Introduction au calcul variationnel en physique
Aperçu historique et applications : mécanique analytique, élasticité - Cours et excercices

Sommaire et contenu du livre "Introduction au calcul variationnel en physique - Aperçu historique et applications : mécanique analytique, élasticité - Cours et excercices"

Table des matières Table des exercices ix Table des résumés xii 1 Introduction 1 1.1. Stationnarité, optimisation et principes d'extremum 1 1.1.1. Stationnarité 1 1.1.2. Exemples de règles et de principes d'extremum 3 1.1.3. Le paradigme du bratistochrone 6 1.2. Fonctionnelles 7 1.2.1. Un premier exemple de fonctionnelle 8 1.2.2. Euler et Lagrange: naissance du calcul variationnel 9 1.3. Principes variationnels 10 1.3.1. Principes de Fermat, de Maupertuis et mécanique analytique de Lagrange 10 1.3.2. Principe de moindre Action de Hamilton 12 1.3.3. Mécanique ondulatoire et mécanique quantique 12 1.4. Conclusion 15 2 Équation d'Euler-Lagrange 17 2.1. Variation d'une fonctionnelle 17 2.1.1. Le cadre de la démonstration 17 2.1.2. Variation de la fonctionnelle J[u] 18 2.2. Résolution dans le cadre des points extrêmes fixés 19 2.2.1. Équation d'Euler-Lagrange 19 2.2.2. Remarques et cas particuliers 19 2.2.2.1. Erreurs à éviter 19 2.2.2.2. L'équation d'Euler-Lagrange est une équation différentielle 20 2.2.2.3. Cas où F ne dépend pas de u(x) 21 2.2.2.4. Cas où F ne dépend pas de x 21 2.2.3. Applications 22 2.3. Cas des points extrêmes ou des limites non fixés 28 2.3.1. Résolution dans le cas des points extrêmes non fixés 28 2.3.2. Résolution dans le cas des limites non fixées 31 2.3.2.1. Problème général 31 2.3.2.2. Extrémités assujetties sur des courbes -Conditions de transversalité 32 2.3.2.3. Lignes brisées -Conditions de Weierstrass-Erdmann 35 2.4. Intégrant F contenant des dérivées d'ordre supérieur 37 2.5. Dérivée fonctionnelle 38 2.5.1. Notion 38 2.5.2. Formalisation 38 2.5.3. Applications immédiates 40 2.5.4. Dérivées fonctionnelles d'ordre supérieur 41 2.5.5. Équations différentielles de fonctionnelles 44 3 Variations à plusieurs fonctions 45 3.1. Fonctionnelles de plusieurs fonctions 45 3.2. Mécanique newtonienne 46 3.2.1. Les lois de Newton (Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687) 46 3.2.2. Nombre de degrés de liberté -Liaisons holonomes et non holonomes 48 3.2.3.' Coordonnées et vitesses généralisées 53 3.3. Mécanique lagrangienne 55 3.3.1. Approche des équations de Lagrange par le principe de d'Alembert 55 3.3.1.1. Le principe des travaux virtuels de d'Alembert en dynamique 55 3.3.1.2. Première approche: les équations de Lagrange 56 3.3.1.3. Seconde approche: le principe de moindre Action de Hamilton 57 3.3.2. Équations de Lagrange -Principe de moindre Action de Hamilton 60 3.3.2.1. Conditions d'application -Lagrangien 61 3.3.2.2. Principe de Hamilton -Équation de mouvement de Lagrange 61 3.3.2.3. Emploi de la méthode lagrangienne; équivalence avec celle de Newton 62 3.3.3. Premières applications 65 3.3.3.1. Systèmes de coordonnées 65 3.3.3.2. Mécanique du point et du solide 67 3.3.4. Formalisation de la mécanique à partir du principe de Lagrange-Hamilton 76 3.3.5. Thèmes particuliers: similitude mécanique, pseudo-potentiels, conservations 81 3.3.6. Analyse de la méthode lagrangienne 89 3.4. Mécanique hamiltonienne 90 3.4.1. Origine du formalisme hamiltonien 90 3.4.2. Transformation de Legendre 91 3.4.3. Moments conjugués, transformation de Legendre et équations de Hamilton 92 3.4.4. Mode d'emploi de la méthode hamiltonienne -Résolution matricielle 93 3.4.4.1. Oscillateur harmonique 94 3.4.4.2. Résolution matricielle 94 3.4.4.3. Pendule simple 96 3.4.4.4. Pendules couplés 96 3.4.4.5. Pendule sphérique 98 3.4.5. Applications 99 3.4.6. Analyse de la méthode hamiltonienne 130 4 Applications du formalisme hamiltonien 133 4.1. Espace des phases et mécanique statistique 133 4.1.1. Espace des phases -Portrait de phase 133 4.1.2. Exemples de portraits de phase -Propriétés immédiates 133 4.1.3. Hydrodynamique dans l'espace des phases -Théorème de Liouville 138 4.1.3.1. Équation de Liouville (lère forme) 140 4.1.3.2. Équation de Liouville (2ème