Cours de mathématiques Seconde année MP - MP*
Nouveau programme. Exercices corrigés, travaux dirigés.

Sommaire et contenu du livre "Cours de mathématiques Seconde année MP - MP* - Nouveau programme. Exercices corrigés, travaux dirigés."

Table des matières 1. ALGÈBRE GÉNÉRALE 1 1. Classes résiduelles 2 A. Congruence modulo n 2 B. Morphisme canonique 3 C. Groupes cycliques 3 II. Groupes 4 A. Générations 4 B. Produit de groupes 6 III. Anneaux et corps 6 A. Idéaux d'llll anneau commutatif. 6 B. Idéaux de Z; anneau (Z/nZ, +,.) 8 C. Idéaux de K[X] 9 Exercices 10 Travaux dirigés 19 Dévissage du groupe des éléments inversibles de Z/nZ 19 Polynômes cyclotomiques . 22 Somme de carrés et loi de réciprocité quadratique 26 Corps des quaternions; théorème des quatre carrés 28 2. ESPACES VECTORIELS 33 1. Familles de vecteurs . 33 A. Espace K(1) 33 B. Combinaisons linéaires 33 C. Bases et applications linéaires 35 II. Sommes directes 35 A. Somme 35 B. Définition de la somme directe et premières propriétés 36 C. Décomposition de E en somme directe 38 III. Applications linéaires 39 A. Théorème fondamental 39 B. Dualité 41 C. Trace 46 IV. Calcul matriciel 47 A. Utilisation de matrices élémentaires 47 B. Matrices équivalentes 48 C. Décomposition de matrices par blocs 48 D. Opérations élémentaires 49 Exercices 52 Travaux dirigés 68 Espaces vectoriels de matrices non inversibles 68 Codes . 69 Théorème de Burnside (MP*) 72 Groupes multiplicatifs de 9J1n (R) 75 3. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES 79 1. Sous-espaces vectoriels stables 79 II. Polynômes d'endomorphisme 80 A. Généralités 80 B. Théorème de décomposition des noyaux 82 III. Éléments propres 83 A. Cas d'un endomorphisme 83 B. Cas d'une matrice 85 C. Polynôme caractéristique 86 IV. Réduction en dimension finie 91 A. Diagonalisation 91 B. Trigonalisation 96 Exercices 98 Travaux dirigés 114 Matrices cycliques 114 Sous-algèbres de [,(E) de codimension 1 118 Matrice de Vandermonde . 121 Décomposition de Dunford; applications 123 Suites récurrentes linéaires 127 4. ESPACES VECTORIELS NORMÉS 129 I. Normes et distances 129 A. Définitions 129 B. Exemples fondamentaux 132 C. Applications lipschitziennes 134 II. Suites 135 A. Nature d'une suite 135 B. Comparaison des normes 137 C. Suites extraites. Valeurs d'adhérence 138 D. Relations de comparaison . 139 E. Complétude dans un espace vectoriel normé 140 III. Topologie dans un espace vectoriel normé 142 A. Voisinages, ouverts, fermés 142 B. Adhérence, intérieur, frontière 146 IV. Limites, continuité 147 A. Limites 147 B. Comparaisons 150 C. Continuité 150 D. Continuité uniforme 153 E. Homéomorphismes 153 F. Limite de fonctions à valeurs dans un espace de Banach 154 V. Applications linéaires, bilinéaires continues 155 A. Applications linéaires continues 155 B. Applications bilinéaires continues 157 VI. Compacité 158 VII. Espace vectoriel normé de dimension finie 161 VIII. Connexité par arcs 163 Exercices 165 Travaux dirigés 179 Des normes sur 9J1n(K) 179 Valeurs d'adhérence d'une suite j applications 180 Morphismes continus entre les groupes GLn(C) et C*. 183 5. SÉRIES . 185 1. Généralités 185 A. Définitions 185 B. Exemples de base 186 C. Critère de Cauchy 187 D. Structure d'espace vectoriel 187 II. Séries à termes réels positifs 188 A. Généralités 188 B. Comparaison des séries à termes positifs 189 C. Développement décimal d'un réel 191 III. Séries alternées . 192 IV. Convergence absolue 193 A. Définition et théorème général 193 B. Série géométrique dans une algèbre de Banach 194 C. L'exponentielle 195 D. Sommation de relations de comparaison 195 E. Produit de Cauchy 197 Exercices 199 Travaux dirigés 212 Développement asymptotique du reste d'une série de Riemann 212 Régie de Raabe-Duhamel . 213 Transformation d'Abel; premières applications 215 Théorème du point fixe et applications 217 Groupement par paquets 219 Espaces fP 221 6. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 225 1. Divers types de convergence de suites de fonctions 225 II. Continuité et limites uniformes 229 III. Approximations de fonctions 231 IV. Séries de fonctions 236 A. Divers modes de convergence 236 B. Propriétés de la somme 238 C. Séries doubles 239 Exercices 241 Travaux dirigés 252 Weierstrass et Bernstein 252 Théorèmes de Dini . 253 Un produit infini 256 Une convergence vers la fonction exponentielle 259 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL 263 1. Dérivation 263 A. Définitions 263 B. Opérations 265 C. Fonctions de classe Ck 268 II. Intégrale sur un segment 271 III. Dérivation et intégration 273 A. Primitives de fonctions continues 273 B. Accroissements finis 275 C. Formules de Taylor . 277 D. Exemple des intégrales de Wallis 277 IV. Suites et séries de fonctions 278 A. Convergence en moyenne 278 B. Dérivation 279 Exercices 281 Travaux dirigés 296 Une suite de fonctions périodiques 296 Intégration approchée . 299 Majoration d'une fonction dérivée 302 Une racine carrée de fonction 304 Théorème de Borel . 307 Fonctions à variation bornée 309 8. