Mathématiques 1ère année BCPST - Véto
Cours, exercices, informatique.

Sommaire et contenu du livre "Mathématiques 1ère année BCPST - Véto - Cours, exercices, informatique."

Table des mati?s l G??ie -Alg?e lin?re 1 1 Trigonom?ie-Nombres complexes 3 1.1 Angles -Transformations affines planes . 3 1.La Angles de vecteurs 3 1.1.b Angles de droites 4 1.1.c Translation.. 4 1.1.d Sym?ie axiale 5 1.Le Homoth?e 5 1.1.f Rotation .. 6 1.1.g Propri?s angulaires du cercle 7 1.1.h Similitude directe. 8 1.2 Trigonom?ie . 10 1.2.a D?nition des fonctions circulaires 10 1.2.b Arcs associ?. 12 1.2.c Compl?nts sur les projections 13 1.2.d Formules fondamentales 14 1.2.e Multiplication des arcs . 15 1.2.f Expression en fonction de la tangente de l'arc moiti?5 1.2.g Formules de transformation 17 1.3 Structure de corps commutatif . . 18 1.4 L'ensemble des nombres complexes 21 1.4.a Le corps des complexes 21 1.4.b Conjugu? 21 1.4.c D?nition g??ique . 22 1.4.d Racine n? d'un nombre complexe. 23 1.4.e Lin?isation . 24 1.4.f Transformation de a cos () + b sin(). 25 1.4.g Utilisation des nombres complexes en g??ie. 28 Courbes param?? 31 2.1 D?nitions.......... 31 2.2 Interpr?tion cin?tique. 32 2.3 Coniques ?entre. . . . . . 33 2.4 Exemples de courbes param?? . 38 AO ? t; TnfnTTYl<lHnllP' ~nllThP" n<lT<lTYlbtTt>P" 3 Compl?nts de g??ie 57 3.1 Espace et plan vectoriels euclidiens orient?58 3.1.a Produit scalaire. 58 3.1.b Produit vectoriel .... 59 3.1.c Bases orthonorm? 60 3.2 Espace et plan affines euclidiens orient?65 3.2.a Changement de rep? dans P 65 3.2.b Changement de rep? dans [ . 66 3.3 Barycentre .. 67 3.3.a Fonction vectorielle de Leibniz 67 3.3.b Barycentre 67 3.3.c Fonction scalaire de Leibniz 68 3.4 Plan affine euclidien 69 3.4.a Droites .. 69 3.4.b Equation normale d'une droite 71 3.4.c Cercles 72 3.5 Espace affine euclidien 74 3.5.a Plans .. 74 3.5.b Droites 76 3.5.c Orthogonalit?ans l'espace 77 3.5.d Angle di?e 79 3.5.e Distance de deux droites . 79 3.5.f Sph?s 82 3.5.g Cylindres ... 83 3.5.h C? 84 3.5.i Th??s de Dandelin 85 3.6 Informatique: Courbe de B?er 86 4 Calcul Matriciel 93 4.1 Matrice ?oefficients dans OC 93 4.1.a D?nition 93 4.1.b Cas particuliers . 94 4.2 Op?tions sur les matrices 94 4.2.a Addition de deux matrices. 94 4.2.b Produit d'une matrice par un scalaire 95 4.2.c Produit de deux matrices 95 4.2.d Puissance r ? d'une matrice 98 4.3 Transposition .. 104 4.3.a D?nition 104 4.3.b Transpos?d'une somme 104 4.3.c Transpos?d'un produit. 104 4.3.d Matrices sym?iques et anti-sym?iques 104 4.3.e Formes quadratiques . . ...... 105 4.4 Informatique -Carr?magiques 107 5 Syst?s lin?res d'?ations 117 5.1 Syst?s ?ivalents . . . .. 117 5.1.a D?nitions .. .. . . 117 5.1.b Matrice associ??n syst? lin?re 118 5.2 Technique du pivot de Gauss .. 118 5.2.a Algorithme du pivot simple de Gauss. 119 5.2.b Conclusion .. . . . . 121 5.3 R?lution des syst?s lin?res 122 5.4 Interpr?tion g??ique des syst?s lin?res 125 5.4.a Syst?s lin?res ? inconnues 125 5.4.b Syst?s lin?res ? inconnues 126 5.5 Rang d'une matrice. 