Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I
Théorie élémentaire des équations différentielles avec éléments de topologie différentielle

Sommaire et contenu du livre "Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I - Théorie élémentaire des équations différentielles avec éléments de topologie différentielle"

TABLE DES MATIÈRES Avant-Propo vii 1 Éléments de topologie différentielle 1 1 Préliminaires d calcul différentiel 3 1.1 Différentielle........... 3 1.1.1 Définitions....... 3 1.1.2 Expressions de la différentielle 7 1.1.3 Composition des différentielles 9 1.~ Formule des accroissements finis .... 10 1.3 Théorème de l'inverse, difféomorphisme 10 1.4 Théorème des fonctions implicites 14 2 Variétés et sous-variétés 19 2.1 Variétés différentiables 19 2.1.1 Définitions.. 20 2.1.2 Topologie quotient 22 2.1.3 Exemples de variétés. 23 2.1. Difféomorphisme entre variétés 27 2.2 Sous-variété d'un ouvert de ]Rn ..... 30 2.2.1 Codimension. Sous-espaces vectoriels transverses 30 2.2.2 Définition d'une sous-variété d'un ouvert de ]Rn . 31 2.2.3 Premiers exemples de sous-variétés . 33 2.2.4 Espace tangent en un point d'une sous-variété 34 2.3 Valeur régulière d'application différentiable ..... 35 2.3.1 Équation cartésienne d'une sous-variété .. 35 2.3.2 Existe-t-il beaucoup de valeurs régulières? 38 2.4 Compléments sur les variétés . . . . . . . . . 42 2.4.1 Espace tangent à une variété . . . . 42 2..2 Plongement, immersion, submersion 44 2.4.3 Distance sur une variété . 48 2.4.4 Transversalité 51 3 Points singuliers de fonctions 51 3.1 Dérivées partielles d'ordre supérieur . 57 3.1.1 Définitions, notations et propriétés de base . 57 3.1.2 Approximation de f au voisinage d'un point 58 3.2 Points singuliers d'une fonction sur un ouvert. 61 3.2.1 Extremums . 61 .2. 2 Rappels sur les formes quadratiques . 62 3.2.3 Condition suffisante d'extrémalité .. 64 3.3 Point singulier d'une fonction sur une sous-variété 74 3.3.1 Définitions et exemples ... 74 3.3.2 Multiplicateurs de Lagrange 77 3.3.3 Le cas de la codimension 1 . 78 II Théorie élémentaire des équations différentielles 81 1 Généralité 83 1.1 Définition des champs de vecteurs . . . . . . . 83 1.2 Image d'un champ par un difféomorphisme .. 85 1.3 Équation différentielle d'un champ de vecteurs 87 lA Équations différentielles générales . . . . . . . 89 2 Champs de v cteurs linéaires 93 2.1 Étude théorique . 93 2.2 Résolution explicite . 100 2.3 Les champs linéaires de vecteurs de ]R2 107 3 Propriétés générales des trajectoir 111 3.1 Leprincipedupointfixe .......... 111 3.2 Existence et unicité locales des trajectoires 113 3.3 Flot d'un champ de vecteurs . 118 3.3.1 Trajectoire maximale . . . . . . 118 3.3.2 Propriétés différentiables du flot 121 3.3.3 Groupe à I-paramètre . 123 3.3.4 Équivalence à des champs de vecteurs à flot complet 127 3.3.5 Exemples de flots . 132 4 Analyse qualitativ de trajectoires 135 4.1 Champ sur une variété, intégrale première 135 4.2 Type topologique des trajectoires 139 4.3 Théorème du voisinage tubulaire. 142 4.4 Indice des points singuliers isolés . 148 5 Récurrence 159 5.1 Propriétés des ensembles limites . 160 5.2 Orbites récurrentes . 164 5.3 Récurrence pour les champs de vecteurs d'un ouvert de la sphère . 171 5.3.1 Préambule: le théorème de Jordan . 172 5.3.2 Théorème de Poincaré-Bendixson . 179 5.3.3 Applications du théorème de Poincaré-Bendixson . 181 5.3.4 Vers la théorie de Poincaré-Bendixson . 184 6 Orbites et champs périodiques 187 6.1 Orbites périodiques . 188 6.2 Section globale, suspension . 197 6.2.1 Section globale pour un champ de vecteurs 197 6.2.2 Suspension d'un difféomorphisme. 198 6.3 Champs de vecteurs périodiques . 204 7 Stabilit' d s trajectoires 213 7.1 Stabilité d'un point singulier d'un champ de vecteurs 214 7.1.1 Différents types de stabilité 215 7.1.2 Théorèmes de stabilité . 219 7.2 Stabilité d'une orbite périodique . 229 7.2.1 Différents types de stabilité pour une orbite périodique . 229 7.2.2 Différents types de stabilité pour un point fixe de difféomorphisme . 231 7.2.3 Relation entre la stabilité d'une orbite périodique et celle de ses applications de Poincaré 232 7.2.4 Théorèmes de stabilité . 234 Bibliographie 239 Index 241