 183

Chapitre VIII.
Méthodes d'homogénéisation en mécanique 184

1.
Méthodologie du changement d'échelle 184

1.1.
Introduction 184

1.2.
Séparation des échelles 185

1.3.
Représentation, localisation et homogénéisation 186

2.
Théorie des modules effectifs 191

2.
1. Problèmes de localisation 191

2.2.
Tenseurs effectifs 194

2.3.
Propriétés variationnelles 195

2.4.
Approximations de Voigt et Reuss 197

3.
Homogénéisation de composites à microstructure périodique 200

3.1.
Cadre mathématique de l'homogénéisation périodique 200

3.2.
Mise en œuvre: cas de l'élasticité unidimensionnelle 201

3.3.
Homogénéisation de problèmes aux limites elliptiques 205

4.
Milieux continus généralisés: un bref aperçu 206

4.1.
Milieu de Cosserat 208

4.2.
Théorie du second gradient , , 208

4.3.
Équations constitutives d'un milieu de Cosserat isotrope 209

Références bibliographiques , 211

Chapitre IX.
Éléments de calcul des variations ­
Formulation faible de problèmes elliptiques
1.
Motivations 212

2.
Bref historique 212

3.
Extréma de fonctions -Points critiques 214

3.1.
Notion d'extrémum 214

3.2.
Points critiques d'une fonction 216

3.3.
Nature des points critiques 217

4.
Extréma liés de fonctions de plusieurs variables 218

5.
Extréma de fonctionnelles -Équations d'Euler-Lagrange 220

5.1.
Présentation de la problématique 220

5.2.
Variation générale de l'intégrale d'action 222

5.3.
Équation d'Euier-Lagrange 224

5.4.
Conditions aux limites naturelles et essentielles 225

5.5.
Exemples 226

5.6.
Cas particuliers 228

5.7.
Généralisation.. .. 229

6.
Extréma de fonctionnelles comportant des liaisons 232

7.
Conditions suffisantes de minimum de l'intégrale d'action 235

8.
Principes d'extrémum en mécanique 237

8.1.
Cas de l'élasticité linéarisée 237

8.2.
Principes variationnels généralisés 243

8.3.
Principes d'extrémum en élastoplasticité : 246

8.4.
Extension des principes variationnels en grandes Iransformations 246

8.5.
Principes d'extrémum en hyperélasticité 247

8.6.
Formulations variationnelles en vitesse 249

9.
Problèmes aux limites elliptiques: cadre théorique et approximation variationnelle 250

9.1.
Formulations forte el faible 251

9.2.
Formulation variationnelle de problèmes elliptiques 254

9.3.
Exemple: répartition de la chaleur dans un barreau cylindrique 259

10.
Modèles de structures tissées 260

10.1.
Modèle discret du tissu 261

10.2.
Énergie potentielle du treillis 262

10.3.
Simulation du drapé 264

Références bibliographiques 265

Chapitre X.
Modèles d'interfaces micropolaires 267

1.
Présentation 267

2.
Formulation variationnelle de l'équilibre du joint collé 267

2.
1. Loi de comportement des constituants 268

2.2.
Formulation variationnelle 269

2.3.
Estimations des champs de déplacement et de microrotation 271

3.
Loi de contact de l'interface 275

4.
Effets des échelles de longueur caractéristiques sur la cinématique de l'adhésif 280

Références bibliographiques 283