126 5.6 Matrices carr? inversibles 127 5.6.a Introduction .. 127 5.6.b Matrice carr?inversible. 129 5.6.c Recherche pratique de l'inverse d'une matrice 129 5.7 Informatique ... 132 5.7.a Matrices mal conditionn? 132 5.7.b R?ction de Gauss-Jordan 136 5.7.c MatLab et les syst?s 137 6 Espace vectoriel IKn 139 6.1 Introduction . . . 139 6.1.a Les vecteurs de la g??ie . 139 6.1.b Espace vectoriellKn 139 6.1.c Sous espaces vectoriels 140 6.2 Familles de vecteurs -Bases . 142 6.2.a Base canonique . . .. 142 6.2.b Equation fondamentale 143 6.2.c Matrice d'une famille finie. 144 6.2.d Nature des familles finies 145 6.2.e Bases de IKn. . . .. 147 6.3 Caract?sation des sous espaces vectoriels de IKn 148 6.3.a Une approche du probl? 148 6.3.b Cas g?ral .... 150 7 Applications lin?res de IKn dans IKP 157 7.1 D?nitions. . . . . . . . 157 7.1.a Application lin?re ... 157 7.1.b Interpr?tion dans les bases canoniques 158 7.1.c Transpos?d'une application lin?re. 159 7.2 Image et noyau . 160 7.2.a D?nitions . 160 7.2.b Injectivit?surjectivit?bijectivit?61 7.2.c Equation de lm cp et de ker cp .. 161 7.3 Op?tions sur les applications lin?res 165 7.3.a Addition.............. 165 7.3.b Multiplication par un scalaire .. 165 7.3.c Composition d'applications lin?res 166 7.3.d Produit de deux matrices . 166 7.4 Cas des endomorphismes . 167 7.4.a Propri? particuli? des endomorphismes . 167 7.4.b Matrice de l'application r?proque 168 7,4.c Groupe lin?re . 170 II Analyse 175 1 Fonctions polyn? 177 1.1 Structures des polyn? 177 1. La D?nitions. .... 177 1. Lb Espace vectoriel 178 1.1.c Produit de polyn? 178 1.1.d Propri?s des degr? 179 1.2 Formule de Taylor pour les polyn? 179 1.3 Racines d'un polyn?........ 182 1.3.a Equation du second degr?ans C . 182 1.3.b Th?? de d'Alembert 184 1.3.c Z? d'ordre r. . . 184 1.3.d Factorisation dans C . . . 185 1.3.e Factorisation dans IR . . . 186 1.3,f Relations coefficients et z?s 187 1.4 Informatique : Equation du 3? degr?92 2 Suites num?ques 201 2.1 Compl?nts sur IR et C . ............ 201 2.1.a Ordre -Axiome de la borne sup?eure . 201 2.1.b Valeur absolue 203 2.1.c Intervalle .. 203 2.1.d Partie enti? 204 2.2 Suites num?ques 205 2.2.a D?nitions 205 2.2.b Convergence 206 2.3 Propri?s des suites num?ques convergentes . 208 2.3.a Unicit?e la limite. 208·. ·. 2.3.b Points fixes ... ·. ·.. 208 2.3.c Compl?nts sur les suites convergentes 209 2.3.d Th?? des suites monotones . 210 2.3.e Suites adjacentes 211 2.3.f Suites extraites . . 213 2.4 Suites d?nies par r?rrence 215 2.4.a R?rrence de pas 1 215 2.4.b R?rrence de pas 2 220 3 Algorithmique 233 3.1 Un exemple d'algorithme ·. .. 233 3.2 Introduction. .. ·. ·... 234 3.2.a Etape 1 : Etude du probl? -Algorithme 234 3.2.b Etape 2 : Organigramme. ... 234 3.2.c Etape 3 : Pseudo -code .. ·. 234 3.2.d Etape 4 : Programmation dans un langage. 234 3.3 Equation du second degr?. ·. 234 3.3.a R?lution avec MatLab . ·. ·. 234 3.3.b Etude math?tique et algorithme . 235 3.3.c Organigramme · .. 237 3.3.d Programmation en MatLab 237 3.4 It?tion. · .. 239 3.4.a Algorithme ·. 239 3.4.b Organigramme · .. 