Exercices de mathématiques des oraux x - ens
Analyse 4

Sommaire et contenu du livre "Exercices de mathématiques des oraux x - ens - Analyse 4"

Table des matières

Introduction 1

Chapitre 1. Fonctions de plusieurs variables 5

1.1.Étudededifférentiabilité
. . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.
Différentiabilité du maximum de plusieurs fonctions 7

1.3.
Différentiabilité de la distance à un convexe fermé la
1.4.
L'ouvert des matrices cycliques. 11

1.5.
Rang localement constant. . 13

1.6.
Étude d'une suite récurrente . . 14

1.7.
Contre-exemple de Peano. . . . 16

1.8.
Fonctions s'écrivant x>-------+ (h(x)x,x) avec h: IRn ---- Sn(IR) . 18

1.9.
Espace des dérivations en 0 . 19

1.10.
Isométries infinitésimales .... 21

1.11.
Jacobienne antisymétrique. . . . 22

1.12.
Exemple de difféomorphisme (1) 24

1.13.
Exemple de difféomorphisme (2) 25

1.14.
Perturbation de l'identité . . . . 25

1.15.
Dilatations de classe Cl ... . . 27

1.16.
Racine carrée sur l'ensemble des matrices définies positives 28

1.17.
Injectivité locale d'une fonction de classe Cl 31

1.18.
Normales à une hypersurface compacte 32

1.19.
Calcul d'un minimum . . 34

1.20.
Existence d'un maximum 38

1.21.
Descente de gradient. . . 39

1.22.
Gradient bijectif . . . . . 41

1.23.
Fonctions harmoniques (1) 42

1.24.
Fonctions harmoniques (2) 43

1.25.
Principe du maximum (1) 45

1.26.
Principe du maximum (2) . 46

1.27.
Principe du maximum (3) . 47

1.28.
Équation de la chaleur sur un anneau 49

1.29.
Fonctions harmoniques sur un demi-plan 52

1.30.
Une équation aux dérivées partielles (1) 55

1.31.
Une équation aux dérivées partielles (2) 57

1.32.
Théorème de relèvement. . . 60

1.33.
Existence d'un point critique 61

1.34.
Intégrale double (1) 63

1.35.
Intégrale double (2) . . . . . 63

1.36.
Intégrale double (3) 64

1.37.
Intégrale double (4) 65

1.38.
Intégrale double (5) 68

1.39.
Un opérateur intégral 70

1.40.
Comparaison à une intégrale double 72

1.41.
Une intégrale multiple . . . . . . . . 75

Chapitre 2. Équations différentielles linéaires 77

2.1.
Étude d'une équation linéaire singulière (1) 77

2.2.
Étude d'une équation linéaire singulière (2) 78

2.3.
Étude d'une équation linéaire singulière (3) 80

2.4.
Étude d'une équation linéaire singulière (4) 82

2.5.
Équations du second ordre avec second membre 85

2.6.
Utilisation d'un développement en série de Fourier. 85

2.7.
Une équation aux dérivées partielles. 87

2.8.
Un problème de Cauchy 90

2.9.
Équation y'Iyl =0. 91

2.10.
Déterminant circulant 93

2.11.
Équation intégrale (1) 95

2.12.
Équation intégrale (2) 96

2.13.
Équation différentielle linéaire d'ordre 4 97

2.14.
Équation linéaire d'Euler . . . . . . . . 98

2.15.ÉquationdeBessel............ 101

2.16.
Solution développable en série entière de xy'yiy = 0 104

2.17.
Équation singulière avec deux solutions de produit 1 . .. 106

2.18.
Condition d'existence de deux solutions de produit 1 . .. 107

2.19.
Condition d'existence de deux solutions telles que Y2 = XYl 108

2.20.
Un problème aux limites (1) 110

2.21.
Un problème aux limites (2) 111

2.22.
Problème de Cauchy asymptotique 112

2.23.
Solutions de yiay = b de limite nulle en ±oo 114

2.24.
Solutions périodiques de yiay = b ... 115

2.25.
Solutions bornées de y' -a2y = f .... 116

2.26.
Limite en 00 d'une solution de x' = qx 118

2.27.
Équation dépendant d'un paramètre . . 119

2.28.
Application du lemme de Gronwall (1) . 121

2.29.
Application du lemme de Gronwall (2) . 122

2.30.
Une variante du lemme de Gronwall . . 123

2.31.
Les solutions de y'ty = 0 sont bornées 124

2.32.
Autour du lemme de Gronwall 125

2.33.
Théorème de Bâcher . . . 126

2.34.
Équation de Mathieu (1) 128

2.35.
Équation de Mathieu (2) 129

2.36.
Inégalité de Liapounov. . . . . . . . 132

2.37.
Théorème de stabilité de Liapounov 133

2.38.
Théorème d'entrelacement de Sturm 135

2.39.
Équation y'qy = 0 avec q strictement négative. 136

2.40.
Solutions non nulles s'annulant au plus une fois. . 137

2.41.
Équation y'qy = 0 avec q positive et croissante (1) 138

2.42.
Équation y'qy = 0 avec q positive et croissante (2) 140

2.43.Théorèmede
Sturm(1836) ........... 142

2.44.
Zéros de .7:'x = E(t)x' : étude asymptotique 144

2
2.45. Zéros de y'ta-y = 0 : étude asymptotique. 145

2.46.
Équation dépendant d'un paramètre . . . . . . 147

2.47.
Nombre de zéros au voisinage d'un point 148

2.48.
Résolution approchée d'une équation d'ordre 2 149

2.49.
Système différentiel du premier ordre à coefficients constants 152

2.50.