forme) ou principe de conservation de la densité de Gibbs 141 4.1.3.3. Théorème de Liouville (principe de conservation du volume de Gibbs) 142 4.2. Symétries et conservations 4.2.1. Invariances géométriques et conservations dynamiques -Variables cycliques 145 4.2.1.1. Exemples: conservation de moments, de l'énergie mécanique 145 4.2.1.2. Variables cycliques et intégration 149 4.2.2. Transformations canoniques 152 4.2.2.1. Condition pour une constante du mouvement -Crochets de Poisson 152 4.2.2.2. Transformations canoniques, fonctions génératrices 153 4.2.2.3. Transformations canoniques infinitésimales 159 4.2.3. Vérification d'une invariance: Crochets de Poisson 161 4.2.3.1. Invariance des crochets de Poisson dans une transformation canonique 161 4.2.3.2. Propriétés mathématiques des crochets de Poisson. Identité de Jacobi 163 4.2.3.3. Résultats généraux des crochets de Poisson 165 4.2.3.4. Applications des crochets de Poisson 168 4.2.4. Recherche des invariants: Théorème de Ncetber 173 4.2.4.1. Théorème de Ncether pour les invariances géométriques 174 4.2.4.2. Théorème de Ncether général 179 4.2.4.3. Une application fondamentale du théorème de Ncether 183 4.2.4.4. Invariants dans le mouvement képlérien -Vecteur de Runge-Lenz, symétries cachées 187 4.3. De Fermat à Feynman: vers la mécanique quantique 202 4.3.1. La fonction Action 202 4.3.2. Principe de moindre Action de Maupertuis -Principe de la vis viva (Leibniz) 204 4.3.3. Équation de Hamilton-Jacobi (1836) 215 4.3.4. Mécanique ondulatoire et mécanique quantique 221 4.3.4.1. La mécanique ondulatoire de Louis de Broglie 221 4.3.4.2. Les intégrales de chemin (path integrals) de Richard Feynman 224 4.4. Vers la théorie du chaos: Topologie de l'espace des phases 227 4.4.1. Topologie dans l'espace des phases: Poincaré et la mécanique qualitative 228 4.4.2. Ordinateurs, attracteurs, chaos: approche moderne des systèmes dynamiques 231 5 Contraintes. Problèmes isopérimétriques 233 5.1. Problèmes variationnels contraints et problèmes isopérimétriques 233 5.2. Solution du problème isopérimétrique 234 5.2.1. Méthode de résolution 234 5.2.2. Commentaires sur la méthode de résolution 234 5.2.3. Exemples dans le cadre des fonctions usuelles 235 5.2.3.1. Un exemple simple 235 5.2.3.2. Visualisation en dimension 3 235 5.3. Méthode des multiplicateurs de Lagrange pour les fonctions 237 5.3.1. Fonction de deux variables 237 5.3.2. Fonction de n variables sous une contrainte, sous p contraintes 238 5.4. Exemples de problèmes isopérimétriques 239 5.4.1. Problème de Didon (boucle de corde sur un plan) 239 5.4.2. Chaînette, voilière, lintéaire et courbe élastique 242 5.4.3. Méthode variationnelle de Ritz en mécanique quantique 257 5.4.3.1. Rappels de quelques notions de mécanique quantique 257 5.4.3.2. Formulation du problème de Ritz 258 5.5. Liaisons non holonomes en mécanique 259 6 Variations à plusieurs dimensions. Élasticité 263 6.1. Introduction: Problème à plusieurs variables 263 6.2. Équation d'Euler avec plusieurs variables 264 6.2.1. Intégration par parties à n dimensions 264 6.2.2. Équation d'Euler pour une fonctionnelle d'une fonction à 2 variables 266 6.2.3. Cas général 267 6.3. Applications 272 6.3.1. Méthode variationnelle de Ritz en mécanique quantique 272 6.3.2. Corde vibrante, densité de lagrangien, champs, transition vers l'élasticité 276 6.3.2.1. Énergie cinétique, énergie potentielle 276 6.3.2.2. Lagrangien, densité de lagrangien 277 6.3.2.3. Ouverture vers la relativité et la théorie des champs 278 6.4. Élasticité dans le cas des petites déformations 280 6.4.1. De la corde vibrante à la membrane homogène et isotrope 280 6.4.2. Membranes non isotropes et/ou non homogènes 285 6.4.3. Poutres et plaques 287 6.4.3.1. Statique des tiges et poutres sans forces localisées 290 6.4.3.2. Statique des tiges et poutres avec forces localisées 293 6.4.3.3. Dynamique des tiges et plaques 304 6.5. Élasticité dans le cas des grandes déformations 306 6.5.1. Historique de l'Elastica 306 6.5.2. Courbure et énergie potentielle d'élasticité 309 6.5.3. Tiges élastiques -L'Elastica de Bernoulli 311 Conclusion 323 Bibliographie 325 Index 321