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE 315 1. Cas des fonctions positives 315 A. Intégrabilité . 315 B. Propriétés de l'intégrale d'une fonction positive 320 II. Cas des fonctions à valeurs complexes 322 A. Intégrabilité . 322 B. Intégrale 323 C. Extension de l'intégrale 326 D. Changement de variable 327 E. Application à l'étude de séries 327 F. Intégration des relations de comparaison 328 III. Espace vectoriel normé des fonctions intégrables 329 A. Normes 329 B. Convergence dominée 330 C. Intégration terme à terme des séries de fonctions 331 IV. Intégrales dépendant d'un paramètre 332 A. Continuité 332 B. Dérivabilité 333 C. Limite . 334 D. Complément sur la fonction r 335 V. Intégrales doubles 336 A. Intégration sur un rectangle 336 B. Cas des fonctions positives 336 C. Cas des fonctions à valeurs complexes 338 Exercices 341 Travaux dirigés 363 Fonction définie par une intégrale 363 Convolution et régularisation 365 Transformation de Fourier 368 Transformation de Laplace 372 Méthode de Laplace; application à la formule de Stirling 376 Calcul d'une intégrale . 378 Formule des compléments . 383 Développements asymptotiques de fonctions définies par une intégrale 385 9. SÉRIES ENTIÈRES 391 1. Rayon de convergence 391 A. Définitions 391 B. Détermination du rayon 392 II. Propriétés de la somme 395 A. Continuité 395 B. Intégration 395 C. Dérivabilité 396 III. Fonctions développables en série entière 397 A. Définitions 397 B. Séries de Taylor 398 C. Développements classiques 398 Exercices 401 'fravaux dirigés 419 Théorème de Bernstein 419 Comportement aux bornes de l'intervalle de convergence 421 Inégalités de Cauchy; applications 424 Une équation fonctionnelle 428 Un théorème de Hardy-Littlewood 433 10. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS 439 1. Formes quadratiques 439 A. Formes bilinéaires symétriques 439 B. Formes quadratiques 440 C. Formes bilinéaires symétriques de signe constant 440 D. Forme quadratique en dimension finie 441 II. Espaces préhilbertiens réels 443 A. Produit scalaire . 443 B. Orthogonalité 446 C. Projection orthogonale 449 III. Espaces Euclidiens 451 A. Expressions analytiques 451 B. Isomorphisme canonique 452 C. Adjoint d'un endomorphisme 453 D. Automorphismes orthogonaux 455 E. Endomophismes autoadjoints 459 Exercices 464 'fravaux dirigés 475 Matrice et déterminant de Gram 475 Théorème de Courant-Fischer et applications 478 Méthode du gradient conjugué 480 Approximation d'une matrice de rang fixé 481 Conditionnement d'une matrice de Hilbert 486 Norme d'un endomorphisme autoadjoint 492 Formes positives et produit scalaire sur R[X] 497 11. ANALYSE HILBERTIENNE . 501 1. Structure préhilbertienne complexe 501 A. Produit scalaire . 501 B. Orthogonalité 504 C. Projection orthogonale 507 II. Séries de Fourier 508 A. Structure préhilbertienne et extension 508 B. Coefficients de Fourier . 509 C. Extension de l'inégalité de Bessel 510 D. Autres périodes . 511 III. Problèmes de convergence 512 A. Convergence en moyenne quadratique 512 B. Convergence ponctuelle 514 Exercices 517 Travaux dirigés 533 Inégalité isopérimétrique 533 Polynômes de Bernoulli 535 Méthode de Jackson 539 Théorème de Bochner 544 Formule sommatoire 552 12. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 559 1. Équations différentielles linéaires 559 A. Généralités 559 B. Équations scalaires d'ordre 1 559 C. Équations linéaires du premier ordre 562 D. Équations scalaires d'ordre 2 . 568 II. Équations différentielles non linéaires 571 A. Systèmes différentiels autonomes dans une partie ouverte de R2 571 B. Équations non autonomes . 574 C. Équation autonome sur un intervalle de R 575 Exercices 577 Travaux dirigés 593 Théorème de Cauchy-Lipschitz: une preuve 593 Solutions pseudo-périodiques d'une équation différentielle 596 Fonctions oscillantes 601 Lemme de Gronwall; applications 606 Position d'équilibre d'une équation autonome 610 Équation différentielle de Bessel 613 Une équation de Riccati 617 13. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 621 I. Calcul différentiel 621 A. Généralités 621 B. Opérations sur l'ensemble des applications de classe Cl 624 C. Algèbre Cl (U, K) 627 D. Dérivées partielles d'ordre k ~ 2 629 II. Complément de calcul intégral 632 A. Champs de vecteurs, de scalaires 632 B. Intégrale curviligne 634 C. Intégrales doubles 635 Exercices 638 Travaux dirigés 649 Endomorphismes conservant un opérateur différentiel 649 Équation aux dérivées partielles 653 14. GÉOMÉTRIE 657 I. Arcs paramétrés 657 A. Généralités 657 B. Paramétrages 658 C. Étude métrique 658 II. Courbes planes 659 A. Étude locale d'une courbe paramétrée 659 B. Premier théorème des fonctions implicites 662 C. Propriétés métriques 663 D. Étude d'un arc en polaires 664 III. Surfaces 665 A. Surface paramétrée 665 B. Surface définie par une équation cartésienne 665 C. Intersection de deux surfaces 666 D. Surfaces usuelles 667 E. Quadriques 670 Exercices 675 Travaux dirigés 690 Tore et cercles de Villarceau 690 Ruban de Moëbius . 693 Courbe définie par une condition différentielle 695 Chaînette 697 Spirale logarithmique 699 INDEX . 701