Initiation progressive au calcul tensoriel
Cours et exercices corrigés.
Le calcul tensoriel est un outil mathématique systématiquement utilisé dans de nombreux domaines de la physique, notamment pour l'étude des propriétés mécaniques et électromagnétiques des matériaux, de la mécanique classique ou relativiste, appliquée ou théorique (cosmologie par exemple). Malheureusement, faute d'une place et d'un temps suffisants, l'étude de cette discipline est [...]
[lire le résumé du livre]
Auteur : Claude JEANPERRIN
Editeur : Ellipses
Collection : Universités Physique
Date parution : 03/2000Alerte dispo
Cet ouvrage n'est momentanément plus disponible chez l'éditeur
CB Google/Apple Pay, Chèque, Virement
Quel est le sujet du livre "Initiation progressive au calcul tensoriel"
Le calcul tensoriel est un outil mathématique systématiquement utilisé dans de nombreux domaines de la physique, notamment pour l'étude des propriétés mécaniques et électromagnétiques des matériaux, de la mécanique classique ou relativiste, appliquée ou théorique (cosmologie par exemple). Malheureusement, faute d'une place et d'un temps suffisants, l'étude de cette discipline est souvent "comprimée" en marge des programmes effectifs, voire inexistante. Certains enseignants ont pris le parti d'introduire dans leurs cours un bref "complément sur les tenseurs", qui souvent ne peut que servir d'aide-mémoire à un Public supposé déjà initié. Afin de combler cette lacune, et de permettre aux étudiants de maîtriser rapidement les techniques de base de calcul tensoriel nécessaires à la compréhension des cours qui leur sont dispensés par ailleurs, l'auteur a été amené à mette au point un programme d'initiation progressive au calcul tensoriel qui, après polissage "sur le tas", a donné naissance au présent manuel. Ce dernier n'est ni un traité de mathématiques pures ni un ouvrage de calcul strictement appliqué, mais il se situe entre les deux puisqu'il développe l'essentiel de la théorie sans en pousser le formalisme trop loin, et introduit des techniques utilitaires sans cependant les spécialiser. Il s'appuie sur l'explication sans négliger la démonstration et s'efforce d'adjoindre à la démarche déductive du mathématicien, une démarche inductive qui "parle" au physicien. Il contient, bien évidemment, de substantiels exercices d'entraînement aux techniques introduites sous forme de cours. Cet ouvrage s'adresse aux étudiants des universités (fin de 1er, 2e cycle), et écoles d'ingénieurs, utilisant le calcul tensoriel notamment dans les domaines suivants : propriétés mécaniques et électromagnétiques des matériaux (mécanique et optique en physique ; sciences de la Terre), relativité, cosmologie (physique, astrophysique), ingéniérie (mécanique, Génie civil). Les techniques de base présentées dans ce manuel sont utilisées et développées dans un second ouvrage faisant suite à celui-ci, Utilisation du calcul tensoriel dans les géométries riemanniennes, chez le même éditeur. SOMMAIRE Chapitre 1. Préliminaire. 1. Vecteurs géométriques et espace R3. 2. Convention d'écriture ; la notation d'Einstein. 3. Changement de base dans R3. 4. Formes linéaires sur R3, espace dual. Chapitre 2. Introduction des tenseurs. 1. Multiplication tensorielle. 2. Généralisation de la multiplication tensorielle. 3. Produit tensoriel de n espaces. Chapitre 3. Opérations sur les tenseurs. 1. Egalité de deux tenseurs. 2. Addition de deux tenseurs. 3. Produit tensoriel de deux tenseurs. 4. Contraction d'un tenseur mixte. Chapitre 4. Dérivation en notation tensorielle. 1. Position d'un point dans l'espace. 2. Dérivées par rapport aux variables d'espace. 3. Fonction uniforme de n variables indépendantes. 4. Condition d'uniformité de f(ui) : théorème de Schwarz. Chapitre 5. Coordonnées curvilignes. Dérivation des tenseurs. 1. Coordonnées rectilignes. 2. Coordonnées curvilignes ; repère naturel. 3. Champs de tenseurs exprimés en coordonnées curvilignes. 4. Vitesse et accélération en cinématique. Solution des exercices. Bibliographie
En suivant ce lien, retrouvez tous les livres dans la spécialité Maths pour la physique.Sommaire et contenu du livre "Initiation progressive au calcul tensoriel - Cours et exercices corrigés."