239 3.4.c Programme en MatLab 239 3.4.d Suites r?rrentes lin?res doubles 240 3.4.e M?ode babylonienne de calcul d'une racine carr?242 4 G?ralit?sur les fonctions 245 4.1 D?nitions. · .. 245 4.1.a Ensemble de d?nition . 245 4.1.b Sens de variation ·. 245 4.1.c Bijection · .. 246 4.2 R?ction de l'intervalle d'?de 247 4.2.a Parit? . ·.. 247 4.2.b Sym?ies .. ·. 248 4.2.c Changement de rep? par translation 250 4.2.d P?ode ... ·.. ... 251 5 Limites 253 5.1 Limite en un point de iR 253 5.1.a Voisinage dans IR 253 5.l.b Adh?nce d'un intervalle 253 5.l.c D?nition g?rale . . . . 254 5.l.d Etude des diff?nts cas . 254 5.l.e Th??s g?raux sur les limites dans lR 260 5.l.f Comportement du logarithme et de l'exponentielle en x =0 et x = +00 ................. 263 5.2 Fonctions?ivalentes ............... 265 5.2.a Introduction aux d?loppements limit? 265 5.2.b Fonctions domin?. . 266 5.2.c Fonctions n?igeables 268 5.2.d Fonctions ?ivalentes 272 5.2.e Th??s g?raux 274 5.2.f Branches infinies 277 6 Continuit?283 6.1 G?ralit?..................... 283 6.l.a D?nitions . 283 6.1.b Exemples utilisant la condition suffisante 284 6.2 Th??s g?raux .. 285 6.2.a Espace vectoriel 285 6.2.b Produit . 286 6.2.c Quotient. 286 6.2.d Puissance 287 6.2.e Compos?288 6.3 Propri?s des fonctions continues. 289 6.3.a Dichotomie ......... 289 6.3.b Image d'un intervalle 292 6.3.c Fonctions continues et strictement monotones . 293 6.3.d Fonctions continues par morceaux 293 6.4 Fonctions puissances 294 6.4.a Cas Ct > 0......... 295 6.4.b Cas Ct < 0 . 296 6.5 Fonctions circulaires r?proques 296 6.5.a Fonction arcsin . 296 6.5.b Fonction arccos . 298 6.5.c Fonction arctan. . . . . . 300 6.5.d Compl?nts pour MuPad 305 6.6 Informatique . 306 7 D?v? et diff?ntielles 309 7.1 D?nitions. Premi?s propri?s 309 7.l.a D?v?en un point ... 309 7.1.b Interpr?tion g??ique 310 7.1.c Diff?ntielle . 7.2 Propri?s des fonctions d?vables 7.2.a Continuit?t d?vabilit? 7.2.b Fonctions de classe el sur I 7.2.c Alg?e des fonctions d?vables. 7.2.d Composition de fonctions d?vables 7.3 Th?? de Rolle -Accroissements finis 7.3.a Propri?s graphiques . . . . . . . . 7.3.b In?lit?es accroissements finis .. 7.3.c Application au sens de variation des fonctions. 7.4 Fonctions de classe en . 7.4.a D?v?seconde. . . ? 7.4.b D?v?n.... 7.4.c Formule de Leibniz . 7.4.d Formules de Taylor . 8 D?loppements limit? 8.1 D?nition ............... 8.2 Utilisation d'int?ations successives 8.3 Utilisation de Taylor-Young ..... 8.3.a D?loppement limit? l'ordre n 8.3.b Exemples fondamentaux ... 8.4 Propri?s............... 8.4.a Unicit?u DLn (0) et parit? 8.4.b Combinaisons lin?res . 8.4.c Produits...... 8.4.d Inverse.......... 8.4.e Composition de dl . . . 8.4,[ D?vation et/ou int?ation. 8.5 Compl?nts....... ... 8.5.a Th?? de la division 8.6 Informatique . 8.6.a TP 1 : Multipr?sion . 8.6.b TP 2 : Programme Calcul_Pi avec n d?males 9 Fonctions logarithmes et exponentielles 9.1 Fonctions logarithmes . 9.2 Fonction exponentielle de base a .......... 9.3 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses. 10 Int?ale sur un segment 10.1 Somme de Riemann . 