Leçons de mathématiques d'aujourd'hui - Volume 1

Sommaire et contenu du livre "Leçons de mathématiques d'aujourd'hui - Volume 1"

Préface xlii Auteurs et rédacteurs xv Leçon 1. Jean-Pierre Kahane. Le théorème de Pythagore, l'ana­lyse multifractale et le mouvement brownien 1 Pythagoreetsonthéorème Un autre aspect de la courbe de P61ya . Il ........... 1 La courbe de P6lya, et l'analyse multifractale . 5 Le mouvement brownien 13 Discussion . . 18 Bibliographie 25 Leçon 2. Pierre Cartier. l!intégrale de chemins de Feynman : d'une vue intuitive à un cadre rigoureux 27 Première partie: les intégrales de Daniell et de Wiener . La mesure et l'intégrand, ou le mathématicien et le 27 L'intégrale de Daniell . . 27 Les chaînes de Markov. 31 L'intégrale de Wiener. . 33 La notation de Feynman 37 Seconde partie: l'intégrale de Feynman. 40 L'équation de la chaleur et l'intégrale de Wiener. 41 La formule de Feynman-Kac 42 mécanicien 46 L'intégrale de chemins de Feynman 47 Un cadre axiomatique 52 Discussion . . 56 Bibliographie 57 Leçon 3. Vladimir 1. Arnold. Nombres d'Euler, de Bernoulli et de Springer pour les groupes de Coxeter et les espaces de morsification : le calcul des serpents 59 Première partie: la suite classique d'Euler-Bernoulli 59 Le triangle d'Euler-Bernoulli 59 Table des matières Le calcul des serpents 62 Morsification 66 Seconde partie: les nombres d'Euler-Bernoulli des groupes deCoxeter ......... 74 LesgroupesdeCoxeter. ............... 74 LesnombresdeSpringer. .............. 77 Comment mettre les serpents dans les chambres 82 Le cas des autres groupes de Coxeter 87 Discussion . . 93 Bibliographie 95 Leçon 4. Don Zagier. Quelques conséquences surprenantes de la cohomologie de SLz (l:) 97 Premier exemple: valeurs de «(2n) ..... 98 Deuxième exemple: fonction cotangente. 100 Troisième exemple: fonctions thêta 101 Le groupe SL2(l:) et sa cohomologie 102 Les « relations de périodes» . . . 104 Formesmodulaires .......... 106 Périodes des formes modulaires . . 108 La fonction CT (X, Y;T) et les périodes 111 Fonctions zêta doubles. . . . . . . . . 113 Les périodes des formes modulaires de Maass 117 Autres applications 118 Bibliographie 120 Leçon 5. Haïm Brézis. Tourbillons de Ginzburg-Landau, énergie renormalisée et effets de quantification 123 Unproblèmeimpossible. .................. 123 L'énergie de Ginzburg-Landau et la question de Matano 127 Unanaloguetridimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . 129 Retour à la dimension 2 : conversation avec un physicien 132 Solution du « problèmeimpossible». . . . . . . . . . . . . 134 Première méthode de renormalisation 134 Autres méthodes de renormalisation : comment elles s'éclairent mutuellement 136 Un phénomène de quantification 138 Discussion . . 139 Bibliographie 140 Leçon 6. Bernanl Malgrange. Monodromie, phase stationnaire et polynôme de Bernstein-Sato 143 IntroductionLa définition de la monodromie. Le théorème de mono­............ 143 Le polynôme de Bernstein-Sato 143 Monodromie............ 149 Premier ingrédient: homologie singulière 150 Deuxième ingrédient: la construction de Milnor 154 dromie ....................... 156 « Idée» de la démonstration. Connexion de Gauss-Manin 160 Questions 165 Bibliographie 166 Leçon 7. John Coates. Courbes elliptiques 169 Les nombres congruents . 169 Courbeselliptiques ............. 172 Quelques séries formelles . . . . . . . . . 175 Cohomologie de la courbe elliptique ED 176 Arithmétique des courbes elliptiques . . 179 Le carré symétrique d'une courbe elliptique 181 Les fonctions L 185 Bibliographie 188 Leçon 8. Yves Meyer. Approximation par ondelettes et approxi­mation non-linéaire 191 Définition des espaces de Besov. Analyse de Littlewood- Un problème d'actualité: la schématisation d'une image par Motivation ............. 191 Compression/restauration 191 Débruitage.......... 192 Exemple historique en dimension 1 193 LepointdevuedePeller....... 195 Signification du théorème de Peller 196 Paley ..................... 196 Lecontextedeladimension2. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200 La généralisation du théorème de Peller par De Vore . . . .. 203 un petit nombre de contours (Mumford-Shah, Blake....) 209 Le théorème de Peller en dimension n. ......... 211 Les cadres L2 et LP 212 Théorème de Yuri Netrusov pour l'algèbre des bosses 214 Table des matières Définition de l'espace BMü (Bounded mean oscillation) 214 Définition de l'algèbre des bosses . 214 Le débruitage optimal de David Donoho 216 Discussion . . 217 Appendice .................. 218 Bibliographie 219 Leçon 9. Henry Helson. Et les séries de Fourier devinrent Analyse harmonique 221 De Fréchet à Hartman. . . . . . 221 De Beurling à Kahane. . . . . . 224 Angle entre le passé et le futur 231 Bibliographie 233 Leçon 10. Yves Colin de Verdière. Réseaux électriques planaires 235 Preuve de l'existence de chemins entre un graphe et un Preuve que la réponse impose la classe d'équivalence Introduction.....:............... 235 Première partie. Réseaux électriques généraux. 236 Notations et définitions ' . . . . . 236 Réponse du réseau électrique. . . . 238 Propriétés spéciales de la matrice L 239 Deuxième partie. Réseaux planaires . . . 242 Les réseaux planaires et leurs réponses 242 Le problème inverse, le problème de l'équivalence 246 Transformations électriques élémentaires ..... 247 Troisième partie. Grandes lignes de la preuve du théorème 2 251 La stratégie......................... .. 251 Legraphemédial ..................... .. 255 grapheminimal .................. .. 258 combinatoire . . . . . 264 Graphes médiaux électriques 268 L'injectivité de <1>r l 270 Discussion . . 272 Bibliographie 274 Leçon Il. Frédéric Pham. Caustiques: aspects géométriques et ondulatoires 275 Introduction. . . . . . 275 Premier exemple 275 Deuxièmeexemple . . . . . . . . Première partie: aspect géométrique Troisième exemple . Quatrième exemple . Enveloppes et généricité .. Caustiques et catastrophes Seconde partie: aspect ondulatoire Le principe de Huygens-Fresnel La géométrie et l'onde exacte Résurgence. Discussion . . Bibliographie .. Leçon 12. Pierre-Louis Uons. Problèmes mathématiques de la mécanique des fluides compressibles Introduction, modèles, historique Introduction Modèles ' Historique . Remarques. Euler . De Leonhard Euler à Peter La:x Résultats pour N = 1. Compacité par compensation. Formulation cinétique Et les dimensions 2, 3, Équations de Navier-Stokes Généralités ..... Perte de régularité Existence globale Compacité .... Résumé et conclusion Questions .. Bibliographie ..... . ? Spéculations 277 277 278 279 280 285 287 287 292 296 298 301 305 305 305 305 309 310 312 312 316 317 319 320 322 322 323 324 324 328 329 329