TABLE DES MATIERESCHAPITRE 1
PRÉLIMINAIRES
page
1-VECTEURS GEOMETRIQUES ET ESPACE R' 5
A / Exemple simple. 5
B / Assimilation d'espaces isomorphes à l'un d'entre eux. 6
Il -CONVENTION D'ECRITURE; LA NOTATION D'EINSTEIN 6
A / Indices muets. 6
B / Convention d'Einstein. 7
III -CHANGEMENT DE BASE DANS R' 9
IV -FORMES LINEAIRES SUR R', ESPACE DUAL 12
A / Définitions. 12
B / Coefficients d'une forme linéaire. 14
a) définition. 14
b) influence d'un changement de base dans R'. 14
C / Espace dual de R' . 15
D / Recherche de bases commodes dans l'espace dual. 15
E / Changement de base dans l'espace dual. 17
F / Composantes des vecteurs de R'· . 17
G / Suites de composantes sur R' et R'· . 18
a) isomorphisme des deux espaces. 18
b) suites de composantes. 18
c) exemple. 19
H / Espace dual de R'· . 20
RESUME DU CHAPITRE 1 21
EXERCICES 22
CHAPITRE Il
INTRODUCTION DES TENSEURS
1-MULTIPLICATION TENSORIELLE 24
AI Exemple. 24
B 1 Espace 'produit tensoriel' . 25
a) distributivité par rapport à l'addition. 25
b) multiplication par un scalaire À . 26
c) indépendance linéaire. 26
C 1 Représentation géométrique de la base (TT jj) . 27
o 1 Comparaison entre produit cartésien et produit tensoriel. 27
E 1 Interprétation physique des tenseurs. 29
FILa multiplication des tenseurs est-elle commutative? 29
a) remarque. 29
b) commutativité? 30
Il -GENERALISATION DE LA MULTIPLICATION TENSORIELLE 30
A 1 Généralisation à Rn. 30
B 1 Généralisation à d'autres espaces vectoriels. 31
C 1 Base standard du produit tensoriel. 32
a) définition. 32
b) changement de base standard. 32
DI Tensorialité d'une suite à deux indices. 33
a) exemple. 33
b) généralisation. 35
c) corollaire. 36
E 1 Quelques exemples fondamentaux. 36
a) suite des éléments d'une matrice de changement de base. 36
~ suite de Kronecker li: ,mixte. 36
c) suite de Kronecker ~ i j ,à deux indices de même hauteur. 37
d) le tenseur fondamental et la suite (g j j) . 38
e)lasuite (gij). 40
F / Vocabulaire et écriture. 42
III -PRODUIT TENSORIEL DE n ESPACES 43
c) nombre de composantes indépendantes dans un tenseur symétrique
d) décomposition d'un tenseur quelconque en une partie symétrique et
A / Produit de plus de deux espaces. 43
B / Associativité du produit tensoriel. 43
C / Ordre et type d'un tenseur. 44
D / Symétries et antisymétries dans un tenseur. 45
a) symétrie par rapport à deux indices de même hauteur. 45
b) antisymétrie par rapport à deux indices de même hauteur. 45
ou antisymétrique. 46
une partie antisymétrique. 46
E / Tenseurs de même ordre et de même variance. 47
RESUME DU CHAPITRE Il 49
EXERCICES 50
CHAPITRE III
OPÉRATIONS SUR LES TENSEURS
1· EGALITE DE DEUX TENSEURS 53
II· ADDITION DE DEUX TENSEURS 53
III -PRODUIT TENSORIEL DE DEUX TENSEURS 53
IV· CONTRACTION D'UN TENSEUR MIXTE 54