1O.1.a Suite associ??ne subdivision. 315 315 315 315 316 318 326 326 331 334 334 334 336 336 337 343 343 343 344 344 345 348 348 349 349 350 351 353 355 355 359 360 365 369 369 372 373 393 393 393 1O.1.b Fonction int?able au sens de Riemann 393 10.2 Fonctions Int?ables. . . . . . . . . . . . . 395 1O.2.a Fonction en escalier . 395 1O.2.b Fonctions continues et continues par morceaux 399 10.3Primitives ......... 403 1O.3.a Fonction primitive 403 10.3.b Dictionnaire des primitives 406 1O.3.c Exemples fondamentaux . . 406 10.4 Techniques de Calcul . . . . . . . . 407 1O.4.a D?mposition en ?ments simples . 407 10.4.b Int?ation par parties . 410 l?c Changement de variable ou substitution 415 1O.4.d Fractions rationnelles trigonom?iques . 431 1O.4.e Int?ales de Wallis ..... 433 10.4,[ Int?ale fonction des bornes 436 10.5 Valeurs approch? d'une int?ale 438 10.5.a Introduction ..... 438 1O.5.b M?ode des trap?s 439 1O.5.c M?ode de Simpson . 441 10.6 S?esdeFourier . . . . . . . 442 1O.6.a Base orthonorm?de lL; . 443 1O.6.b S?es trigonom?iques . 444 10.7 Informatique : convergence de Fourier 445 1O.7.a Signal rectangulaire . 445 10.7.b Signal en dent de scie 447 11 Equations diff?ntielles lin?res 449 11.1 G?ralit? .. . . . 449 l1.1.a Introduction 449 Il.1.b Th?? fondamental . 450 11.2 Equations du premier ordre .. 452 11.2.a Equations homog?s de la forme y' + a (x) Y = 0 452 l1.2.b Equations de la forme y' + a (x) y = b(x) . 453 11.3 Equations du second ordre ?oefficients constants 456 11.3.a Equations homog?s ..... 456 l1.3.b Equations avec second membre 459 11.4 Mouvements vibratoires simples ... 466 l1.4.a Mouvement vibratoire simple 466 l1.4.b Construction de Fresnel ... 467 12 Fonctions de plusieurs variables 475 12.1 D?nitions et exemples 475 12.1.a Introduction . 475 12.1.b Domaine de d?nition . 476 12.1.c Surfaces d'?ation z = f (x, y) . 477 12.1.d Accroissements partiel et total 477 12.2 Limite et continuit? 478 12.3 Diff?ntiation . 480 12.3.a D?v? partielles .. . . . . . 480 12.3.b Relation entre diff?ntielle et accroissement total. 482 12.3.c Plantangent . . . . . . . . 483 12.3.d Calculs approch?..... 484 12.3.e D?v? partielles seconde. 485 12.3.f Extremum. ......... 486 12.4 Forme diff?ntielle d'ordre 1 ... 487 12.5 R?lution de syst?s d'?ations non lin?res 491 III Probabilit?493 1 Statistique descriptive 495 1.1 Variable statistique. . . . . . 495 1.2 Repr?ntation graphique . . 497 1.2.a Diagramme en b?n. 497 1.2.b Histogramme..... 498 1.2.c Courbe des fr?ences relatives cumul? d'une v.s.d 498 1.2.d Courbe des fr?ences relatives cumul? d'une V.S.c 499 1.3 Param?es de position et de dispersion 500 1.3.a Moyenne....... 500 1.3.b M?ane et quartile 502 1.3.c Moment d'ordre h . 503 1.3.d Ecart absolu .... 503 1.3.e Variance et ?rt type 504 1.3.f Compl?nts..... 505 1.4 Informatique -Param?es d'une v.s.d 506 2 Ensembles et informatique 509 2.1 Ensembles d?mbrables. . . . . . . . . . 509 2.1.a Ensemblefini ............ 