Analyse Mathématiques

Sommaire et contenu du livre "Analyse Mathématiques"

Table des matières Chap 1 Généralités 9 §1Lesensembles ......... 9 §2Lalogique........... 10 §3 Raisonnement par récurrence 13 §4 Contre-exemple . . . . 14 §5 Exercices corrigés ... 15 §6 Corrigés des Exercices 16 Chap Il Fonctions réelles d'une variable réelle 19 §1 Continuité . 19 1.1 Généralités . 19 1.2 Continuité sur un intervalle 24 1.3 Exercices corrigés ., 29 1.4 Corrigés des Exercices 29 §2Dérivabilité ......... 32 2.1 Généralités . 32 2.2 Dérivée à droite et à gauche 33 2.3 Approximation linéaire ... 35 2.4 Dérivée logarithmique, Élasticité 37 2.5 Théorème des accroissements finis 38 2.6 Exercices corrigés . 42 2.7 Corrigés des Exercices . . . . . . 44 §3 Optimisation des fonctions numériques 48 3.1 Convexité et concavité. 48 3.2 Conditions d'optimalité 54 3.3 Exercices corrigés 59 3.4 Corrigés des Exercices 60 §4 Développements limités 66 4.1 Fonctions équivalentes 66 4.2 Fonctions négligeables 68 4.3 Développement limité d'une fonction. 69 4.4 Théorème de Taylor-Young et conséquences 72 4.5OpérationssurlesDL............ 75 TABLE DES MATIÈRES 4.6Applications-Exemples............... 79 Etude locale: tangente, approximation linéaire 79 Calculsdelimite . . . . . . . 80 Etude locale: optimisation . 81 Comportement asymptotique 82 4.7 Exercices corrigés 84 4.8 Corrigés des Exercices . . . 85 Chap III Fonctions de deux variables 89 §1 Généralités 89 §2 Différentiabilité et dérivées partielles 93 §3 Fonctions implicites. . . 100 §4 Développements limités 103 §5 Fonctions homogènes . . 106 5.1 Définition -Propriétés 106 5.2 Forme quadratique. . 107 §6 Concavité et convexité . . . 109 §7 Optimisation des fonctions de deux variables. 115 7.1Définitions ................ 115 7.2 Optimisation sans contrainte -point intérieur. 117 Informationlocale .............. 118 Information globale 121 7.3 Remarque sur les notations de Monge et résultats classiques125 7.4 Optimisation avec contrainte . . . . . . . . . . . 126 Contraintelinéaire ............... 126 Contrainte linéaire: Méthode de substitution 126 Cas général ; Méthode de Lagrange. . . . . . 130 Introduction au cas avec contrainte d'inégalité 145 §8 Exercices corrigés . . . 146 §9 Corrigés des Exercices . . . . 150 Chap IV Les nombres complexes 163 §1 Introduction . 163 §2 Définitions . 164 2.1 Forme algébrique . 164 2.2 Représentation graphique 165 §3 Opérations sur les nombres complexes 166 3.1 Addition et multiplication .... 166 3.2 Extension de la notion de racine carré 167 3.3 Inverse d'un nombre complexe non nul. 168 3.4 Nombre conjugué . 168 3.5 Module d'un nombre complexe . 169 §4 Résolution dans C d'équations du second degré 170 TABLE DES MATIÈRES 4.1 Equation z2 = a + ib. ........... 170 4.2 Equation az2 + bz + c = 0......... 171 §5 Forme trigonométrique d'un nombre complexe . 172 5.1 Rappels de trigonométrie . . . . . 172 5.2 Argument d'un nombre complexe. 172 5.3 Ecriture trigonométrique ... 174 §6 Propriétés des modules et arguments . . 175 6.1 Inégalité triangulaire. . . . . . . . 175 6.2 Module et argument d'un produit 175 6.3 Module et argument d'un quotient 176 §7 Forme exponentielle d'un nombre complexe 176 7.1Définition................ 176 7.2 Règles de calcul sur les formes exponentielles 177 7.3 Résolution de z2 = rei (}, r > 0 177 §8 Exercices corrigés . . . 178 §9 Corrigés des Exercices . . . 180 Chap V Les suites numériques 183 §1 Généralités 183 1.1 Définitions . . . . . . 183 1.2 Monotonie d'une suite 184 1.3 Représentation graphique 186 §2 Comportement asymptotique 187 2.1 Suites convergentes 187 2.2 Suites divergentes . . . 189 2.3 Opérations sur les limites 190 Somme: lim(un + vn) 190 Produit : lim(Un Vn) . 190 Quotient: lim(un/vn) 190 §3 Etude de la nature d'une suite. 191 3.1 Suites géométriques, Suites arithmétiques 191 3.2 Théorèmes de comparaison et d'encadrement 192 3.3Suites monotones. ............... 194 3.4Suitesadjacentes ................ 194 3.5 Utilisation des développements limités et des équivalents 196 §4 Suites récurrentes . . . . . 197 4.1Définitions............. 197 4.2 Notiondepointfixe . . . . . . . . 197 4.3 Notion d'application contractante 200 §5 Equations récurrentes affines à coefficients réels constants 202 5.1 Ordre 1 202 5.2Ordre2 ......................... 205 TABLE DES MATIÈRES §6 Exercices corrigés . . . 207 §7 Corrigés des Exercices 210 Chap VI Les fractions rationnelles 223 §1 Introduction.......... 223 §2 Les polynômes 223 2.1 Polynômes irréductibles 223 2.2 Division Euclidienne. . 226 §3 Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles. 227 3.1 Pôles etélémentssimples . . . . . . . . . . . . . . . .. 227 3.2 Méthodes pratiques du calcul des coefficients de la décomposition en éléments simples 229 Pôlessimples ................ 230 Pôlesmultiples ............... 230 Polynômes irréductibles du second degré. 231 §4 Exercices corrigés . . . 232 §5 Corrigés des Exercices 232 Chap VII Calcul intégral 235 §1 Introduction . . . . 235 §2 Intégrale de Riemann . 235 2.1 Définition . . . . 235 2.2 Propriétés. . . . 237 2.3 Intégration et dérivation. 238 §3 Méthodes d'intégration . . . . 240 3.1 Primitives usuelles . . . . 240 3.2 Intégration par parties. . 241 3.3 Changement de variable. 241 §4 Exercices corrigés . . . 243 §5 Corrigés des Exercices . . 243 Chap VIII Intégrale généralisée 245 §1 Introduction........ 245 §2 Intégrale impropre . . . . 245 2.1 Premier cas : [a, +oo[ 246 2.2 Second cas : [a, b[, b E ~ . 247 §3Propriétés ............ 248 §4 Critères de convergence et divergence. 249 §5 Exercices corrigés . . . 251 §6 CorrigésdesExercices . . . . . . . . . 252 Index 256