A / Définition. 54
B / Théorème. 54
C / Deux cas particuliers importants. 55
D / Contractions successives. 56
E / Multiplication contractée. 57
F / Application: critère de tensorialité. 57
G / Abaissement d'un indice. 59
H / Elévation d'un indice. 60
RESUME DU CHAPITRE III 61
EXERCICES 62
CHAPITRE IV
DÉRIVATION EN NOTATION TENSORIELLE
1-POSITION D'UN POINT DANS L'ESPACE 64
A / Repérage du point. 64
B / Changement de base. 64
C / Notion de champ. 65
Il -DERIVEES PAR RAPPORT AUX VARIABLES D'ESPACE 65
A / Dérivabilité d'un champ scalaire. 65
B / Divergence d'un champ de vecteur. 66
C / Gradient d'un champ scalaire. 66
D / Rotationnel d'un champ vectoriel. 67
E / Laplacien d'un champ scalaire. 68
III -FONCTION UNIFORME DE n VARIABLES INDEPENDANTES 68
A / Utilisation d'un espace de configuration euclidien. 68
B / Variations d'une fonction le long d'une courbe. 69
C / Cas des fonctions uniformes. 71
a) paramétrage de la courbe. 71
b) représentation unidimensionnelle de f sur la courbe. 71
c) dérivabilité de f en un point de l'espace de configuration. 72
d) différentielle totale de f. 73
IV -CONDITION D'UNIFORMITE DE f(u i)
THEOREME DE SCHWARZ 75
A / Condition nécessaire. 75
a) familles de courbes joignant deux points quelconques. 76
b) étude de la variation f(B) -f(A) . 77
B / Réciproque. 81
C / Cas des discontinuités. 82
RESUME DU CHAPITRE IV 84
EXERCICES 85
CHAPITRE V
COORDONNÉES CURVILIGNES
DÉRIVATION DES CHAMPS DE TENSEURS
1-COORDONNEES RECTILIGNES 86
D / Expression des vecteurs de la base naturelle, en fonction de ceux du
E / Conditions pour qu'une suite de paramètres constitue un système
III -CHAMPS DE TENSEURS EXPRIMES EN COORDONNEES
A / Définition. 86
B / Tensorialité en un point M ; champ de tenseur. 87
C / Différentielle d'un champ de tenseur. 88
Il -COORDONNEES CURVILIGNES; REPERE NATUREL 89
A / Coordonnées curvilignes. 89
B / Lignes-coordonnées. 91
C / Repère naturel associé à un système de coordonnées curvilignes. 91
repère rectiligne. 94
de coordonnées curvilignes. 95
CURVILIGNES 99
A / Changement de base naturelle en un même point. 99
B / Expression de la tensorialité en coordonnées curvilignes. 100
C / Différentielle d'un tenseur, en coordonnées curvilignes. 100
a) les coefficients de Christoffel. 101
b) expression des de· i . 104
c) écriture mnémotechnique de dé j et de· i . 106
d) expression de la différentielle d'un tenseur. 107
e) écriture mnémotechnique des différentielles absolues. 110
D / Dérivée covariante d'un tenseur. 112
IV -VITESSE ET ACCELERATION
EN CINEMATIQUE 114
A / Vitesse d'un mobile.
114
B / Accélération du mobile.
114
RESUME DU CHAPITRE V
115 117
EXERCICES
SOLUTION DES EXERCICES
Chapitre 1 119
Chapitre Il 125
Chapitre III 131
Chapitre IV 136
Chapitre V 140
BIBLIOGRAPHIE SOMMAIRE 152
PDF 0 Ko)