509 2.1.b Ensemble strictement d?mbrable 509 2.2 Op?tions sur les ensembles 510 2.2.a Sousensemblesde 0 . . . . . . . . 510 2.2.b Ensemble P (0) des sous ensembles de 0. 510 2.2.c Structures de P (D) . 511 2.2.d Partition de D. 516 2.2.e Produit cart?en d'ensembles. 516 2.3 Propri?s des cardinaux. . . . . . . 516 2.3.a Relation entre les cardinaux . 516 2.3.b Formule du crible. 517 2.4 Codage des informations .... 518 2.4.a Le transistor NPN . . . 518 2.4.b Circuits fondamentaux . 519 2.4.c Syst? binaire. . . . 520 2.4.d Syst? hexad?mal. 521 2.4.e Table ASCII .... 522 2.5 Op?tions arithm?ques . . 522 2.5.a Op?tions logiques 523 2.5.b Additionneur binaire. 523 2.5.c Nombres n?tifs . . . 524 2.6 G?ralit?sur les ordinateurs 526 2.6.a Principe......... 526 2.6.b Configuration d'un ordinateur . 526 2.7 Informatique: Fonctions logiques 527 3 Analyse combinatoire 533 3.1 Arrangement -Permutation 533 3.1.a Arrangement 533 3.1.b Permutation 533 3.2 Combinaisons .... 534 3.2.a Combinaison 534 3.2.b Formule r?rsive. 535 3.2.c Approximation de Stirling de n! 536 3.3 Formules de d?mbrement . . . . . 536 3.3.a Formule fondamentale . . . . 536 3.3.b Formule de Pascal-Tartaglia . 536 3.3.c Formule du bin?. 537 3.3.d Triangle arithm?que . 540 3.3.e Formule hyperg??ique. 542 4 Introduction aux probabilit?547 4.1 Axiomatique des probabilit?. 547 4.1.a Univers probabilis? 547 4.1.b Syst? complet d'?nements 548 4.1.c Propri?s. ..... 549 4.1.d Formule de Laplace 551 4.2 Probabilit?conditionnelles 552 4.2.a D?nition et propri?s 552 4.2.b Arbres stochastiques 554 4.2.c Formule de Bayes . 554 4.2.d Ind?ndance . . . . 555 5 Variables al?oires discr?s 5.1 D?nitions . 5.1.a Variableal?oire. . . . . . . . . . . . . 5.1.b Valeurs prises par une variable al?oire 5.1.c Loi d'une v.a.d . 5.1.d Densit?t fonction de r?rtition d'une v.a.d 5.2 Alg?e des variables al?oires discr?s 5.2.a Introduction fondamentale 5.2.b Couple.............. 5.2.c Combinaisons lin?res de v.a.d 5.2.d Produit de v.a.d ... 5.2.e Ind?ndance de v.a.d 5.2.f Loi conditionnelle .. 5.3 Propri?s des v.a.d ..... 5.3.a Moments d'une v.a.d . 5.3.b Propri? de l'esp?nce de v.a.d 5.3.c Variance de v.a.d . 5.3.d Covariance de deux v.a.d . 5.3.e Corr?tion lin?re de deux v.a.d . 5.3.f R?ession lin?re . . . . . . . . . 6 Lois discr?s de probabilit? 6.1 Al?de Bernoulli 6.1.a D?nition 6.1.b Moments 6.2 Loi binomiale .. 6.2.a D?nition 6.2.b Repr?ntation graphiques . 6.2.c Valeurs modales .. . 6.2.d Moments . 6.2.e Sommes de lois binomiales. 6.2.f Compl?nts importants 6.3 Loi hyperg??ique 6.3.a D?nition.... 6.3.b Moments .... 6.3.c Valeurs modales 6.4 Loi Wliforme .. fi .1 l'l Ol>nnit.irm 563 563 563 564 565 565 566 566 567 568 569 569 570 572 572 573 574 575 576 577 591 592 592 592 592 592 593 594 595 596 597 599 599 600 601 606 l'>nl'> 6.4.b Moments .. 606 6.5 Loi g??ique. . . 606 6.5.a Introduction 606 6.5.b Moments .. 608 6.6 In?lit?e Bienaym?chebychev 615 6.6.a In?lit?e Markov . . . . 615 6.6.b In?lit?e Bienaym?chebychev 615 6.7 Informatique 616 6.7 Informatique . 616 Programme d'Informatique 2003 619 Programme de Math?tiques 2003 622 Index 633