Résolution d'un système différentiel .... 153

2.51.
Particule dans un champ magnétique. . . . 155

2.52.
Équation X' = AX, avec A antisymétrique. 157

2.53.
Existence d'une limite en 00. . . . . . . . 158

2.54.
Majoration des solutions d'un système différentiel (1) 158

2.55.
Majoration des solutions d'un système différentiel (2) 159

2.56.
Distance entre les solutions de deux systèmes différentiels 161

2.57.
Solutions à coordonnées positives. 164

2.58.
Équation différentielle de Lax (1) 165

2.59.
Équation différentielle de Lax (2) . 166

2.60.
Une identité remarquable . . . . . 167

2.61.
Classification différentielle des flots linéaires. 168

2.62.
Stabilité d'un système à coefficients constants. 170

2.63.
Équation singulière d'ordre 1 dans en 172

2.64.Commandabilité
................ 178

Chapitre 3. Équations différentielles non linéaires 181

3.1.
Tangentes aux courbes intégrales. . . . . . . . 185

3.2.
Équation différentielle y' = xy2 ....... 186

3.3.
Solution développable en série entière de xy' = xy2 188

3.4.
Solution approchée de y' = x2y2 191

3.5.
Recherche de solutions développables en série entière 195

3.6.
Équation se ramenant à une équation autonome (1) 197

3.7.
Équation se ramenant à une équation autonome (2) 200

3.8.
Monotonie des solutions d'une équation autonome 202

3.9.
Équation autonome x' = f(x), où f est positive . . 203

3.10.
Équation autonome x' = g(x), où 9 est négative . 205

3.11.
Comparaison de solutions d'équations autonomes. 207

3.12.
Équation yi = y4g(x), où 9 tend vers 0 en 00 . 207

3.13.
Étude qualitative d'une solution de x' = À~ 209
1t
3.14.
Étude qualitative des solutions de yi = a,jfj -x .. 211

3.15.
Équation x' = f(x, t) avec f doublement 1-périodique 214

3.16.
Équation yi = f(y, t) où f est périodique par rapport à t 216

3.17.
Existence d'une solution périodique 218

3.18.
Théorème de l'entonnoir .. 221

3.19.
Étude de x' = cos xcos t 223

2
3.20. Étude de x' = x-t (1) . 225

3.21.
Étude de x' = x2 -t (2) . 226

2
3.22. Étude de x' = x-t (3) . 227

, 1_2 2

3.23. Etude de y -y -t .. 231

3.24.
Étude de x' = sin(tx) .. 233

3.25.
Inégalité différentielle (1) 237

3.26.
Inégalité différentielle(2) . 238

3.27.
Équations différentielles dépendant d'un paramètre. 239

3.28.
Système différentiel (1) 242

3.29.
Système différentiel (2) . 244

3.30.
Système différentiel (3) . 246

3.31.
Surjectivité d'une application propre, localement inversible 248

3.32.
Système proie-prédateur de Lotka-Volterra . 250

3.33.
Intervalle de définition d'une solution .... 253

3.34.
Équation différentielle dans 1R3 euclidien (1) . 254

3.35.
Équation différentielle dans 1R3 euclidien (2) . 257

3.36.
Équation différentielle ~7 = M2 dans MnUC) 260

3.37.
Gradient d'une fonction minorée ... 261

3.38.
Étude des solutions de x' = gradf(x) 262

3.39.
Dynamique du gradient (1) ..... 264

3.40.
Dynamique du gradient (2) . . . . . . 265

3.41.
Théorème de stabilité de Liapounov . 267

3.42.
Stabilité de la solution nulle d'un système différentiel (1) 269

3.43.
Stabilité de la solution nulle d'un système différentiel (2) 274

3.44.
Une équation autonome d'ordre 2 276

3.45.
Une équation du second ordre . 277

3.46.
Équation différentielle V'P
3.47.
Solution de u'f(u) = 0 avec u(-l) = u(l) =0. 280

2n 1
3.48. Équation u'U = U ... 280
3.49.
Équation u'au'bsin u = 0 283

3.50.
Équation du pendule simple. 285

3.51.
Équation de Van der Pol 289

3.52.
Calcul des variations (1) . 291

3.53.
Calcul des variations (2) . 295

TABLE DES MATIÈRES 343
3.54.
Surface d'aire minimale 297

3.55.
Fonctions telles que l' = 1-1 302

Chapitre 4. Courbes 305

4.1.
Intersection d'un plan et d'un cylindre 306

4.2.
Courbe de poursuite ou courbe du chien 306

4.3.
Points coplanaires ou alignés sur une courbe 308

4.4.
Points alignés sur une courbe. . . . . . . . . 310

4.5.Pointsmultiples
................ 312

4.6.
Courbes telles que d(M(t l ), M(tz)) ne dépende que de Itl -tzl 314

4.7.
Minimisation d'une aire. 317

4.8.Chemin
lepluscourt(1) ......... 318

4.9.Chemin
lepluscourt(2) ......... 320

4.10.
Chemin au-dessus d'une courbe concave 322

4.11.
Inégalité isopérimétrique. . . . . . . . . 324

4.12.
Distance d'un point du plan à une courbe 326

4.13.
Aire d'un triangle 327

4.14.
Centre de courbure sur une hyperbole équilatère 328

4.15.
Ovale de largeur constante 330

4.16.
Points associés sur un arc régulier sans point double 332

4.17.
Théorème des quatre sommets 335

4.18.
Courbure affine. . . . . . . . . 336

Table des matières 339

Index 345